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1、“数量关系”常用数学公式汇总一、（2、4、8）整除及余数判定基本法则一个数能被2（或5）整除，当且仅当其末一位数能被2（或5）整除；一个数能被4（或25）整除，当且仅当其末两位数能被4（或25）整除；一个是能被8（或125）整除，当且仅当其末三位数能被8（或125）整除。一个数被2（或5）除得的余数，就是其末一位数被2（或5）除得的余数。一个数被4（或25）除得的余数，就是其末两位数被4（或25）除得的余数。一个数被8（或125）除得的余数，就是其末三位数被8（或125）除得的余数。二、（3、9）整除及余数判定基本法则一个数能被3整除，当且仅当其各位数字和能被3整除；个数能被9整除，当且仅当其
2、各位数字和能被9整除；一个数能被3除得的余除，就是其各位数字和被3除得的余数；一个数能被9除得的余数，就是其各位数字和被9除得的余数。三、整除与余数问题1、被除数除数二商余数（OW余数V除数）；2、余同取余，和同加和，差同减差，公倍数作周期；余同：一个数除以4余1,除以5余1,除以6余1,则取1,表示为60n+l;和同：一个数除以4余3,除以5余2,除以6余1,则取7,表示为60n+7;差同：一个数除以4余1,除以5余2,除以6余3,则取-3,表示为60n-3;四、奇偶特征1、二个奇数之和/差为偶数，二个偶数之和/差为偶数，-奇偶之和/差为奇数；2、两个数的和/差为奇数，则它们奇偶相反，两个数
3、的和/差为偶数，则它们奇偶相同;3、两个数的和为奇数，则其差也为奇数，两个数的和为偶数，则其差也为偶数。五、基础代数公式1 .平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b22 .完全平方公式：（a+b）2=a22ab+b23 .完全立方公式：（ab）3=（a+b）（a2ab+b2）4 .立方和差公式：a3+b3=（a+b）（a2+ab+b2）5 .aan=ara+nanan=ann（a3,）n=am（ab）n=anbn六、等差数列1 .Sn=n(a+a)/2=na+n(n-l)d;2 .a.=a(n1)d；3 .项数n=(a)dl;4 .若a,b,c成等差数列，则：2b=a+c;5 .若m+n=
4、k+i,贝J:am+an=tzjt+ai；6 .Sn=中间项X项数(奇数项时)Sn=中间两项和的一半X项数(偶数项时)七、等比数列14=%尸；2. S=Al1二81其中ql3. 若a,b,c成等比数列，则：b2=ac；4. 若m+n=k+i,则：aa=aka；八、一元二次方程求根公式：ax2+bx+c=a(-)(-z)其中：x,2=,(b4ac20)2a根与系数的关系：X1+X2=-,XlX2=aa九、基础几何公式L勾股定理：a2+b2=c2(其中：a、b为直角边，C为斜边)常用勾股数直角边369121551078直角边4812162012242415斜边510152025132625172
5、.面积公式：正方形=a2长方形=ab三角形=:aA梯形=g(a+b)z圆形=DR2平行四边形=ah扇形=也这3603 .表面积：正方体=6a2长方体=2(ab+bc+ac)圆柱体=2nN+2rh球的表面积=4R24 .体积公式正方体=a3长方体=abc圆柱体=Sh=Jlr一圆锥=r2h球=J?31Z5 .图形等比缩放型：一个几何图形，若其尺度变为原来的m倍，则:(1)所有对应角度不发生变化；所有对应长度变为原来的m倍：所有对应面积变为原来的m倍：2(4)所有对应体积变为原来的/倍,6 .几何最值型:平面图形中,若周长一定，越接近与圆，面积越大(2)平面图形中，若面积一定，越接近于圆，周长越小，
