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1、刚体的概念及特点,刚体（rigid body）：假如质点组中任何两质点间的距离都不会因力的作用而改变，我们就称该质点组为刚体。属理想模型。,现实中没有真正的刚体，但当物体的大小和形状变化可以忽略不计时，通常便把它看作刚体。,作用在刚体上的力可以刚性传递，为滑移矢量。,刚体特点：,各质点间无相对位移，因此也无相对速度，无内力作功。,刚体运动的分类和描述,平动：刚体中的任意两点的连线始终保持方向不变的运动。特点：刚体上所有质点都具有相同的速度和加速度；等同于质点运动；刚体平动的描述需三个独立变量。定轴转动：刚体中两点始终保持不动，两点连线外的其它部分绕这两点确定的轴线作圆周运动。刚体定轴转动的描述
2、需一个独立变量。平面平行运动（平面运动）：刚体中所有点始终保持平行于某一固定面的运动。相当于“平面平动定轴转动”。刚体平面运动的描述需三个独立变量。定点转动：刚体中只有一点固定不动，其它部分绕该点的瞬时轴转动。刚体定点转动的描述需三个独立变量（欧拉角）。一般运动：自由刚体的运动。可以分解为平动和定点转动。刚体定点转动的描述需六个独立变量。,有限转动与无限小转动1,有限转动不满足矢量对易律，不是矢量。图象参见教材P159。,无限小转动是否满足对易律，是否是矢量？,角坐标：,角位移：,大小：,方向：右手螺旋法则。,有限转动与无限小转动2,无限小转动是否满足对易律，是否是矢量？,？,对线位移比较了解
3、，故先寻求角位移与线位移间的关系：,有限转动与无限小转动3,线位移：,线位移：,有限转动与无限小转动4,线位移满足：,！,角速度,角速度（Angular velocity）：,大小：,线速度：,又：,角速度与线速度关系,单位：,补充_欧勒公式&泊松公式&矢量运算,一个转动的定长矢量对于时间的变化率，等于该矢量转动的角速度矢乘该矢量本身。,判断对错,泊松公式,欧勒公式,角加速度,角加速度（Angular acceleraton）：,单位：,线加速度：,又：,角量与线量的关系,对于图示运动有：,力的可传性,力的可传性原理：刚体上的力所产生的力学效果，决定于力的大小、方向和作用线的地位，与力的作用点
4、在作用线上的地位无关。,刚体上的力可沿作用线滑移，故称滑移矢量，但不能随意改变作用线位置，否则力的作用效果将改变！,力系的简化1,对于共点力：利用平行四边形法则进行矢量合成；对于不共点但作用线相交的力，可以都滑移到交点处，再利用共点力合成。,？,力偶（couple）,力偶：作用在同一物体上，大小相等、方向相反、又不在同一直线的两个力称力偶。,力偶的合力为0：,力偶面：力偶所在的平面。,力偶对于力偶面内任意一点P的力矩:,力偶矩,力偶矩：是力与力偶臂的乘积。力偶矩是力偶唯一的力学效果。,垂直于力偶面，遵从右手螺旋法则。,为自由矢量，可以作用在力偶面内的任意一点。,多个共面力偶可以进行力偶矩合成，
5、不受作用点限制！（与力有别）,？,力系的简化2,作用在刚体上的每个力，都可化为经过任意一点P的一个力和一个力偶。因此不论多复杂的力系都可以求得一个合力和一个合力偶。P点称为简化中心；合力称为主矢；力偶矩矢量和（合力偶）称为主矩。,力系的简化3,力系的简化中心可以任意选取，选取原则是简化问题的研究。通常以质心为刚体力系的简化中心。主矢将使刚体质心的平动状态发生变化；主矩将使刚体绕通过质心的轴线的转动状态发生变化。,在对刚体力系做了简化后，就可以讨论描述刚体运动的微分方程了。,刚体运动微分方程1,刚体质心C的运动微分方程：,刚体质量,质心加速度,主矢,刚体在质心动系中的动量矩定理：,对质心的主矩,
