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1、画法几何复习,一、投影概念及投影法分类 1.投影的形成 2.投影的分类,二、点、直线、平面正投影的基本性质 1.类似性:2.全等性;3.积聚性;4.重合性,三、三面投影图 长对正、高平齐、宽相等,第一章 投影的基本知识,一、点的投影规律,二、点用坐标表示 A(x、y、z),三、两点的相对位置及可见性,第二章 点和直线,一.点的投影规律,V,O,X,a,a,ax,A,W,O,X,a,ax,a,a,Z,Z,Y,ay,az,YH,YW,ay,az,d,(1).a a OX【长对正】,(2).a a O【高平齐】,(3).aax a az【宽相等】,ay,V,O,X,a,a,ax,(x,y,z),W,
2、Z,Y,ay,az,d,O,X,Z,YH,YW,a,a,d,A,(x,z),(x,y),(y,z),(x,z),(x,y),(y,z),二.点用坐标表示 A(x、y、z),上,三.两点的相对位置及可见性,X,Z,YW,YH,O,a,a,a,b,b,b,1.方位关系,点在点的 方。,右、,前、,(),2.重影点及其可见性,若两点位于同一条垂直某投影面的投射线上，则这两点在该投影面上的投影重合，称为重影点。,a b,c d,(),可见性判别坐标值大的点投影可见，反之不可见。,四、直线的投影,直线的投影仍为直线，特殊时为一点。,sc,五、属于直线的点,A,B,a,b,a,b,a,b,a,b,x,o,
3、【例】含点C作正平线CD与直线AB相交。,d,d,错误画法,误作成水平线,直线的迹点,迹点直线与投影面的交点。,ABH 水平迹点（M）,ABV 正面迹点（N）,ABW 侧面迹点（S）,o,x,a,b,a,b,M,N,n,m,m,m,n,直线与投影面的相对位置有:平行、垂直和倾斜。前二者称为特殊位置直线，简称特殊线；后者称为一般位置直线、简称一般线。,投影面平行线,投影面垂直线,一般位置直线,六、各种位置的直线,七.线段的实长和倾角,B0,ZBZA距离差,1.直角三角形法,X,O,a,b,a,b,ab,sc,A0,ab,YAYB,sc,XAXB,a b,sc,X,O,a,b,a,b,sc,sc,
4、2.实长、倾角、距离差、投影长之间的关系,sc,ab,Z差,a b,Y差,X差,a b,四个要素中任意知道其中二个要素，都可以求出另二个要素。解题时必须弄清楚这些要素之间的关系。,如求，因是对面的倾角，故所有要素都和有关，即投影(ab)以及距面的距离差(差)。,a b,sc,ab,sc,【例】已知直线AB的a、a，AB25，且30，45；试完成AB的V、H投影。有几解？,a,a,x,o,b在该圆上,b在该线上,a b,Y差,b,b,b在该线上,八、两直线的相对位置,九.直角投影定理,b,c,a,c,A,a,B,b,b,异面垂直也适用,D,d,可任意画,一、平面的表示法,1.用几何元素表示平面,
5、第三章 平面,2.用迹线表示平面,3.熟悉各种位置平面的投影,二.属于平面的直线和点,直线通过属于平面的两个点，则直线属于平面。,直线通过属于平面的一个点，且平行于属于平面的另 一条直线，则直线属于平面。,2.点属于平面的几何条件：,点属于平面的任一直线，则点属于该平面。,【例】已知点D属于 ABC，试求点D的水平投影。,d,a,b,c,a,b,c,【例】已知 平面ABCD的正面投影，且边ADV面，完成其水平投影。,b,c,a,b,c,d,三、属于平面的特殊位置直线,1.属于平面的投影面平行线,1,【例】已知点E 属于ABC平面，且点E距离H面15，距 离V 面10，试求点E的投影。,x,a,
