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1、第一章质点的运动,第一篇力 学,经典（牛顿）力学研究在弱力场中宏观物体的低速运动。,力学（mechanics)的研究对象是机械运动-物体之间（或内部各部分之间）的相对位置变动。,运动学（kinematics)-描述运动,动力学（dynamics)-研究物体的运动与物体 间相互作用的内在联系,静力学（statics)-研究物体在相互作用下 的平衡问题,力学,第一节 质点 运动方程,第一章质点的运动,第一节质点运动方程一、质点 Partical 几何线度趋于无限小的物体。任何物体可看成一大群质点的集合。可以将物体简化为质点的两种情况：、物体不变形，不作转动时（即物体只作平动，此时物体上各点的速度及
2、加速度都相同，物体上任一点可以代表所有点的运动）。,、物体本身线度和它活动范围相比小得很多（此时物体的变形及转动显得并不重要）二、参考系和坐标系、参考系 Frame of reference用以描写物体运动所选用的另一物体。,、坐标系 Coordinate system 固定在参考系上以确定物体相对于参考系的位置。常用的坐标系：直角坐标系、自然坐标系 三、时间和空间、时间 Time：牛顿的绝对时间观、空间 Space：欧几里德空间,四、运动方程、位置矢量（位矢）Position vecter 用以确定质点位置的矢量,分量形式：x=x(t),y=y(t),z=z(t).、轨道方程：坐标 x,y,
3、z 之间的关系式 运动方程是轨道的参数方程，消去 t 可 得轨道方程,、运动方程：质点位矢随时间的变化 矢量形式：,轨道方程 x2+y2=9:圆柱面 z=0:Oxy平面 轨道是两者交线,为圆,运动是圆周运动,例1-1 运动方程 分量式:x=3sin5t y=3cos5t z=0,矢量式:r(t)=3sin5t i+3cos5t j+0 k,第二节位 移 速 度加 速 度,第二节 位移、速度、加速度,为了描述物体的运动状态，物理学家引入了位移、速度和加速度等概念。通过这些概念的建立要加深对运动的相对性、瞬时性矢量性和迭加性等基本性质的认识。附注：如何描述物体的运动状态是运动学问 题。而从物体的相
4、互作用出发，研究物体运 动状态的变化和周围物体对它所施作用力之 间的关系是动力学问题。一、位移和路程,r=r(t+t)r(t)在直角坐标系中:r=x i+y j+z k,、位移 Displacement 设在时刻 t 质点在A处，它的位矢为r(t)，经过t时间该质点在B处，此时位矢为r(t+t)，则质点在t时间内位置矢量的变化量r 称为质点的位移矢量、简称位移。,、路程 Distance 图中所示曲线 AB 的 长度称为质点经过的路 程 s，它是标量。在 SI 中位移和路程的单 位都为米(m)。,二、速度和速率、平均速度 Average velocity平均速度 v=r/t=r(t+t)r(t
5、)/t=x/t i+y/t j+z/t k=vx i+vy j+vz k 因为 t 是标量，故平均速度 v 的方向与 r 的方向相同。平均速度的大小：|v|=(vx2+vy2+vz2)1/2,平均速度的方向和位移 r的方向相同，大小等于在这段时间 t 内每单位时间完成的位移。,、速度 Velocity 瞬时速度、简称速度：v=lim t0 r/t=dr/dt 速度方向为所在点轨迹的切线方向，并指向质点前进的一方 在直角坐标系中 v=dx/dt i+dy/dt j+dz/dt k 速度分量 vx=dx/dt,vy=dy/dt,vz=dz/dt 速度的大小：|v|=(vx2+vy2+vz2)1/2