6、质心系中对质心的总动量矩,刚体运动微分方程2,（1）它的质心好象一个具有质量m的质点，而所有外力作用在此质点上，且此时动量对时间的微商等于所有外力的矢量和。（2）刚体在相对于随质心平动的动坐标系的运动中，对质心C的动量矩对时间的微商，等于所有外力对C的力矩的矢量和。（当转动对于固定系的某定点而言时，也有类似结果）。,有时也可用动能定理来代替以上得到的某个运动微分方程。,由前面结果可知，对于自由刚体，假如在多个外力作用下在空间运动，则有：,刚体平衡方程,只有当刚体受力的矢量和为零，并且受力对于任意一点力矩的矢量和也为零时，刚体才会处于平衡状态。,刚体平衡方程：,共面（xy）力系：,共点（O）力系
7、：,共面（xy）共点（O）力系：,共线（x）力系：,刚体平衡方程_例题,例（教材P172）：一根均匀的棍子，重为P，长为2l。将其一端置于粗糙地面，而C点靠在离地面h高的墙上。当棍子与地面的角度为最小值 时，棍子在上述位置仍处于平衡状态，求棍子与地面的摩擦系数。,解：根据题意画出受力图，在如图所示的坐标系中，有平衡方程：,即：,刚体平衡方程_例题,求解上面的方程组：,刚体的动量矩1,刚体的动量矩：,刚体的动量矩2,刚体的动量矩和转动惯量,令：,以上为轴转动惯量,以上为惯量积,刚体的动量矩和惯量张量,刚体动量矩在各坐标轴上的投影：,该矩阵称刚体对O点的惯量张量，矩阵中的各元素（轴转动惯量和惯量积
8、）称惯量张量的组元，也叫惯量系数。,刚体的转动动能1,刚体对定点O的转动动能：,刚体的转动动能2,刚体对定点O的转动动能也可写为：,转动惯量1,只要计算出刚体的三个轴转动惯量和三个惯量积，再代入转轴的方向余弦，就可求得刚体相对于该转轴的转动惯量I了。,转动惯量2,具有质量分布的刚体的转动惯量，可等效于集所有质量于一身的一个质点的转动惯量，该等效质点离轴线的垂直距离为k，称为刚体对该轴线的回转半径。,平行轴定理：刚体对于某轴线的转动惯量，等于它对通过质心并与该轴平行的轴线的转动惯量，外加刚体质量与两轴间垂直距离的平方的乘积。即：,练习1：自行证明该定理！,正交轴定理：当刚体的质量为面分布时，刚体
9、对该平面内任意两个正交轴线的转动惯量之和，等于它对过交点的另一正交轴的转动惯量。如果质量分布在xoy平面内则有：,练习2：自行证明该定理！,转动惯量3,求质量按规律分布，且形状规则的刚体的转动惯量，求和变积分：,转动惯量矩阵表达：,惯量椭球1,通过刚体上的某定点O的轴线可以有无数条，刚体对于各条都有一个转动惯量，现考虑将各轴的转动惯量I大小反应为几何量。做法：在转轴上截取一点Q，使它到O点的线段长度满足：,Q点的坐标为：,将其代入转动惯量方程：,此为一椭球方程，由反映各轴惯量大小的线段端点构成的，称为O点的惯量椭球。,惯量椭球2,刚体上的每个点都对应一个惯量椭球。质心所对应的惯量椭球称为中心惯
10、量椭球。已知惯量椭球，可以由某轴上矢径的长度求出刚体绕该轴转动时的转动惯量；反之，已知刚体对三坐标轴的转动惯量和它们的惯量积，便可以写出坐标原点的惯量椭球方程。选择合适的坐标轴可以消去惯量积。,每个惯量椭球都有三条相互垂直的主轴，称为惯量主轴。设其长度分别为a，b，c。若把它们分别取为x，y，z轴，则该惯量椭球的方程可表示为：,惯量椭球3,可见在这种坐标选择下，惯量积项已经被消去了。仅剩三个主转动惯量项，无需双下标，故通常记为：,刚体动量矩：,刚体转动动能：,惯量主轴求法,如果刚体具有对称面，那么对称面中任意一点的垂线必为过该点的一条惯量主轴。如果刚体具有对称轴，那么对称轴必为轴上任意一点的惯
