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1、,简单超静定问题,答疑课程：工程力学一2014-10-19,1、基本概念及求解方法,2、拉压超静定问题,知识点,3、扭转超静定问题,4、弯曲超静定问题,*静定问题：由静力平衡方程可确定全部未知力(包括支反力与内力)的问题。,静定,一、基本概念,1、基本概念及求解方法,*静不定问题：根据静力平衡方程不能确定全部未知力的问题。,*静不定度：未知力数与有效平衡方程数之差。,一次静不定,细长悬臂梁，为了减小其最大弯矩和最大挠度，通常在自由端增加一个支座。这也构成了超静定问题。,（a）,（b）,静力平衡方程（1）,变形协调方程（2）,物理关系方程（3）,补充方程,联立求解,二、静不定问题的解法,一、拉压
2、超静定问题的解法,例题1 如图所示超静定问题。设1、2、3三杆的横截面积及材料均相同，即 1、3两杆的长度也相同，试求在铅垂方向的外力F的作用下各杆的轴力。,2、拉压超静定问题,解：,1、根据节点A的受力分析，可列出静力平衡方程：,2、画出各杆件的变形图，建立各杆件变形之间的变形协调方程。,3、写出物理方程,4、由变形协调方程、物理方程，得到补充方程：,5、联立平衡方程和补充方程，求解可得：,2、几何方面,3、物理方面,4、支反力计算,何时,问题：,补充方程：,解：1、静力学方面,例题2 求杆两端的支反力。,杆件在制造的过程中，总会存在一些微小误差。在静定问题中，这种误差只会使结构的几何形状略
3、有改变，并不会在杆内产生附加应力。2杆加工短了。安装时，只要将AB杆稍微倾斜一下即可，并不会产生杆件的变形，当然也不会产生附加应力。,二、装配应力,如果上面的固定物与下面的ABC杆件通过三根杆件连结，且其中的2杆被加工短了，强制安装后，显然2杆要被拉长一点，1杆和3杆就要被缩短一点。因此2杆内存在着轴向拉力，1、3杆内存在轴向压力。这种在载荷作用以前就存在的轴力称为装配内力，与之相应的应力称为装配应力，有时也称之为初应力。,例题3设1、2两杆的长度为l，三杆的抗拉压刚度均为EA，2杆与1杆、3杆的距离均为为a，不计各杆自重。试求强制装配后各杆内的装配应力。,解：1、以刚性杆ABC为研究对象，进
4、行受力分析，并列平衡方程：,（a）,（b）,2、进行变形分析，列写变形协调方程。各杆变形如图所示，由此可以列出变形协调方程：,3、根据变形与轴力的关系，列写物理方程：,4、把（d）代入（c）,（d）,（c）,（e）,5、联立方程（a）、（b）和（e），求解可得：,三、温度应力,在超静定结构中，由于“多余”约束的存在，构件的变形会受到部分或全部的限制，从而将在构件中产生内力，这种内力称为温度内力，与之相应的应力则称之为温度应力。计算温度应力的方法与求解一般超静定问题的方法也是类似的，要从静力学、变形和物理三方面综合考虑。,例题4 等直杆AB，两端分别与刚性支撑连接。设两支撑间的杆长为l，杆的抗拉
5、压刚度为EA，线膨胀系数为。试求温度升高 t时杆内的温度应力。,解：1、受力分析，列平衡方程：,2、进行变形分析，列写变形协调方程。,3、根据变形产生的原因，列写物理方程：,4、将物理方程代入变形协调方程，可得补充方程：,5、联立方程可求得：,一、实例 工程中的受扭构件也存在超静定问题。圆截面杆AB两端被固定，在截面C处受一扭转力偶 作用。对圆杆AB进行受力分析，发现AB杆受到两个未知约束反力偶作用，而这时只能列一个独立的平衡方程。,3、扭转超静定问题,例题5一长为l的组合轴，铜制实心圆轴和钢制空心圆轴套在一起并紧密粘和，其内、外轴的扭转刚度分别为G1IP1、G2IP2，轴的两端受大小为的力偶
6、Me 作用。若内、轴均工作在线弹性范围内，问内、外轴分别承担多大的扭转力偶矩？,解：1、列出静力学方程：设内轴承担的扭转力偶矩为M1，外轴承担的扭转力偶矩为M2。,由于内、外轴紧密地粘和在一起，因此当该组合轴在扭转力偶矩作用下发生扭转变形时，内轴左右两端截面的相对扭转角与外轴左右两端截面的相对扭转角大小相同、方向相同：,（a）,（b）,相对扭转角与扭转力偶矩间的物理关系为：,（c）,将（c）式代入（b）式可得补充方程：,（d）,联立（a）式和（d）式，可得：,多余约束 凡是多余维持平衡所必须的约束,多余反力 与多余约束相应的支反力或支力偶矩,5-3=2 度静不定,6-3=3 度静不定,静不定度
7、与多余约束,4、弯曲超静定问题,相当系统：受力与原静不定梁相同的静定梁,相当系统1,相当系统2,相当系统,静不定梁的分析方法：,wB=0,总结：分析方法与分析步骤,步骤：1、判断静不定度（确定多余约束数）；2、解除多余约束，建立相当系统；3、列出多余约束处的变形协调条件(位移边界条件)；4、结合平衡方程，求多余支反力。,方法：解除多余约束，代之以支反力；分析相当系统，使多余约束点处满足位移边界条件,F 静定基相当系统不唯一，一般选择求解起来最简单的一种,例题6 求支反力。,1.静不定度：6-3=3,2.建立相当系统,小变形，轴向变形可忽略 HA=HB=0。(两度静不定),3.建立变形协调条件,4.联立求解,本题也可以利用对称性直接求出RA和RB RA=RB=ql/2,例题7 在梁BCD受载荷作用以前，拉杆AB内没有内力。已知梁和拉杆用同种材料制成，材料的弹性模量为E，梁横截面的惯性矩为I，拉杆的横截面积为A。试求拉杆的内力。,解：,1.静不定度：4-3=1 为一次超静定梁。,2.建立相当系统,3.建立变形协调条件,4、力与变形之间物理关系为：,5.联立求解,本次答疑结束 谢谢大家！,