6、b,c,a,b,c,o,几何条件属于平面且垂直于迹线的直线即为平面对 该投影面的最大斜度线。,平面对H 面的最大斜度线水平线,平面对V 面的最大斜度线正平线,平面对W面的最大斜度线侧平线,AB/H，则雨水总是沿 与AB垂直的方向流下,2.属于平面的最大斜度线,证明最大斜度线对投影面的倾角最大,已知:EFH ADEF,求证:AD与H面的倾角为最大,D,证明:在直角AaD和AaC中,tg=,tg=,aDaC,最大斜度线对投影面的倾角等于平面对投影面的倾角,根据直角投影定理，平面对某面最大斜度线在该投影面的投影，与该投影面平行线在该面的投影或同面迹线垂直。,【例】求 ABC平面对H面的倾角。,a,c
7、,b,a,b,c,作图步骤：1.取一水平线；2.作水平线的垂线，求出对H面的最大 斜度线；3.利用直角三角形法 求出平面的 角。,直线与平面、两平面之间的相对位置有：、。,一、平行问题,几何条件若直线平行属于平面的任一直线，则此直 线与该平面平行。,几何条件若属于一平面的相交二直线对应地平行于属 于另一平面的相交二直线，则此二平面平行。,第四章 直线与平面相对位置,二、相交问题,目的:求交点和交线,方法:利用积聚性或辅助平面法,1.特殊情况相交利用积聚性作图,2.一般情况相交利用辅助平面法作图,交点和交线的特点:共有性,辅助平面法求交点,作图步骤：1.包含直线EF作辅 助平面P；,2.求出 P
8、 与ABC 的交线MN；,3.EF 与MN的交点 即为所求；,4.判别可见性。,【例】求直线EF与ABC的交点K，并判别可见性。,a,a,2.求出平面P与 ABC的交线 MN；,1.包含直线EF 作铅垂面P；,3.交线MN与直 线EF的交点 K即为所求；,4.判别可见性。,1 2,(),3,3,(),【例】求两平面的交线并判别可见性。,a,b,c,a,b,c,d,e,f,d,e,f,1,2,4,3,辅助平面法,1.直线与平面垂直,若直线垂直于属于平 面的任意两条相交二 直线，则直线必垂直 于平面。,反之，若直线垂直于 平面，则直线必垂直 于属于平面的所有直 线。,二、垂直问题,平面垂线的投影特
9、性：,根据直角定理，若直线垂直于平面，则有：直线的水平投影必垂直于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于该平面的正平线的正面投影。,【例】求点K到ABC的距离。,b,a,k,a,b,c,c,k,距离,空间分析,【例】求点K到直线AB的距离。,k,a,b,k,l,a,b,sc,距离,2.平面与平面垂直,定理若一直线垂直于平面，则包含该直线的所有平面都 垂直于该平面。,反之，若两平面垂直，则从属于其中一平面的任何一点向另一平面所作的垂线必属于该平面。,两平面垂直,两平面不垂直,【例】以AB为底作等腰ABC，使顶点C属于直线MN。,作图步骤1.作底边AB的中垂面；2.求此中垂面与顶点所在直
10、线 MN的交点C；3.连ABC即可。,求作一直线KL，使其垂直于ABC，且与DE、FG相交。,a,b,c,a,b,c,d,d,e,e,f,g,f,g,k,l,k,l,一、平面立体的投影及表面取点,四、两平面立体相交,三、直线与平面立体相交,二、平面立体的截交线,五、同坡屋面的交线,第六章 平面立体,作图方法利用属于直线、平面的点的作图方法,c,(),一、平面立体的投影及表面取点,截交线性质：截交线是截平面与立体表面 的共有线；2.截交线是闭合的平面多边形,求截交线方法：1.交点法求出截平面与立 体各棱线的交点，按连点原 则依次连接而成；2.交线法求出截平面与立 体各棱面的交线；3.连线原则位于