11、量主轴。,对于一个质量对称分布或者具有几何对称性的质量均匀的刚体，在求惯量主轴时，有下列简便的几何法则：,例题_转动惯量的求法,直接根据定义用积分来求先计算惯量张量中的各组元，和转轴的方向余弦，再代入公式求绕轴的转动惯量I。先找出惯量转轴，取惯量主轴为坐标轴，再作计算。,例题（参见教材P182）,附加问题：写出该长方形薄片定点及质心处的惯量椭球方程。,该问题是“薄片”问题，不必考虑厚度。,刚体的平动,刚体平动时可用质心的运动来代表。,由于刚体平动时，刚体其它部分与质心作类似运动，无相对于质心的转动。所以存在刚体相对于质心的力矩平衡：,但实际中，作平动的刚体通常受到约束，即上式的F表达式中包含未
12、知的约束力，所以还需要附加方程。,质心的运动微分方程：,1、平动刚体的运动规律2、约束反作用力,刚体定轴转动1,对于定轴转动的刚体，通常选该定轴为z轴。,刚体上的各点轨道都是一个平行于xoy平面，且以z轴上的垂足为圆心的圆圈。,刚体上的各点间不同的量：,刚体上的各点间相同的量：,相互关系1：,刚体定轴转动2,相互关系2：,刚体定轴转动3,动量矩定理,定轴转动刚体的动量矩定理,刚体定轴转动的动力学方程,求解动力学方程便得描述刚体转动的运动方程：,定轴转动刚体的动能：,若所受外力皆为保守力，则：,例题_复摆1,例（教材P188）：设质量为m的复摆绕通过某点O的水平轴作微小振动，试求其运动方程及振动
13、周期，并加以讨论。,单摆：数学摆,复摆：物理摆,刚体复摆悬于O点，其质心C距悬点O为l，它绕通过悬点且垂直于纸面的轴摆动。图示为刚体包含质心的一个剖面。,假设刚体绕该定轴的转动惯量为I0，回旋半径为k0，即：,定轴转动的动力学方程：,例题_复摆2,例题_复摆3,复摆周期：,单摆周期：,即：相当于集所有质量于O点的一个单摆。,复摆的振动中心,例题_复摆4,以O为悬点的周期：,以O为悬点的周期：,悬点和振动中心可以互换。,应用：实验测定重力加速度g。优于单摆方法。,思考,棒球手或垒球手怎样打球可以避免手受到很强的冲击，减小疼痛？,思考,利用复摆测定重力加速度比单摆精确的原因？,补充例题_教材P22
14、8,设均质棒的线密度为，可证明长为x的棒对于过其端点的垂直轴的转动惯量为：。所以：该摆对于过O点的转动轴的转动惯量为：,要想得角度的关系（运动方程），需解定轴转动的动力学方程，而这首先要得到相对于定轴的转动惯量和力矩的表达式。,选夹角增大的方向(向内)为正方向，则摆对于过O点的转动轴的力矩为：,补充例题_教材P228,定轴转动的动力学方程：,即：,两边都乘以 后根据初始条件积分：,补充例题_教材P228,此即夹角最大值所满足的关系，然而我们从中仍然没有一个直观和明了的感觉。,不过我们对于这样一个摆在平衡状态下的夹角是很容易测得的，设为，下面我们来看一下两者是否有一定的关系。,平衡时力矩和为零：
15、,补充例题_教材P228,即：短棒与垂线间的最大夹角为平衡时夹角的两倍。,定轴转动时轴上的附加压力1,定轴转动为非自由运动。轴对刚体具有约束作用。如何求出约束反力呢？,定轴转动,刚体A、B两点不动,轴的约束,A、B两点的约束反力,动量定理（3）动量矩定理（3）,刚体运动规律（1）A、B处的约束反力（5）,定轴转动时轴上的附加压力2,动量定理：,定轴转动时轴上的附加压力3,定轴转动时轴上的附加压力4,刚体对A点的动量矩定理：,定轴转动时轴上的附加压力5,此为刚体绕固定轴转动的动力学方程,对A点的动量矩定理,动量定理,定轴转动时轴上的附加压力6,附加压力为零的定轴转动刚体，我们称其达到了动平衡状态
