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1、普通物理,第五章 刚体力学（2）刚体定轴转动动力学（4 课时）,圆盘绕过其中心且与盘面垂直的轴做定轴转动，说明在下面两种情况下圆盘边缘上的点是否具有法向加速度和切向加速度？数值是恒定的还是变化的？圆盘以恒定角速度转动；圆盘以恒定角加速度转动。一直杆与一圆盘质量相等，如图连接在一起，则质心在两物体的连接处，对吗？,问题讨论,本讲教学基本要求,掌握：力矩的基本概念，会计算作用于刚体的力的力矩。理解：转动惯量的物理意义，平行轴定理、垂直轴定理。掌握：刚体对固定轴的角动量的计算.掌握：角动量定理和角动量守恒定律及其应用。掌握：刚体定轴转动的转动定理及其应用。掌握：刚体定轴转动的动能定理及其应用。掌握：
2、刚体的动能和重力势能的计算。掌握：刚体的机械能守恒定律。,本讲主要问题,力矩的功刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量守恒律刚体定轴转动的转动惯量刚体定轴转动的转动定理刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的功能原理,力对定轴的力矩将作用于质元 P 的力 对 O 点的力矩在 z 轴上投影得说明力对轴的力矩可用正负号表示方向，不必使用矢量。力的作用线与转轴相交或平行时力对该转轴的力矩为 0。同一个力对不同转轴的力矩不同。,一、力矩的功,力矩的功根据功的定义：显然只有力在转动平面上沿切向的分力做功，所以若力矩使刚体转过，则若力 的力矩为恒量，则意义：刚体绕定轴转动时，恒力矩对刚体作的功等于该恒力
3、矩和角位移的乘积。,说明任一对内力对转轴的合力矩为零，因为它们大小相等、方向相反且作用在同一直线上。刚体上所有内力的总功必为零，因为刚体是不变质点系。注意对于任意质点系，一对内力的总功不一定为零。刚体受多个外力作用时须先计算每个外力的功，然后再求代数和。力矩的功并不是新概念，只是力的功的另一种表达方式。,例1：长 l 质量为 m 的匀质细杆，在摩擦系数为 的水平桌面上绕过一端的轴线转动，求摩擦力对该轴的力矩 M。解：以转轴为 z 轴，杆上各质元均受摩擦力作用，但各质元受的摩擦力对 z 轴的力矩不同，靠近 z 轴的质元所受摩擦力对 z 轴的力矩小，远离 z 轴的质元所受摩擦力对 z 轴的力矩大。
4、在细杆上 x 位置任取质元 dx，其质量为质元所受摩擦力对 z 轴的力矩,整个细杆所受摩擦力对 z 轴的力矩为注意建立坐标系，三坐标轴保证符合右手螺旋关系。建立转动的正方向，通常以逆时针方向为正，关键是与坐标系 z 轴符合右手螺旋关系。按坐标轴方向或规定的正向确定各物理量的正负，未知方向的物理量一律设为正向。,问题讨论：如果转轴在细杆中间位置，下面计算摩擦力矩的过程问题在哪里？,设刚体在外力作用下绕 z 轴转动，某时刻角速度为，在刚体上任取质量为 mi 的质元 P，其所受外力为，根据质点的角动量定理有在 z 轴投影得将上式对刚体上所有质元求和,二、刚体定轴转动的角动量定理,定义：刚体绕 z 轴
5、转动的转动惯量定义：刚体绕 z 轴转动的角动量刚体绕 z 轴转动的角动量定理（微分形式）物理意义：定轴转动刚体所受对转轴的合外力矩等于刚体对该轴的角动量对时间的变化率。,刚体绕 z 轴转动的角动量定理（积分形式）物理意义：作用在刚体上的外力对转轴的冲量矩等于在作用时间内刚体对同一转轴的角动量的增量。注意力矩、角动量必须是对同一转轴的。力矩、角动量都是瞬时量，它们对应某一时刻。力矩、角动量都是相对量，必须指明参考点或轴。因为刚体上每对内力的力臂都相同，所以所有内力矩相互抵消，只需计算外力矩即可。,例2：一质量为 m、半径为 R 的均匀薄圆盘在水平桌面上绕中心轴转动，开始角速度为 0，圆盘与桌面的
6、摩擦系数为，问经过多长时间圆盘才能停下来？解：由于圆盘上不同半径处的质元对转轴的摩擦力矩不同，故本题关键是求圆盘转动过程中对转轴的摩擦力矩。任取一半径为 r，宽度为 dr 的小圆环，其所受摩擦力对转轴的力矩为,整个圆盘转动过程中的摩擦力矩为设停止转动需要的时间为 t，根据角动量定理有,三、刚体定轴转动的角动量守恒律,根据刚体定轴转动的角动量定理物理意义：当定轴转动刚体受到的合外力矩为 0 时，其对转轴的角动量保持不变，即刚体对转轴的角动量守恒。注意角动量守恒是指一段时间内角动量保持为恒量，仅仅始末两个时刻的角动量相等并不意味着角动量守恒，因为中间某时刻角动量可能发生变化。（例如）对于定轴转动的