6、,、速率 Speed 平均速率：v=s/t 速率：v=lim t0 s/t=ds/dt 平均速率和速率是标量，而平均速度和速度是矢量，它们是两个不同的概念。但在 t 趋于 0 极限情况下，因路程 s 和位移大小|r|相等，所以速度的大小和速率相等，即 v=lim t0 s/t=lim t0|r|/t=|v|通常：v 不等于|r|/t,也即不等于|v|在SI中，速度和速率的单位均为米/秒(m/s).,例1-2 质点沿半径为 R 的圆周作匀速率运动，每 t 秒转一圈，求在 2t 时间间隔中，其平均速度的大小与平均速率。解：因质点在 t=2t 间隔中转了二圈，路程 s=4R，位移 r=0，所以|v|
7、=|r/t|=0 v=s/t=4R/2t=2R/t,三、加速度 Acceleration1.平均加速度:a=v/t=(v(t+t)-v(t)/t 它是平行于 v的矢量。2.加速度:a=lim t0v/t=dv/dt=d2r/dt2 加速度与速度的瞬时变化的方向相同。由于速度是顺轨迹曲线弯曲的方向而改变的，故加速度永远指向曲线凹的方向.在直角坐标中:a=dvx/dt i+dvy/dt j+dvz/dt k=ax i+ay j+az k 加速度的大小：a=|a|=(ax2+ay2+az2)1/2 在SI中加速度的单位为米/秒2(m/s2),例1-3 有一质点沿x轴作直线运动，运动方 程为 x(t)
8、=4.5t2 2t3(m)，试求:(1)第2秒内的平均速度 v，(2)第2秒末的速度 v，(3)第2秒内经过的路程s 及平均速率 v，(4)第2秒末的加速度 a。解:(1)矢量式：r(t)=x(t)i=(4.5t2-2t3)i vx=x/t=x(2)x(1)/(2-1)=(4.522223)(4.52)=0.5m/s v=-0.5 i m/s,(2)第2秒末的速度 v，vx=dx/dt(要先求导再代数值!)=9t6t2t=2=92622=6 m/s v=6 i m/s,(3)第2秒内经过的路程s 及平均速率 v x(t)=4.5t2-2t3 第二秒内位移:x=x(2)-x(1)=-0.5 m
9、但路程不能这样求，当质点在直线上来回运动时，必须先求出质点反向时的时刻，即 vx=0 的时刻，这样分段考虑才能正确求得一段时间内质点经过的路程。根据 vx=9t6t2=0，可求出 t1=0 或 t2=1.5 s由此可求得质点在第2秒内经过的路程为：s=|x(1.5)x(1)|+|x(2.0)x(1.5)|=2.25(m)平均速率为:v=s/t=2.25/1=2.25(m/s),(4)第2秒末的加速度 a 加速度 ax=dvx/dt(要先求导再代数值!)=912t|t=2=9122=-15(m/s2)a=-15 i(m/s2)因为此时加速度与速度方向相同，所以质点在秒末作加速运动。,、切向加速度
10、和法向加速度 有时我们可把加速度分解为二个分量：(1)切向加速度 Tangential acceleration 质点运动轨迹的切线方向的加速度分量at(2)法向加速度 Normal acceleration 垂直于切线方向而指向运动轨迹的曲率中 心的加速度分量an 这样建立的坐标系称为 自然坐标系,下面我们作详细分析。质点作曲线运动时，其速度方向与曲线的切线方向相同。,PQ 曲线为一质点的路程，若此质点在 P点的速度为 v(t)，经过 dt 时间后质点移到Q点，其速度变为 v(t+d t)。质点的速度增量 dv 可被分解成一沿切线的分量和一沿法线的分量。,dv 沿切线分量为 dt 时间内质点
11、的速率改变量 dv；若d为速度在 dt 时间内转过的角度，dv沿法线的分量为 vd。设曲线在P点的切向单位矢量为 to，法向的单位矢量为 no，则 dv 可写成:dv=dv to+vd no,dv 沿切线的分量改变速度大小dv 沿法线的分量改变速度方向,因为P点与Q点无限接近，故PQ弧可视为一圆弧的一段，此圆的半径称为曲线在P点的曲率半径。图中P点与Q点的法线相交于O点，这一交点即为PQ弧的曲率中心。OP或OQ的长度即为曲率半径。因质点由 P点移到 Q点费时dt，故PQ弧的长度为 vdt，也等于为d，,d,dv=dv to+vd no而 vdt=d 故 d/dt=v/(即圆周运动中的=d/dt
