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1、1,第五章 離散型隨機變數,陳順宇 教授成功大學統計系,2,離散型隨機變數,最常遇到的離散型隨機變數，如 二項分配、超幾何分配下一章將討論連續型隨機變數，如 常態分配,3,隨機變數,是一種函數對應，實驗的每一種結果指定一數值與之對應。,4,隨機變數中之隨機 表示結果的不可預知，變數表示每次結果會有不同的變化通常隨機變數以英文大寫字母表示,5,離散型隨機變數,若一隨機變數可能發生的數值 只有有限個或是 0,1,2,等整數個時，稱為離散型隨機變數,6,如擲一個銅板 3 次,可能擲出的正面次數有0、1、2、3 共4種可能結果，令表3次中出現正面的次數,7,8,像這種試驗每種實驗結果 有一數值與之對應
2、，而且對應的數值只有可數的幾種 即為離散型隨機變數,9,機率分佈(或機率分配),一個離散型隨機變數在 各種可能數值k 發生的機率，稱為此隨機變數的機率分佈(或機率分配)，即隨機變數的機率分佈為 求 P(X=k)=?,10,例5.1、,甲、乙兩人玩擲骰子遊戲，由甲擲骰子如擲出骰子點數是1,2時，甲需付給乙1元，如擲出骰子點數是3,4時，甲、乙兩人沒有輸贏，如擲出骰子點數是5,6時，則甲可得1元令X表甲擲1次骰子後所得的錢，求X的機率分佈？,11,12,機率分佈,13,14,15,例5.2、,甲、丙兩人玩擲骰子遊戲，由甲擲骰子 如擲出點數是1,2時，甲可得2元，如擲出點數是3,4時，甲可得4元，如
3、擲出點數是5時，甲可得10元，如擲出點數是 6時，甲需付給丙 20元令Y表擲1次骰子後甲所得的錢，求Y的機率分佈？,16,Y的機率分佈,17,例5.5、,某人擲一個公正銅板4次，令X代表4次中擲出正面的次數，求X的機率分佈？,18,擲4次銅板的實驗其樣本空間,19,U=正,反正,反正,反正,反,20,U的計數,21,擲4次銅板皆沒有出現正面的機率,22,利用第四章事件獨立求解,因每次擲出反面的機率都是1/2，而且每次擲出反面結果的事件都是獨立因此4次都出現反面的機率為(1/2)4，即=1/21/21/21/2=(1/2)4,23,4次銅板中恰有1次出現正面,()=(正,反,反,反),(反,正,
4、反,反),(反,反,正,反),(反,反,反,正),24,擲4次銅板恰有1次出現正面的機率,25,一般事件(X=k)發生機率,26,f 為 X的機率密度函數,27,機率密度函數,28,機率密度函數圖,29,擲此骰子60次,30,平均數,31,相對次數,32,6個相對次數都應接近等於1/6,33,離散型的隨機變數期望值或稱平均數,34,變異數定義,35,變異數也可利用下列二式計算,36,例5.6、(例5.1續),甲、乙兩人玩擲骰子遊戲，令X表甲擲1次骰子後所得的錢，求(1)X的期望值(2)X的變異數。,37,X的機率分佈,38,(1)X的期望值,39,(2)X的變異數,40,例5.7、(例5.2續
5、),甲、丙兩人玩擲骰子遊戲中，令Y表甲擲1次骰子後所得的錢，求(1)Y的期望值(2)Y的變異數,41,Y的機率分佈,42,(1)Y 的期望值,43,Y的變異數,44,例5.9、(例5.5 續),令X代表擲一個公正銅板4次出現正面的次數，求(1)X的期望值與(2)X的變異數？,45,X機率分佈,46,期望值,47,X的變異數,48,公司四個部門男女生人數統計交叉列表,49,(1)求X,Y 的聯合機率分佈。(2)試證事件(X=0)與事件(Y=1)是 不獨立的,50,X,Y聯合機率分佈,51,事件(X=0)與事件(Y=1)是不獨立的,52,隨機變數獨立,53,54,55,56,相加期望值,57,58
6、,畢氏定理解釋 X,Y 相加的變異數,59,當資料是從某母體隨機取樣n個(即 X1,X2,.,Xn 是iid),60,期望值的意義,例5.11、設某君花50元買一張獎券(如愛國獎券等)，請問這張獎券實際價值是多少錢？,61,表5.2 愛國獎券之獎金與名額,62,您可想像如果把所有獎券都買進，則所有獎金都是您的，獎金共得,63,64,期望值定義,65,5.3 二項分配,擲一銅板其結果有二種可能，正面或反面，正面或稱成功，以X=1表示，反面或稱失敗，以X=0表示，這種只有二種結果的試驗(或實驗)稱為伯努利試驗(Bernoulli Trial)，,66,例5.18、袋中取球觀其顏色:某公司舉辦摸紅球
7、贈獎活動,一袋中有紅球r 個、非紅球b 個、每位顧客由袋中取一球觀其顏色，如取到紅球可獲獎品，否則無獎品。因每次取出的球只有兩種可能，分別為紅球(稱之為成功)與 非紅球(稱之為失敗)故為伯努利試驗,67,例5.19、擲骰子：,擲一個骰子，結果只有擲出點數 是2與不是2兩種可能，我們可以定義擲出 點數2為成功，其他點數為失敗。此種試驗不論骰子是否公正，都是伯努利試驗,68,例5.20、候選人得票率調查：,受訪者若支持候選人甲為成功，否則為失敗(未定者為無效樣本)。此種調查，每位受訪者只有兩種可能:支持與不支持 故為伯努利試驗,69,例5.21、產品不良率調查:,抽到不良品為成功，抽到良品為失敗