7、刚体，对轴的角动量守恒的条件是所受的对转轴的合外力矩为零，而不是对轴的冲量矩为零。（为什么？）,四、刚体定轴转动的转动惯量,定义：刚体对固定轴的转动惯量等于刚体上各质元质量与其至转轴的垂直距离的平方的乘积之和，即对于连续质量分布：意义：描述转动惯性的大小（如同直线运动中的质量）。单位：在 SI 制中：kgm2 量纲：ML2,例3：长度为 的轻杆两端各有质量为 m 的小球，小球半径远小于杆长，求此装置绕过轻杆中心的轴线转动的转动惯量。解：根据转动惯量定义例4：求质量为 m，半径为 R 的细圆环绕过圆心且与环面垂直的轴的转动惯量。解：根据转动惯量定义,例5：图为长度为 l，质量为 m 的均匀细杆，
8、求：1）对过杆一端且与杆垂直的轴的转动惯量。2）对过杆的质心且与杆垂直的轴的转动惯量。解1：取如图坐标，依定义解2：取如图坐标，依定义两者关系,平行轴定理：图示，C 为质心，与 O 点距离 d，依定义所以,例6：求质量为 m，半径为 R 的细圆环绕过环上一点且与环面垂直的轴的转动惯量。解：根据转动惯量定义及平行轴定理例7：长度为 l 质量为 m 的细杆两端各有质量为 m 的小球，小球半径远小于杆长，求此装置绕过杆中心且与杆垂直的轴线的转动惯量。解：根据转动惯量定义得,例8：求质量为 m、半径为 R 的均匀薄圆盘对过质心且垂直于盘面的轴的转动惯量。解：如图，薄圆环对 z 轴的转动惯量为将上式对半
9、径做积分得绕 x 轴或 y 轴转动的转动惯量为,垂直轴定理证明：依定义注意：只对均质薄板类型的刚体有效。,例9：分别求出质量为 m 边长为 a 的正方形均质薄板绕 x、y、z 轴的转动惯量。解：将薄板沿 x 轴向截成多个细条，可以看做均值细杆，其质量为，绕 y 轴的转动惯量为薄板绕 y 轴的转动惯量为显然，薄板绕 x 轴的转动惯量为薄板绕 z 轴的转动惯量为,常见均质物体的转动惯量,回转半径任何刚体的转动惯量都可以写成刚体总质量与一个长度平方的乘积的形式，即 式中 k 称为回转半径。例如，圆球的回转半径圆柱的回转半径：质量相同的刚体，转动惯量越大，回转半径越大，因此，回转半径反映了刚体质量相对
10、转轴的分布。,五、刚体定轴转动的转动定理,根据刚体绕 z 轴转动的角动量定理对于刚体，各质元对转轴的相对位置保持不变，故意义：刚体所受对某固定轴的合外力矩等于刚体对此轴的转动惯量与刚体绕此轴转动的角加速度的乘积。此即定轴转动的转动定理，它反应了力矩的瞬时效应，表明：力矩使刚体转动状态发生改变而产生角加速度。其地位与牛顿第二定律相当。,例10：一个质量为 M、半径为 R 的定滑轮（视为均匀薄圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为 m 的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体 m 由静止下落高度 h 时的速度和此时滑轮的角速度。解：受力分析与坐标系如图所示，z 轴过滑轮中心向里，根
11、据转动定理得根据牛顿第二定律得,根据角量与线量的关系得联立(1)(3)得物体下落的加速度为物体匀加速下落到 h 处的速度为依角量与线量的关系得滑轮此时转动的角速度,例11（习题5-10）均匀细棒长为 l，质量为 m，可绕过其端点并与棒垂直的水平轴转动。令棒于水平位置由静止下摆，求：棒在任意位置时的角速度、角加速度。解：坐标系、受力分析如图，细杆在任意位置的重力矩根据转动定理得由以上两式解出,根据角加速度的定义两侧同时积分,六、刚体定轴转动的动能定理,定轴转动刚体的动能对于定轴转动的刚体，在刚体上任取一质元，其动能为对所有质元求和得刚体定轴转动的动能定轴转动刚体的动能只与刚体转动的角速度及对转轴
12、的转动惯量有关，故称转动动能。,刚体定轴转动的动能定理根据定轴转动的转动定理得两边同时积分得意义：定轴转动刚体所受到的对转轴的合外力矩在一段时间内对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。,例12：长为 l，质量为 m 的均匀细杆 OA，可绕通过其一端点 O 的水平轴在铅垂面内自由摆动，已知另一端点 A 过最低点时的速率为 v0，若空气阻力及轴上的摩擦力都可以忽略不计，求杆摆动时 A 点升高的最大高度。解：整个过程仅重力矩做功根据动能定理有,七、定轴转动刚体的功能原理,刚体的重力势能设刚体质量为 m，在刚体上任意取一质元，以坐标原点处为势能零点，则质元的重力势能为对刚体上所有质元求和可见，刚体的重
