《第8章-常微分方程87简单应用课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第8章-常微分方程87简单应用课件.ppt（40页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组,第8章 常微分方程,高等数学A,8.4 微分方程的简单应用,8.4 微分方程的简单应用,利用微分方程求函数习例1-7,微分方程在几何上的应用习例8-11,微分方程在物理和力学上的应用习例12-13,应用微分方程解决实际问题的一般步骤,微分方程的简单应用,一、应用微分方程解决实际问题的一般步骤,1、根据问题的实际背景，利用数学和有关学科知识，建立微分方程，确定定解条件；,2、根据方程的类型，用适当的方法求出方程的通解；,3、对所得结果进行具体分析，解释其实际意义。如果它与实际相差太远，则就应该修改模型，重新求解。,1.建立数学模型 列微分方程问题,建立微
2、分方程(共性),利用物理规律,利用几何关系,确定定解条件(个性),初始条件,边界条件,可能还有衔接条件,2.解微分方程问题,3.分析解所包含的实际意义,二、利用微分方程求解函数习例,例3,这里的“函数方程”包括变上限积分、重积分、线面积分的方程以及偏微分方程等。,解,原方程是一个带有变上限积分的方程，在其两端分别对x求导，得,上式两端再对x求导，得,这是变量可分离方程，分离变量并积分得,解,即,此方程的特征方程为,代入微分方程得,故其特解为,从而方程的通解为,注意到，由,由此确定通解中的任意常数,例3 设,提示:对积分换元,则有,解初值问题:,答案:,解:(1),所以 满足的一阶线性非齐次微分
3、方程:,内满足以下条件:,(1)求 所满足的一阶微分方程;,(2003考研),(2)求出 的表达式.,例4 设 其中函数 在(,+),(2)由一阶线性微分方程解的公式得,于是,解,令,这是一个一阶线性方程，其通解为,例6,解,这是一个含二重积分的函数方程，显然 f(0)=1,由于,所以,这是一个一阶线性方程，其通解为,解,这是一个偏微分方程，可通过多元函数微分法,化为常微分方程来解。,因为,代入原方程，得,这是一个二阶常系数齐次方程，其特征方程为,三、微分方程在几何上的应用习例,例9 在上半平面求一条上凹的曲线，其上任一点,例11 求经过原点的曲线族，在其上任一点M,例10 在连接点A(0,1
4、)和B(1,0)的一条上凸的曲线上任取一,二阶可导,且,解,于是,(1999 考研),上任一点 作该曲线的,切线及 轴的垂线,上述两直线与 轴围成的三角形面积,积记为 区间 0,上,以 为曲边的曲边梯形面积记为,在点 处的切线倾角为,再利用 y(0)=1 得,利用,得,两边对 x 求导,得,定解条件为,方程化为,利用定解条件得,得,故所求曲线方程为,例9 在上半平面求一条上凹的曲线，其上任一点,解,根据题意得微分方程,从而,故，所求曲线方程为,例10 在连接点A(0,1)和B(1,0)的一条上凸的曲线上任取一,解,B(1,0),o,y,x,P,(x,y),A(0,1),x3,例11 求经过原点
5、的曲线族，在其上任一点M,T,o,y,x,M,(x,y),P,解,四、微分方程在物理和力学上的应用习例,例12.一链条挂在一钉子上,启动时一端离钉子8m,另一端离钉子12m,如不计钉子对链条所产生的摩擦力,求链条滑下来所需的时间.,例13.从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求需确定仪器的下沉深度y与下沉速度v 之间的函数关系.设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力作用,设仪器质量为m,体积为B,海水比重为,仪器所受阻力与下沉速度成正比,比例系数为k(k0),试建立y与v所满足的微分方程,并求出函数关系式 y=y(v).(1995考研),例12.一链条挂在一钉
6、子上,启动时一端离钉子8m,另一端离钉子12m,如不计钉子对链条所产生的摩擦力,求链条滑下来所需的时间.,解 建立坐标系如图.设在时刻 t,链条较长一段,下垂x m,又设链条线密度为常数 此时链条受力,由Newton第二定律,得,由初始条件得,故定解问题的解为,解得,(s),微分方程通解:,当 x=20 m 时,思考:若摩擦力为链条 1 m 长的质量,定解问题的,数学模型是什么?,摩擦力为链条 1 m 长的质量 时的数学模型为,不考虑摩擦力时的数学模型为,此时链条滑下来所需时间为,例13,从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度 y 与下沉速度 v 之间的函数,关系.设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力作用,设仪器质量为m,体积为B,海水比重为,仪器所受阻力与下沉速度成正,比,比例系数为 k(k 0),试建立y与v所满足的微分,方程,并求出函数关系式 y=y(v).(1995考研),提示:建立坐标系如图.,质量 m体积 B,由牛顿第二定律,重力,浮力,阻力,初始条件为,用分离变量法解上述初值问题得,得,注意:,