16、。此时的转轴称为自由转轴。,刚体处于平衡状态，,A、B两点的力称静力反作用力。,刚体处于非平衡状态，,A、B两点的力称动力反作用力。,定轴转动时轴上的附加压力7,动平衡的充要条件：,即刚体的质心位于转动轴上，且转动轴是一惯量主轴。,例题_附加压力,例：(教材P192)，参看书本。,刚体平面平行运动,对于作平面平行运动的刚体，空间运动问题可以简化为一平面运动问题。只需研究刚体内任意一个与固定平面平行的截面即可。,刚体平面平行运动_速度、加速度,设基点A的速度为，而它的位矢为，则薄片中位矢为 的任意一点的速度为：,加速度为：,方向？！,刚体平面平行运动 _转动瞬心1,转动瞬心：当作平面运动的刚体（
17、薄片）的角速度不为零时，在任一时刻，薄片所在的平面上总会有一个速度为零的点，该点称为转动瞬心，记为C。,令速度为零可得转动瞬心相对于固定系的坐标：,转动瞬心相对于A点动系的坐标：,构成空间极迹（固定平面）,构成本体极迹（薄片动系）,刚体的平面平行运动 _转动瞬心2,若选转动瞬心C为基点，薄片的运动会是什么情况？,薄片的平面平动,绕基点（转动瞬心）的转动,如何寻找和确定转动瞬心？,对于纯转动而言，速度垂直于位矢，所以只要知道薄片上任两点的速度，就可以找出转动瞬心。,本体极迹和空间极迹在某时刻的公切点即此时的转动瞬心。,薄片的平面平动,本体极迹在空间极迹上无滑滚动,从基点速度矢量开始，顺转一直角的
18、方向上，取线段,例题_寻找转动瞬心,刚体平面平行运动_动力学,基点,运动学,动力学,任选:基点平动绕基点转动,质心,外力包含约束反力，所以需外加约束方程。,刚体平面平行运动_机械能守恒,平面平行运动动能：,柯尼希定理,假如只有保守力作功，则机械能守恒：,它可以代替前面动力学方程中的某一个。,例题（P201）_平面平行运动1,解：根据题意画图、建系、并给出受力分析。,纯滚动，有：,圆柱体动力学方程：,其中k为圆柱体对过质心垂直轴线的回转半径。,例题（P201）_平面平行运动2,纯滚动：,讨论,连滚带滑：,滚动摩擦,在前面例题中，若倾角为0，即在粗糙水平面滚动，则：,非绝对刚性,刚体绕固定点的转动
19、,定点转动：刚体中只有一点固定不动，其它部分绕该点的瞬时轴转动。刚体定点转动的描述需三个独立变量（欧拉角）。,定点转动,转动瞬轴：瞬时角速度 所在的轴。,瞬时速度为0的点组成的轴。,转动瞬轴在空间中所描绘的锥面，称空间极面；转动瞬轴在刚体上所描绘的锥面，称本体极面；,欧勒（欧拉）角1,欧勒角（Euler angles）：三个独立变化的角度，在刚体定点转动时，以该定点作为坐标系原点，可以用这三个角来确定转动轴的空间取向和刚体绕该轴转过的角度。,章动角,ON称为节线,进动角,自转角,欧勒（欧拉）角2,章动角,进动角,自转角,描述刚体可能运动状态的欧勒角范围：,欧勒运动学方程1,固定坐标系中角速度与
20、运动坐标系中角速度的关系。,任意一角速度，可表示为：,也可表示为：,欧勒运动学方程2,欧勒角与运动坐标系中角速度的关系。,欧勒运动学方程3,欧勒运动学方程,定点转动角速度、速度,角速度（Angular velocity）：,大小：,线速度：,又：,角速度与线速度关系,单位：,定点转动角加速度、加速度,角加速度（Angular acceleraton）：,单位：,线加速度：,又：,一般运动,一般运动：自由刚体的运动。可以分解为平动和定点转动。刚体定点转动的描述需六个独立变量。,例题（P207）_刚体运动速度、加速度1,解：以A点为原点，水平面为xAy面建立坐标系（动系，y在切线方向）如图：,螺旋桨运动由两部分组成：,螺旋桨在xAz面内自转,随飞机在xAy面内转弯,螺旋桨的总角速度：,例题（P207）_刚体运动速度、加速度2,例题（P207）_刚体运动速度、加速度3,例题（P207）_刚体运动速度、加速度3,回转效应,回转效应：高速旋转物体所具有的一种“反抗”外力矩“意志”的行为现象。,思考,生鸡蛋容易立起来吗？用什么办法能够快速地做到这一点？,回转仪：能够绕几何对称轴高速旋转的刚体。,鱼雷导航:,
