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1、判定三角形相似的定理,A,型,平行于三角形一边的直线和其他两边,相交，所构成的三角形与原三角形相似。,A,D,B,即：,在,ABC,中，,如果,DE,BC,，,E,那么,ADE,ABC,C,推论,平行于三角形一边的直线截其它两边，,A,所得的,对应线段成比例,。,即：,E,D,在,ABC,中，,如果,DE,BC,，,C,B,E,A,B,A,C,B,C,（上比全，,那么,A,D,?,A,E,?,D,?,?,全比上）,A,B,A,C,B,C,A,D,A,E,D,E,D,B,EC,A,B,A,C,（下比全，全比下）,?,，,?,AB,AC,D,B,E,C,A,D,A,E,D,B,E,C,?,?,（上
2、比下，下比上）,D,B,E,C,A,D,A,E,相似具有传递性,C,E,M,A,N,D,B,如果再作,MN,DE,，共有多少对相似三角形？,ADE,ABC,AMN,ADE,AMN,ABC,共有三对相似三角形。,回顾并思考,定义,全等三角,形,判定方法,相似三角,形,三角、三边对,边,S,边,S,角,A,角,A,斜,H,边,S,角,A,边,S,角,A,边,L,应相等的两个,边,S,边,S,角,A,边,S,与,三角形全等,直,三角对应相等,三,角,边对应成比例的两,边,个三角形相似,判定三角形相似，是不是也有这么多种方法呢？,探究,1,边,S,边,S,边,S,A,B,B,C,A,C,?,?,.,已
3、知：,AB,BC,AC,1,1,1,1,1,1,求证：,ABC,A,1,B,1,C,1.,A,1,A,B,C,B,1,C,1,有效利用判定定理一去求证。,A,1,A,D,B,C,E,C,1,B,1,证明：在线段,A,1,B,1,（或它的延长线）上截,A,C,取,AD,，过点,D,作,，交,于点,E,DE,BC,?,A,B,1,1,1,1,1,根据前面的定理可得,?,.,A,D,E,?,A,B,C,1,1,1,1,A,1,A,D,B,C,B,1,E,C,1,AD,D,E,AE,1,1,?,?,AB,BC,AC,1,1,1,1,1,1,A,B,B,C,A,C,?,?,A,D,?,A,B,又,1,A
4、,B,B,C,A,C,1,1,1,1,1,1,E,A,D,E,B,C,A,C,1,?,?,?,A,C,D,E,?,B,C,AE,1,B,C,B,C,C,A,C,1,1,1,1,A,1,1,1,1,?,A,D,E,?,A,B,C,?,A,D,E,?,A,B,C,（,SSS,）,1,1,1,1,1,A,B,C,?,A,B,C,?,1,1,1,知识要点,判定三角形相似的定理之一,边,S,边,S,边,S,如果两个三角形的三组对应边的比,三边对应成比例，两三角形相似。,相等，那么这两个三角形相似。,A,A,1,即：,B,C,B,1,C,1,A,B,B,C,A,C,如果,AB,?,BC,?,AC,1,1,
5、1,1,1,1,那么,ABC,A,1,B,1,C,1.,小练习,AB,BC,AC,求证：,BAD=,CAE,。,?,，,已知：,?,AD,DE,AE,A,AB,BC,AC,?,?,，,解：,AD,DE,AE,E,D,ABC,ADE,C,B,BAC=,DAE,BAC,DAC=,DAE,DAC,即,BAD=,CAE,探究,2,边,S,角,A,边,S,AB,BC,?,?,k,已知：,A,B,B,C,1,1,1,1,B=,B,1,.,求证：,ABC,A,1,B,1,C,1.,A,1,A,B,C,B,1,C,1,你能证明吗？,知识要点,判定三角形相似的定理之二,边,S,角,A,边,S,如果两个三角形的两
6、组对应边的比相,两边对应成比例，且夹角相等，,等，并且相应的夹角相等，那么这两个三,角形相似。,两三角形相似。,A,A,1,B,C,即：,如果,C,1,AB,BC,?,?,k,A,1,B,1,B,1,C,1,B,1,B=,B,1,.,那么,ABC,A,1,B,1,C,1,.,探究,3,大家一起画一个三角形,，三个角分别为,60,、,45,通过测量对应边的长度进行比较。,、,75,，大家画出的三角形相似吗,?,同桌的同学，,一定需要三,个角吗？,即：如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形,的三个角对应相等，那么这两个三角形,_,相似,。,你能证明吗？,角,A,角,A,边,S,角,A,角,A,边
7、,S,已知：,A=,A,1,，,B=,B,1,.,求证：,ABC,A,1,B,1,C,1.,A,角,A,角,A,A,1,B,C,B,1,C,1,角,A,判定三角形相似的定理之三,角,A,知识要点,如果两个三角形的两个角与另一个,两角对应相等，两三角形相似。,三角形的两个角对应相等，那么这两个,三角形相似。,A,A,1,B,C,即：,如果,A=,A,1,，,B=,B,1,.,C,1,那么,ABC,A,1,B,1,C,1,.,B,1,如果两个三角形有一个内角对应相等，,那么这两个三角形一定相似吗？,一角对应相等的两个三角形不一定相似。,小练习,找出图中所有的相似三角形。,“,双垂直”三角形,C,有