12、=v/R)将上式两边除以dt可得质点在P点的加速度 a=dv/dt=dv/dt to+vd/dt no=dv/dt to+v2/no dv/dt 为沿切向分量，故称为质点的切向加速度 at，其值等于速率的变化率，它表示速度变化的快慢。,v2/为 a 沿法向分量，故称为质点的法向加速度 an。因其方向指向曲率中心，在圆周运动中又称为向心加速度，它表示速度方向变化的快慢。因此，at=dv/dt an=v2/加速度的大小：a=(at2+an2)1/2,第三节运动学的两类问题,第三节 运动学的两类问题(以直线运动为例),一、已知质点运动方程，求质点在任一时刻位矢、速度、加速度 已知：x=x(t)则 v
13、=dx/dt a=dv/dt=d2 x/dt2,二、已知质点加速度与时间关系，以及初始条件，求质点在任一时刻速度和位置。已知：a=a(t),初始条件：t=0,x=xo,v=vo。dv=adt vov dv=ot adt v-vo=ot adt v=vo+ot adt dx=vdt xox dx=ot vdt x-xo=ot vdt x=xo+ot vdt匀加速直线运动，a 是常数 v=vo+at，x=xo+vot+a t2/2,例1-4 已知：a=kv（k 为常数），求任意时刻速度和位置。(第二类问题）解：(v=vo+ot adt=vo+ot-kv dt v?)a=dv/dt=kv dv/v=
14、kdt vov dv/v=o t kdt ln(v/vo)=kt v=vo e-k t x=xo+ot voe-k t dt=xo+vo(1e-k t)/k,例1-5 已知：a=k x（k 为常数），求任意位置与速度的关系。(第二类问题）解：(v=vo+ot adt=vo+ot kx dt v?)a=dv/dt=(dv/dx)(dx/dt)=vdv/dx=kx vdv=kxdx vov vdv=xo x kxdx(v2vo2)/2=k(x2xo2)/2,例1-6 已知质点在Oxy平面内的运动方程为 r(t)=2t i+(2t2)j(SI)，求:(1)质点的轨迹方程；(2)质点的速度和速率；(3
15、)质点在直角坐标系和自然坐标系中的加速度；(4)轨迹的曲率半径。(第一类问题）解:(1)运动方程分量式:x=2t,y=2t2 消去 t 得轨迹方程：y=2x 2/4(轨迹为抛物线)(2)vx=dx/dt=2(m/s)vy=dy/dt=2t(m/s)v=(vx2+vy2)1/2=2(1+t2)1/2(m/s),(2)vx=dx/dt=2(m/s)vy=dy/dt=2t(m/s)v=(vx2+vy2)1/2=2(1+t2)1/2(m/s),v 为速度的大小,也是速率的值。速度的方向为：tg=vx/vy=-t,(3)在直角坐标中在自然坐标系中:ax=dvx/dt=0(m/s2)ay=dvy/d t=
16、2(m/s2)at=dv/dt=d 2(1+t2)1/2/dt=2t/(1+t2)1/2(m/s2)an=(a2at2)1/2=(ax2+ay2-at2)1/2=2/(1+t2)1/2(m/s2)(4)=v 2/an=2(1+t2)1/22.(1+t2)1/2/2=2(1+t2)3/2(m),平均速度不等于速度即：V v平均速率也不等于平均速度的大小即：v s/t|r|/t=|r/t|=|V|,(1)r(t)=r(t+t)r0 r0r|r|,(2)r(t)=r(t+t)r0 r0s 0s|r|s r,但要注意:当t0时 s|r|即:ds=|dr|v=ds/dt=|dr|/dt=|dr/dt|=|v|,
