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1、环境水力学,第二章,分子扩散,第二章,分子扩散,第一节,分子扩散的费克定律,第二节,一维扩散方程的基本解,第三节,若干定解条件下分子扩散方程的解析解,第四节,随流扩散,第一节,分子扩散的费克定律,什么叫扩散现象？扩散遵循什么定律？,1,、扩散现象,?,扩散是由物理量梯度引起的使该物理量平均化,的物质迁移现象。污染物质量由于分子无规则,运动从高浓度区到低浓度区的净流动过程称为,分子扩散，它是物质质量输移的方式之一。,扩散现象,?,由气体分子运动论可知，单位时间内分子碰撞的次,数是巨大的。在通常条件下，每秒钟每升体积内的,碰撞次数高达,10,32,次以上，说明分子每时每刻都在,不停歇地作无规则的运
2、动。分子的这种运动称为布,朗运动。,?,两种不同物质通过分子运动而相互渗透的现象,称为分子扩散,。,扩散现象,?,扩散的动力可以是分子场中的浓度梯度、,温度梯度、压力梯度或其它作用力存在。,相应的扩散有浓度扩散、温度扩散、压力,扩散或强制扩散等。,?,分子运动不仅可以传递质量，也同样可以,传递动量、能量、热量和涡通量等。,2,、费克第一扩散定律,T,Graham,曾经对气体的扩散做了大量的研究工作。,A.Fick(,菲克,),在,Graham,工作的基础上，设计出在液体,里量测污染物分子扩散的装置并进行了大量的研究工作，,于,1855,年发表了以试验为基础的分子扩散第一定律：,x,c,D,q,
3、x,?,?,?,?,式中：,q,x,为污染物的质量通量，其量纲为,ML,-2,T,-1,，,D,为分子扩,散系数，其量纲为,L,2,T,-1,。,分子扩散系数随溶质与溶液种类和温,度、压力而变化。,费克第一扩散定律,?,下面给出推导：,设有两个假想的高宽均为,1,，长度为,X,的盒子分别装着物质,M,1,和,M,r,。,费克第一扩散定律,x,c,D,q,x,?,?,?,?,y,c,D,q,y,?,?,?,?,z,c,D,q,z,?,?,?,?,直角坐标系中，分子扩散的费克定律表示为：,由于物质扩散方,向与浓度梯度增加的,方向相反，加负号是,为让污染物的质量通,量始终为正。,矢量表示：,z,k,
4、y,j,x,i,c,D,q,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,为哈密尔顿算子,3,、费克第二扩散定律,采用欧拉研究方法，利用质量守恒原理可推导出费,克扩散第二定律,),(,z,q,y,q,x,q,t,c,z,y,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,式中：,q,x,为污染物的质量通量，其量纲为,ML,-2,T,-1,，,D,为分子扩散系数，其量纲为,L,2,T,-1,。,下面给出推导。,推导：,?,如图表示一维输移的控制体，两个具有单,位面积的平行面与,x,轴垂直，两者相距,dx,，,设,c(x,t),是,t,时刻位于,x,点上物质浓度，则,c(
5、x,t)dx,为该六面体内的污染物质量，该微元,保守物质量对时间的变化率为,设,x,处的物质通量为,q(x,t),，,则在,x+dx,处的物质通量为,x,y,z,O,q,dx,1,1,dx,x,t,x,q,t,x,q,?,?,?,),(,),(,dx,x,q,q,?,?,?,x,x+dx,dx,t,t,x,c,?,?,),(,?,在,x,处和,x+dx,处的通量之差为,?,由质量守恒定律,?,可得：,?,考虑到,?,故得一维扩散方程。,x,y,z,O,q,dx,1,1,2,2,x,c,D,t,c,?,?,?,?,?,dx,x,q,q,?,?,?,x+dx,dx,x,t,x,q,?,?,?,),
6、(,dx,x,t,x,q,dx,t,t,x,c,?,?,?,?,?,?,),(,),(,0,?,?,?,?,?,?,t,c,x,q,x,c,D,q,?,?,?,?,x,?,一维扩散方程,?,从数学上看，它是一个,二阶线性抛物型偏微分,方程,。,?,将上述结果推广到三维中去，可得（直角坐标,系中）：,2,2,x,c,D,t,c,?,?,?,?,?,),(,2,2,2,2,2,2,z,c,y,c,x,c,D,t,c,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,方程含义：方程左边为时变项；方程右端,为分子扩散项。,?,扩散方程在本质上是质量守恒定律在扩散,问题上的体现。,),(,2,2,2,2,