13、力势能可按质心在重力场中的势能来计算。,定轴转动刚体的功能原理将刚体看做不变指点系，应用质点系的功能定理：注意到刚体内力不做功，故物理意义：定轴转动刚体所受的合外力所作的功，等于系统机械能的增量。特别地，若合外力不作功，则系统机械能守恒，即,例 13（习题 5-15）两个共轴飞轮转动惯量分别为，角速度分别为，求两飞轮啮合后共同的角速度以及啮合过程中机械能的损失。解：两飞轮通过摩擦达到共同角速度，啮合过程中合外力矩为 0，故角动量守恒啮合过程机械能损失为,例 14（习题 5-10）均匀细杆长为 l，质量为 m，可绕过其端点并与细杆垂直的水平轴转动。令细杆于水平位置由静止下摆，求细杆在任意位置时的
14、角加速度和角速度。解：以细杆、地球视为物体系，杆在水平位置时为过程开始，与水平方向夹角为 时为过程结束，此过程仅重力做功，机械能守恒。以支点 O 为重力势能 0 点，则,例 15：质量为 2.97 kg，长 1m 的均质细杆可绕水平的光滑轴转动，最初细杆静止于铅直位置，质量为 10g、速度为 200m/s 的子弹沿水平方向射中并嵌人细杆下方，和细杆一起运动，求细杆的最大摆角。解：如图建立直角坐标系，对子弹与细杆的碰撞过程，因子弹距细杆距离很小，因此子弹对 O 点的重力矩近似为 0，因此碰撞过程始末对 O 点的角动量近似守恒，即,将细杆、子弹、地球视为一系统，升起的过程中仅重力做功，机械能守恒，
15、取末位置为重力势能零点，则联立(1)(2)解得,课后讨论,说一说，体育比赛中那些动作与角动量守恒有关？花样滑冰运动员的“旋”动作运动员旋转时，伸臂使转动惯量增大，转速较慢；收臂使转动惯量减小，转速加快。跳水运动员的“团身-展体”运动员跳水时团身，使转动惯量减小，转速较快；在入水前展体，使转动惯量增大，转速降低，利于垂直入水。体操比赛中”曲体”与”直体”。,地球的自转越来越慢，并且月球在远离我们：45 亿年前月球诞生时，地球的一天只有约 5 小时，与月球的距离约 2 万公里。10 亿年前，地球的一天约为 19 小时，与月球的距离约为 35 万公里。现在，地球的一天约 24 小时，月球与地球的平均
16、距离约为 38 万公里。10 亿年后，地球的一天将变成约 31 小时，月球会远在 41 万公里之外。那么，为什么地球自转会变慢，月球会远离地球呢?,地球的自转越来越慢，原因有三个潮汐作用使海水与海岸碰撞和与海底摩擦而使能量变成热能，这是地球自转变慢的主要原因。由于潮汐的作用使地球把部分自转能量传给了月亮，这是地球自转变慢的次要原因。由于地球两极冰山的溶化使地球自身的转动惯量变大，地球的自转速率变慢。月球远离地球的主要原因有潮汐的作用使地球把部分自转能量传给了月亮，使月球获得能量离地球远去，地球对月球的引力变小。,伐木工人砍树时，要树向哪边倒，就先在那一边砍一个深槽。试说明理由。一梯子的上端靠在
17、墙上，下端放在地面上，问人站在下部还是在顶端容易使梯子滑动？试说明理由。将一根直尺竖在光滑的冰上，如果它倒下的话，其质心将经过怎样一条轨迹？许多大的江河流向赤道，江河夹带大量泥沙沉积到海洋里，这对地球的自转带来什么影响？一质量分布不均匀的细长刚体，重量超过了弹簧秤的最大量度，问怎样用这弹簧秤称出该刚体的重量？,作业：P108页习题,5-7：转动惯量为 20 kgm2、直径为 50 cm 的飞轮以 105 rad/s的角速度转动，制动时闸瓦对飞轮的正压力为 400 N，闸瓦与飞轮之间的摩擦系数为 0.5，求：1）闸瓦作用于飞轮的摩擦力矩；2）从开始制动到停止，飞轮转过的转数及经过的时间；3）从开
18、始制动到停止转动摩擦力矩所作的功。,补充3：求质量为 m 半径为 R 的均质半圆环绕过 A 点且与环面垂直的轴的转动惯量。补充4：求两直角边长均为 a 的直角三角形绕任意直角边转动的转动惯量。,5-9：轻绳跨过一个质量为 M、半径为 R 的圆盘状定滑轮，其一端悬挂一质量为 m 的物体，另一端施加竖直向下的拉力 F，求物体上升的加速度及滑轮两侧绳内的张力。若忽略滑轮质量，结果如何？答案：,5-12：质量为 m 长度为 l 的均质细杆，其一端置于墙壁的边缘，另一端用手支撑使细杆保持水平，如突然将手放开，求此瞬时细杆质心的加速度和细杆 B 端所受的力。,答案：,补充5：如图所示，均质杆可绕支点 O 转动，当与杆垂直的冲力作用于某点 A 时，支点 O 对杆的作用力并不因此冲力的作用而发生变化，则 A 点称为打击中心。设杆长为 L，求打击中心距支点 O 的距离 l。,答案：,