8、每次抽到產品只有 良品與不良品兩種可能結果 故為伯努利試驗,70,二項分配,如果重複做同樣狀況的伯努利試驗n次，求這n次中出現正面(或成功)次數的 機率是多少？這種從n次實驗中求有x次成功機率分配，稱之為二項分配(Binomial Distribution),71,1.二項分配特徵如下,(1)全部做n次重複的試驗。(2)每一次試驗只有二種可能，第i次若 成功以Xi=1表示，若失敗以Xi=0表示。(3)n次試驗是獨立的(Independent)(即上一次實驗結果不會影響下一次)。(4)每一次試驗成功的機率都是同樣的，成功機率都是p。,72,73,為什麼叫二項分配呢？這是由二項式定理而得名,74,
9、例5.22、,若丟一個銅板(公正)6次，請問恰有3次正面，3次反面的 機率是多少？,75,恰有3次正面的機率,76,例5.23、擲一公正骰子6次,問,(1)6次都未出現點數2的機率是多少？(2)恰有一次出現點數2的機率是多少？(3)6次都出現點數2的機率是多少?,77,(1)6次皆未出現點數2的機率,78,(2)恰有1次點數2的機率,79,(3)6次皆出現點數2的機率,80,2.二項分配的形狀(Shape),二項分配的機率圖有一共同特徵，即x由0到n，開始時機率值P(x)隨x增加而增大到某一點後就接著下降(即所謂單峰情形)，二項分配機率值P(x)最高點是在 x=(n+1)p，除非(n+1)p為
10、整數。在(n+1)p為整數時，有兩個最高點分別在 x=(n+1)p-1及x=(n+1)p。,81,二項分配的圖形,可能對稱，也有可能右偏，或是左偏，決定於成功的機率值p，如果p=0.5，則圖形是對稱；如果p 0.5，則左偏,82,二項分配XB(30,p)為例，以p=0.5,0.8,0.2計算機率密度及圖形形狀,83,84,85,86,3.二項分配的平均值與變異數,X是二項分配B(n,p)，則 其平均值與變異數公式為(i)E(X)=np(ii)Var(X)=np(1-p),87,例5.26、奧華航空公司,奧華航空公司接受訂位，經常有顧客訂位但未來搭乘，根據經驗約有20%的人訂位而未到，若奧華航空
11、飛機只有20個座位，但已接受25個訂位，在沒有後補顧客的情況下，,88,求,(1)至少有一位訂位者沒有座位的 機率是多少？(2)至少有一空位的機率是多少？(3)求這25位訂位者會到機場人數的 平均數與標準差？,89,90,例5.27、大成公司,大成公司每天生產數千個晶體，已知產品有1%的晶體不符合規格，每小時檢查人員隨機選取40個樣本，X表示40個樣本中不符合規格零件的個數，求X小於或等於1的機率,91,92,5.4 超幾何分配,上節摸彩例子中，每次由袋中取球，看完顏色後又放回袋中，所以上次取出球的顏色(成功、失敗)不會影響下次取出紅球(成功)的機率。下面仍然討論由袋中取球，但每次取出的球不再
12、放回袋中，則上次取出球的顏色會影響下一次取出紅球的機率,93,超幾何分配的架構與二項分配一樣，都是伯努利試驗，即每次試驗只有二種結果，也是做n次試驗，所不同的是試驗與試驗間不再是獨立，下一次試驗結果受上一次試驗結果影響。,94,1.超幾何分配X H(N,n,r)的機率密度函數,95,96,例5.28,全班有32位男生、18位女生，抽籤派5位代表出公差，問(1)抽到2位男生，3位女生的機率是多少？(2)抽到女多於男的機率是多少？,97,98,超幾何分配期望值與變異數:若 XH(N,n,r),99,3.超幾何分配近似於二項分配,100,例5.29、產品中不良率,已知某製程生產的產品中不良率是10%
13、，從1000件產品隨機取出10件，令X表示不良品的個數，求(1)P(X=2)=？(2)P(X 2)=？(3)求E(X)及Var(X),101,102,103,104,例5.30、抽樣驗收,清華電子公司接到一批500個電子零件，合約上說明，如果從此批中任選10個檢查，發現超過一個不良品即可退貨，則接受此批貨。(1)試問如果此批貨中10%是不良品，則 公司接受此批貨的機率是多少？(2)如果此批貨的不良品是20%時，則 接受此批貨的機率又是多少？,105,106,隨機變數,1.統計量會因抽樣不同得到不同的答案，是隨資料變動的，故稱為隨機變數,107,2.離散型隨機變數常用的有,二項分配、超幾何分配、,108,3.以一張獎卷(或統一發票)為例，,了解期望值(實際價值)等於所有報酬與 其發生機率乘積的加總,109,4.期望值的性質：,E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)為恆等式，由此導出若X1,.,Xn iid(即X1Xn是隨機取樣)，則 E()=E(X1)。,110,5.變異數的性質,111,6.機率密度、期望值與變異數,了解二項分配、超幾何分配的機率密度、期望值與變異數,112,7.以袋中取球為例了解放回(二項分配)與不放回(超幾何分配)差別,並知道當母體數N大，及抽樣數n小時，超幾何分配的機率值可以 二項分配 求其近似值,