11、立体的同 一表面的两点才能相连。,二、平面立体的截交线,作出三棱锥被截割后的、投影,H,W,贯穿点直线与立体表面的交点。它是直线与立体表面的 共有点，求贯穿点就是求线与面交点的问题。,贯穿点,求贯穿点的方法:利用积聚性 辅助平面法,l,表面可见则点也可见,三、直线与平面立体相交,【例】求直线KL与三棱锥的贯穿点。,b,b,a,a,辅助平面法,相交的两立体称为相贯体，相贯体表面的交线称为相贯线。,相贯线的性质:,1.相贯线是两立体表面的共有线；,2.由于立体有一定范围，故相贯线一般是闭合线；只有当两 立体具有重叠表面时，相贯线才不闭合。,两平面立体相贯其相贯线一般是闭合的空间折线。,四、两平面立
12、体相交,互贯（一组交线）,全贯（两组交线）,求两平面立体相贯线的步骤,分析形体弄清两立体的形体特征以及它们是全贯或是互贯。,求相贯点就是求每一条棱线与另一立体的贯穿点。,连相贯点属于一立体的同一棱面同时也属于另一立体同一 棱面的两点才能相连。,判别可见性位于两立体均为可见表面的相贯线才是可见的。,【例】求三棱锥和四棱柱的相贯线。,求两平面体的相贯线并补画侧面投影,1.坡度(即角)相等2.所有檐口线同高3.一条檐线代表一个坡面4.相邻二檐线的坡面有交 线(凸角为斜脊、凹角为 斜沟)、平行二檐线的坡 面交线为平脊5.屋面上每个点必有至少 三条线,平脊,檐口线,斜脊,斜沟,五、同坡屋面的交线,先碰先
13、交，依次封闭,三.直线和曲面立体相交,二.平面截割曲面立体,一.曲面立体的表面取点,四.平面体和曲面体相交,五.两曲面立体相交,第七章 曲面立体,圆柱表面取点,分特殊点和一般点，作图方法利用积聚性,圆锥表面上取点,1.纬圆法,2.素线法,一般点特殊点,圆球表面上取点,只能用纬圆法,一般点特殊点,截交线的性质闭合的平面曲线或平面多边形。它是立 体表面和截平面的共有线。,求截交线方法辅助平面法，即素线法和纬圆法。,求截交线的实质就是如何求属于截交线上的点的问题，因此应熟练掌握曲面体表面取点，取点应先取特殊点（如最高、最低、最前、最后、最上、最下、以及可见与不可见的分界点）后取一般点。,平面截割曲面
14、立体,平面与圆柱相交,矩形,椭圆,圆,平面与圆锥相交,圆,三角形,椭圆,双曲线,抛物线,平面与圆球相交,不管截平面位置如何，截交线总是圆；但其投影可能是直线、圆或椭圆。,圆,变化情况,【例】求圆柱截交线。,【例】求圆锥的截交线。,求半球截割后的投影。,目的求贯穿点，它是直线和曲面体的共有点。,一.特殊情况,判断可见性,三.直线和曲面立体相交,【例】求直线与圆锥的贯穿点,【例】求直线与圆球的贯穿点。,1.相贯线性质相贯线是平面体和曲面体表面的共有线。2.相贯线形状由若干段平面曲线或平面曲线和直线所组成 的空间闭合线（两立体有表面共面时不闭合）。3.求相贯线的方法:就是求平面与曲面体的截交线和直线
15、与曲面体表面的交点。4.判别相贯线可见性的原则:只有位于两形体都可见的表面上的交线才是可见的。,四.平面体和曲面体相交,【例】求四棱柱与圆锥的相贯线投影。,求三棱柱与半圆球的交线,【例】求圆锥与四棱锥的相贯线。,辅助平面法,1.相贯线的性质相贯线是两曲面立体表面的共有线。2.相贯线的形状相贯线一般是封闭的空间曲线,特殊情 况下为平面曲线或直线。3.求相贯线的方法表面取点法和辅助平面法。,五.两曲面立体相交,【辅助平面法】,例题6 求两圆柱的相贯线,例题7 求圆柱与圆锥的相贯线,求圆柱与圆锥的相贯线,当两个回转体具有公共轴线时，其表面的相贯线为圆,外切于同一球面的圆锥、圆柱相交时，其相贯线为两条平面曲线椭圆,两圆锥共顶、两圆柱轴线平行时,其相贯线为直线。,