7、2,2,z,c,y,c,x,c,D,t,c,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,第二节,一维扩散方程的基本解,一、静止水环境中的扩散,?,1,、集中瞬时源,?,1,）一维分子扩散,?,2,）讨论,?,计算条件：,?,静止流体：,u=v=w,=0,?,守恒的中和物质,?,不可压缩性,1,、集中瞬时源,?,在原点瞬时集中投放质量为,M,的扩散质。,分别讨论：,1,）、一维扩散,2,）、二维扩散,3,）、三维扩散,1,）、一维扩散,主要针对面污染源，只考虑沿某一方向（,X,方向）,上的浓度分布。,设想有一根直的无限长均匀断面水管，截面,积为,一个单位,，管内装有静止洁净的水体，,在管子中间垂
8、直于管轴瞬时集中投放质量为,M,的红色染液。染液厚度很薄，红色染液在水,管中的扩散为分子扩散。,1,）、一维扩散,由于受管壁限制，且染液薄片充满了整个管断面，,所以染液只会沿长度方向扩散。,令染液投入点为坐标原点，建立坐标系。,O,dX,X,扩散方程为,：,定解条件：,2,2,x,c,D,t,c,?,?,?,?,?,时,当,?,?,?,?,x,t,x,c,x,M,x,c,0,),(,),(,),0,(,?,式中：,C(x,t),为水管中,t,时刻,x,断面染液的平均浓度；,M,是瞬时投放在单位面积上的质量。,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,1,),(,0,),(,dx,x,Di
9、rac,x,?,?,?,具有性质,函数,是脉冲函数,O,),(,x,?,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,M,dx,x,M,dx,x,c,),(,),0,(,?,因此有：,于是，一维扩散定解问题归结为：,时,当,?,?,?,?,x,t,x,c,x,M,x,c,0,),(,),(,),0,(,?,2,2,x,c,D,t,c,?,?,?,?,?,求解方法之一：,?,量纲分析法,?,因为任意时刻在,x,方向某一点的浓度,C,必定与,投放点质量,M,、扩散系数,D,、以及坐标位置,x,、,时间,t,有关。一维问题中，,C,的量纲是,ML,-3,，,该量纲恰好是,的量纲。可设,?,令无量纲变量
10、,Dt,M,),(,4,),4,(,4,),(,?,?,?,f,Dt,M,Dt,x,f,Dt,M,t,x,C,?,?,Dt,x,4,?,?,?,于是：,x,f,Dt,M,x,C,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,4,Dt,f,Dt,M,4,1,4,?,?,?,?,?,x,Dt,f,Dt,M,x,C,x,x,C,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,),4,1,(,4,),(,2,2,Dt,f,Dt,M,4,1,4,2,2,?,?,?,?,?,?,由于：,t,f,Dt,M,Dt,M,t,f,t,C,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,4
11、,),4,(,Dt,x,t,f,Dt,M,f,Dt,M,t,4,2,1,4,4,2,1,?,?,?,?,?,?,?,?,?,将上述结果代入一维扩散方程中,?,可得：,?,即：,2,2,x,c,D,t,c,?,?,?,?,?,0,2,2,2,2,?,?,?,f,d,df,d,f,d,?,?,?,0,2,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,f,d,df,d,d,?,?,?,二阶线性齐次常微分方程,Const,f,d,df,?,?,?,?,2,?,其特解由,2,0,),(,?,?,?,?,e,A,f,1,0,?,A,0,2,?,?,f,d,df,?,?,可得：,D,t,x,e,Dt,M,t,x,
