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1、1,第一章 振动（Vibration）,1.1 简谐运动的描述,1.2 旋转矢量与振动的相,1.4 简谐运动实例,1.3 简谐运动的动力学方程,1.6 阻尼振动,1.5 简谐运动的能量,1.7 受迫振动 共振,1.8 同一直线上同频率的简谐运动的合成,1.9 同一直线上不同频率的简谐运动的合成,*1.10 谐振分析,*1.11 相互垂直的简谐运动的合成,2,随后在大风中因产生共振而断塌,1940年华盛顿的塔科曼大桥在大风中产生振动,3,1.1 简谐运动的描述,一.简谐运动(Simple Harmonic Motion)的概念,简谐振动(SHM)是物体对平衡位置的位移按,余弦规律随时间 t 变化
2、的运动，,注意：,来研究复杂振动；,即是广义振动。,其数学表示：,简谐振动是某些实际振动的近似，,可用,将位移推广到其它物理量，,4,前面表达式中(t+)称为t时刻简谐振动的,圆频率(角频率)=2/T,1.振幅(amplitude)A,最大位移的绝对值(A恒为正值)。,2.周期和频率(反映振动的快慢),周期T(period)，频率(frequency)=1/T,二.描述SHM的三个特征量(A,T,),3.相位(phase),相位(或相)，,当t=0时即为，称作初相。,5,由解析表达式 x=Acos(t+),1.解析法,表达式 A,T,2.振动曲线法,振动曲线 A,T,1.2 旋转矢量与振动的相
3、,一.描述SHM的三种方法,6,矢量长度=A；,3.旋转矢量法,矢量以为角速度绕O点逆时针旋转；,t 时刻矢量与x轴的夹角为 t+;,则矢量端点在x轴上的投影作SHM。,这种表示方法在确定,及研究振动合成较方便。,t,t=0,x=A cos(t+),x,t=0时与x轴夹角为振动初相；,演示,7,二.相位 相差,知道 t,也可知。,的运动状态。,对两个同频率的简谐振动 x1、x2，,等于初相差而不随时间变化。,显然，对一个确定的简谐振动来说，,其 t 时刻的位置和速度,因此可直接用相位来表示简谐振动,其相差,时刻的相位 t+，,8,两振动步调相同，称同相。,=2k,k为整数,取其它值,两振动步调
4、相反，称反相。,两振动不同相。,=(2k+1),k为整数,超前 x1 振动。,与时间无关的相位差，一般取|。,个不同性质的物理量变化的步调也可用相差来,描述。,如交流电路中电压超前电流多少等等。,而且两,反之，则说落后。,若=2-10，则说 x2振动,9,由简谐运动中质点位移随时间的关系,可得到质点加速度随时间的关系,对比两式有,1.3 简谐运动的动力学方程,10,即质点受力F与质点的位移成正比而方向相反，,实际上，受到恢复力的质点之所以作简谐运动是,从牛顿第二定律，知道质点(质量为m)受力,这样的力称为恢复力。,因为质点的位移满足微分方程：,11,式中从微分方程中已知；,从微分方程理论可知其
5、解为,条件算出。,位移 x0 和速度v0的值，,而A、则需从初始,一般的初始条件是：已知 t=0的,也即,12,1.4 简谐运动实例,在实际过程中，如发现某一物理量x随时间有,周期变化，,在一些合理的近似下，,简谐运动的动力学方程。,例1.单摆。,因 很小，质点在x方向受力：,则设法列出该物理量所满足的方程。,往往会发现物理量 x 满足,13,例2.LC振荡电路。,视过程为似稳过程，利用基尔霍,夫第二定律：,选逆时针为正方向，,则,14,例3.复摆：可绕水平固定轴摆动的刚体。,Iz 刚体对水平轴o的转动惯量。,对水平固定轴利用刚体的转动定律,15,例4.稳定保守系统中的简谐运动。,选稳定平衡位
6、置为原点，,在原点处作泰勒展开：,再将其势能函数Ep(x),物体在原点(平衡位置)受力为零：,Ep(x)展开保留最低级近似：,16,则物体在平衡位置附近运动时受力,（恢复力？）,因此，稳定平衡位置附近的运动为简谐运动，,其角频率,17,1.5 简谐运动的能量,这里以水平振动弹簧振子为例。,1.动能,18,2.势能,3.总能,Ek、Ep随时间t变化，但总机械能E守恒。,19,1.已知：U形管内液体质量为m，密度为，,管的截面积为S。,开始时，造成管两边液柱面的一定的高度差，,试判断液体柱振动的性质。,忽略管壁和液体间的摩擦。,分析：,方法一 分析受力规律,恢复力,令,角频率,20,方法二 分析能
7、量,EP=0,无损耗,角频率,弹簧振动演示,21,1.6 阻尼振动（自学）,1.7 受迫振动 共振（自学）,22,1.8 同一直线上同频率的简谐运动的合成,设两个同频率的振动解析表达式为,利用三角公式，可得其合振动,23,利用旋转矢量法可直观的得到上述结果：,1.两振动同相，=2-1=2k,合振幅 A=A1+A2 为最大。,2.两振动反相，=2-1=(2k+1),合振幅 A=|A1-A2|为最小。,o,同一直线上n个同频率的简谐运动的合成,24,1.9 同一直线上不同频率简谐运动的合成,设两个振动的解析表达式为,利用三角关系有合振动,25,由上式可见,合振动可看作振幅缓变的简谐振动。,拍：合振动在强弱之间反复变化的现象。,拍频：单位时间内合振动增强或减弱的次数。,拍频应为振动,频率的两倍：,26,27,*1.10 谐振分析,*1.11 相互垂直的简谐运动的合成（自学）,28,第一章结束,作业：习题 1.1、1.4、1.7、1.13自己做：1.2、1.3、1.17,