8、三对相似三角形：,ACD,CBD,CBD,ABC,ACD,ABC,B,A,D,ACD,CBD,ABC,C,A,D,B,常用的相等的角：,A=,DCB,；,B=,ACD,常用的成比例的线段：,AC,?,BC,?,AB,?,CD,2,AC,?,AD,?,AB,2,BC,?,BD,?,AB,2,CD,?,AD,?,DB,例题,D,已知：,DE,BC,，,EF,AB.,求证：,ADE,EFC.,A,E,C,B,解,:,DE,BC,，,EF,AB,（已知）,F,ADE,B,EFC,（两直线平行，同位角相等）,AED,C,（两直线平行，同位角相等）,ADE,EFC,（两个角分别对应相等的两个三角形相似）,
9、相似三角形对应高的比等于相似比,A,1,A,B,1,D,1,C,1,证明：,ABC,A,1,B,1,C,1,B=,B,1,又,ADB=,A,1,D,1,B,1,=90,0,ADB,A,1,D,1,B,1,（角角）,AD,AB,?,?,k,AD,AB,1,1,1,1,B,D,C,证明：,相似三角形对应角平分线的比等于相似比,A,1,A,B,D,C,B,ABC,A,1,D,1,C,1,1,B,1,C,1,B=,B,AD,，,A,1,，,BAC=,B,BAC,和,1,A,1,C,B,1,BAD=,1,D,1,分别是,B,1,A,1,C,1,的角平分线,ADB,A,1,A,1,D,1,1,D,1,B,
10、1,（角角）,AD,AD,?,AB,?,k,1,1,AB,1,1,相似三角形对应中线的比等于相似比,A,1,A,B,D,C,B,1,D,1,C,1,AD,AB,?,?,k,AD,AB,1,1,1,1,探究,4,H,已知：,Rt,ABC,和,Rt,A,1,B,1,C,1.,L,求证：,A,A,1,B,C,B,1,C,1,AB,A,?,BC,C,?,k,1,B,1,B,1,1,ABC,A,1,B,1,C,1.,你能证明吗？,知识要点,判定三角形相似的定理之四,H,L,如果一个直角三角形的,斜边,和一条,直角,边,与另一个直角三角形的斜边和一条直角边,对应成比例，,那么这两个直角三角形相似。,A,A
11、,1,即：,Rt,ABC,和,Rt,A,B,C,1,1,1.,AB,BC,如果,?,?,k,A,1,B,1,B,1,C,1,B,C,B,1,C,1,那么,ABC,A,1,B,1,C,1,.,课堂小结,1.,相似图形三角形的判定方法：,通过定义,（三边对应成比例，三角相等）,平行于三角形一边的直线,三边对应成比例,（,SSS,）,两边对应成比例且夹角相等,（,SAS,）,两角对应相等,（,AA,）,两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,（,HL,）,2.,相似三角形的性质：,对应角相等。,对应边成比例。,对应高的比等于相似比。,对应中线的比等于相似比。,对应角平分线的比等于相似比。,随堂练习
12、,1.,判断下列说法是否正确？并说明理由。,（,1,）所有的等腰三角形都相似。,（,2,）所有的等腰直角三角形都相似。,（,3,）所有的等边三角形都相似。,（,4,）所有的直角三角形都相似。,（,5,）有一个角是,100,的两个等腰三角形都相似。,（,6,）有一个角是,70,的两个等腰三角形都相似。,（,7,）若两个三角形相似比为,1,，则它们必全等。,（,8,）相似的两个三角形一定大小不等。,2.AD,BC,于点,D,，,CE,AB,于点,E,，且,交,AD,于,F,，你能从中找出几对相似三角形？,A,E,F,B,D,C,3.,下面两组图形中的两个三角形是否相似？为什么？,A,A,30,C,
13、B,A,1,D,C,1,相似,B,1,E,100,F,B,相似,C,4.,过,ABC(,C,B),的边,AB,上一点,D,作一条直线与另一边,AC,相交，截得的小三角,形与,ABC,相似，这样的直线有几条？,D,C,这样的直线有两条：,A,D,E,B,C,作,DE,，使,AED=,C,A=,A,AED=,C,ADE,ABC,A,D,E,B,C,作,DE,，使,AED=,B,A=,A,AED=,B,AED,ABC,3,对,5.,已知：如图，,AB,EF,CD,，图中共有,_,相似三角形。,A,B,AB,EF,AOB,FOE,AOB,DOC,EOF,COD,O,E,F,D,AB,CD,EF,CD,
14、C,6.,如果两个三角形的相似比为,1,，那么这两个,三角形,_,全等,。,7.,若,ABC,与,ABC,相似，一组对应边的长,为,AB,=3 cm,，,AB,=4 cm,，那么,ABC,与,ABC,的相似比是,_,。,4,3,8.,若,ABC,的三条边长的比为,3cm,、,5cm,、,6cm,与其相似的另一个,ABC,的最小边长为,12,cm,，那么,ABC,的最大边长是,_,24cm,。,9.,如图，在,ABC,中，,DG,EH,FI,BC,，,（,1,）请找出图中所有的相似三角形；,ADG,AEH,AFI,ABC,1:4,。,（,2,）如果,AD=1,，,DB=3,，那么,DG,：,BC=_,A,E,F,B,D,G,H,I,C,10.,已知：,DE,BC,，,AE=50cm,，,EC=30cm,，,解,:,BC=70cm,，,BAC=45,，,ACB=40,求：（,1,）,AED,和,ADE,的大小。,（,2,）求,DE,的长。,E,C,1,）,DE,BC,ADE,ABC,A,D,B,AED=,C=40,0,在,ADE,中，,ADE=180,-40,-45,=95,（,2,）,E,C,A,D,B,ADE,ABC,AE,DE,50,DE,AC,?,BC,即,50,?,30,?,70,.,所以,DE,?,50,?,70,50,?,30,?,43,.,75,(,cm,).,（,