12、c,4,2,4,),(,?,?,?,?,对于保守物质，任何时刻分布在扩散空间内的物质总,质量保持不变，即,M,dx,t,x,c,?,?,?,?,?,),(,代入可得：,式中：,M,为单位面积上扩散质的质量，,g/m,2,；,D,为分子扩散系数，,m,2,/s,。,瞬时平面源一维扩散方程解析解,Dt,x,e,Dt,M,t,x,c,4,2,4,),(,?,?,?,扩散质浓度分布,O,X,C,t,1,t,2,t,1,O,X,t=0,讨论,:,?,当,t,?,0,x,?,0,，取极限可得：,c=+,，说明在初,始时刻，污染源投放点的浓度为,+,。,?,当,t,?,0,x,0,处，,c=0,，说明解满足
13、初始条件。,?,扩散质浓度,C(x,t),是以,t,为参变量的正态分布函,数。,D,t,x,e,Dt,S,M,t,x,c,4,2,4,),(,?,?,?,分子扩散模拟实验,讨,论,:,?,由图中可见，不同扩散时间,t,的浓度分布具有不,同的正态分布曲线，这是瞬时源的重要特点。,?,公式中的,x,应理解为,计算点,P,距排放点的距离,；,公式中的,t,应理解为,距某一指定时刻的时段长。,),(,4,),(,0,0,2,0,),(,4,),(,t,t,D,x,x,e,t,t,D,S,M,t,x,c,?,?,?,?,?,?,一般地,对任意位置,x=x,0,t,0,时刻排污量,M,，有：,例题,1,：
14、,足够长的渠道，断面积为,S,，水流静止，在距离坐标,原点,L,1,处瞬时投放扩散质质量,M,1,（平面源），在距离坐,标原点,L,2,处瞬时投放扩散质质量,M,2,（平面源）。,求,c(x,t)=?,O,M,2,L,2,M,1,L,1,例,1,答案,由此可见，浓度公式中坐标,x,应理解为计算点,P,距排放点的距离。,Dt,L,x,e,Dt,S,M,t,x,c,4,),(,1,1,2,1,4,),(,?,?,?,?,Dt,L,x,e,Dt,S,M,t,x,c,4,),(,2,2,2,2,4,),(,?,?,?,?,),(,),(,),(,2,1,t,x,c,t,x,c,t,x,c,?,?,其中
15、：,例题,2,：,在例,1,中,M,2,在排放,M,1,排放后,T,时刻瞬时排放，,其它条件相同，求,c(x,t)=?,O,M,2,L,2,M,1,L,1,例,2,答案,由此可见，浓度公式中时间,t,应理解为,距某一指定时,刻的时段长,。,Dt,L,x,e,Dt,S,M,t,x,c,4,),(,1,1,2,1,4,),(,?,?,?,?,),(,4,),(,2,2,2,2,),(,4,),(,T,t,D,L,x,e,T,t,D,S,M,t,x,c,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,T,t,t,x,c,T,t,t,x,c,t,x,c,t,x,c,),(,),(,),(,
16、1,2,1,),(,其中：,小,结,1.,这里讲的瞬时、面源、线源、点源的,概念是指数学意义上的，实际情况难,以达到。,2.,源强的单位：,?,一维扩散：是指投放在源平面单位面积上的质,量（,g/m,2,）,习题,?,什么是瞬时平面源？,?,什么是一维分子扩散？,?,P18 2-3,提示：营养物分子扩散浓度,kc,dz,c,d,D,?,2,2,扩散方程为,：,定解条件：,2,2,x,c,D,t,c,?,?,?,?,?,时,当,?,?,?,?,x,t,x,c,x,M,x,c,0,),(,),(,),0,(,?,式中：,C(x,t),为水管中,t,时刻,x,断面染液的平均浓度；,M,是瞬时投放在单
17、位面积上的质量。,求解方法之二：,dx,e,F,x,t,c,dx,Ce,t,x,C,F,x,i,t,C,t,C,x,i,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,),(,作傅氏变换,对,dt,C,dF,dx,Ce,t,dx,Ce,t,x,i,x,i,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,将上式两边对,x,作傅里叶变换可得：,傅里叶变换,dx,e,x,C,i,D,e,t,C,D,x,C,d,e,D,dx,e,D,D,F,x,i,x,i,x,i,x,i,x,C,x,C,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?
18、,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,),(,),(,2,2,2,2,作傅氏变换,对,x,D,x,C,2,2,?,?,傅里叶变换,),(,0,0,),(,2,2,2,C,F,D,dx,e,C,i,D,i,C,De,i,dC,e,D,i,x,C,D,F,e,t,x,C,x,x,i,x,i,x,i,x,x,i,x,t,c,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,因此,有界,
19、又,所以,时，,因为当,初始条件傅氏变换,M,Me,dx,e,x,M,t,x,C,F,x,x,i,x,i,t,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,0,0,),(,),(,?,?,?,这里利用了脉冲函数的性质,定解问题变换为：,M,C,F,C,F,D,dt,C,dF,t,?,?,?,?,0,2,?,用分离变量法,t,D,Me,C,F,2,?,?,?,可得：,取傅氏逆变换得：,Dt,x,x,i,e,Dt,M,d,e,t,c,i,t,c,F,t,x,c,4,1,2,4,),(,2,1,),(,),(,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,随流扩散,?,随流输移和
20、对流输移,?,随流扩散的质量通量,?,分子扩散,?,紊动扩散,随流输移和对流输移,?,随流输移是污染物在接纳水体中随该水体同步运,动所产生的污染物质量迁移运动。,?,对流输移是由于水体内部的温度差或浓度差引起,的密度差，在重力场或其他力场作用下形成浮升,力而产生的质量迁移运动。,无论是随流输移还是对流输移，它们都是污染物,通过单位面积在单位时间内的质量通量，在直角,坐标系中可以表示为如下形式,:,随流输移和对流输移,uc,q,x,?,vc,q,y,?,wc,q,z,?,式中：,u,，,v,，,w,为流速的三个分量；,q,x,，,q,y,，,q,z,为对应的,质量通量；,c,为污染物的浓度，其量
21、纲为,ML,-3,。,随流扩散的质量通量,?,随流分子扩散是在流场中叠加一个浓度场，,这里流速场为：,?,质量通量为：,),(,),(,),(,),(,t,z,y,x,c,c,t,z,y,x,w,w,t,z,y,x,v,v,t,z,y,x,u,u,?,?,?,?,z,c,D,wc,q,y,c,D,vc,q,x,c,D,uc,q,z,y,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,;,;,分子扩散方程,?,将随流扩散的质量通量代入费克第二扩散定,律可得：,?,即为随流分子扩散方程。,),(,),(,),(,),(,2,2,2,2,2,2,z,c,y,c,x,c,D,z,wc,y,vc,x
22、,uc,t,c,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,进一步讨论,z,c,w,z,w,c,z,wc,y,c,v,y,v,c,y,vc,x,c,u,x,u,c,x,uc,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,),(,),(,),(,考虑到：,因为：,0,?,?,?,?,?,?,?,?,?,z,w,y,v,x,u,不可压缩流体的连续性,方程,分子扩散方程的一般形式,),(,2,2,2,2,2,2,z,c,y,c,x,c,D,z,c,w,y,c,v,x,c,u,t,c,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,),(,2,2,2,2,2,2,z,c,y,c,x,c,D,t,c,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,整理得分子扩散方程的一般形式为：,?,上式为不可压缩流体的随流分子扩散方程。,?,对静止流体,u=v=w,=0,上式成为,谢,谢,大,家！,