6、(3)立体图形中，若表面积一定，越接近于球，体积越大,(4)立体图形中，若体积一定，越接近于球，表面积越大,十、工程问题1、核心思想：转化归一或最小公倍数2、基础公式：工作量=工作效率X工作时间；工作效率=工作量工作时间;工作时间=工作量工作效率；总工作量=各分工作量之和；十一、几何边端问题1、方阵问题：(1)实心方阵：方阵总人数二(外圈人数4+l)2=N2最外层人数=(最外层每边人数一1)X4(2)空心方阵：方阵总人数二(最外层每边人数-层数)X层数X4无论是方阵还是长方阵：相邻两圈的人数都满足；外圈比内圈多8人。(3)实心长方阵：总人数=MXN外圈人数=2M+2N-4(4)方阵：总人数二M
7、外圈人数=4N-42、排队型：假设队伍有N人，A排在第M位；则其前面有(MT)人,后面有(NT)人3、爬楼型：从地面爬到第N层楼要爬(NT)楼，从第N层爬到第M层要爬W-M层。十二、利润问题利润=售价(卖出价)一成本；利润率=利润成本售价-成本成本售价=成本X(1+利润率)；成本=售价(1+利润率)。十三、排列组合1、解答排列、组合问题的思维模式有二：其一是看问题是有序的还是无序的？有序用“排列”，无序用“组合”；其二是看问题需要分类还是需要分步？分类用“加法”，分步用“乘法”。2排列公式：力，=n(n1)(n2)(nm1),(InWn)O组合公式：C=41一蜀3、相邻问题-捆绑法：先考虑相邻
8、元素，然后将其视为一个整体；不邻问题-抽空法：先考虑剩余元素，然后将不邻元素抽入所成间隙之中。十四、概率问题1、梅E率-满足条件的情况数/总的情况数2、总体概率-满足条件的各种情况概率之和；3、分步概率-满足条件的每个步骤概率之积。4、某条件成立概率该条件不成立的概率。十五、年龄问题年龄问题的三大规律：(1)两人的年龄差是不变的；(2)两人年龄的倍数关系是变化的量；(3)随着时间的推移，两人的年龄都是增加相等的量；十六、边端问题1、基本思想：牢记各类题型当中的“土1关系”，是解答“边端问题”的关键。2、基础公式：（1）单边线形植树：棵数=总长间隔+1；总长=（棵数-1）X间隔（2）单边环形植树
9、：棵数=总长间隔；总长=棵数X间隔（3）单边楼间植树：棵数=总长间隔一1；总长=（棵数+1）X间隔（4）双边植树：相应单边植树问题所需棵数的2倍。（5）剪绳问题：对折N次，从中剪M刀，则被剪成了XM+1）段。十七、行程问题1、平均速度型：平均速度=心比+V22、相遇追及型：相遇问题：相遇距离=（大速度+小速度）X相遇时间追及问题：追击距离=（大速度一小速度）X追及时间背离问题：背离距离=（大速度+小速度）X背离时间3、流水行船型：顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速一水速。顺流行程=顺流速度顺流时间=（船速+水速）顺流时间逆流行程=逆流速度X逆流时间=（船速一水速）X逆流时间4、火车过桥型：列
10、车在桥上的时间=（桥长一车长）列车速度列车从开始上桥到完全下桥所用的时间=（桥长+车长）列车速度列车速度=（桥长+车长）过桥时间5、环形运动型：反向运动：环形周长=（大速度+小速度）X相遇时间同向运动：环形周长二（大速度一小速度）义相遇时间6、扶梯上下型：扶梯级数=（人速+扶梯速度）X顺行运动所需时间=人走的级数+扶梯运行级数（顺行）扶梯级数=（人速-扶梯速度）逆行运动所需时间=人走的级数-扶梯运行级数（逆行）7、队伍行进型：对头一队尾：队伍长度=（u+u队）X时间（人和队伍同向而行）队尾一对头：队伍长度二（uA-U队）X时间（人和队伍反向而行）十八、钟表问题基本常识:钟面上按“分针”分为60
11、小格，分针每分针转6,时针每分钟转0.5时针与分针一昼夜重合22次，垂直44次，成180”22次。钟表一圈分成12格，时针每小时转一格(30),分针每小时转12格(360)时针一昼夜转两圈(720),1小时转圈(30)；分针一昼夜转24圈，1小时转1圈。钟面上每两格之间为30,时针与分针成某个角度一般都有对称的两种情况。十九、容斥原理I、两集合标准型：满足条件I的个数+满足条件11的个数一两者都满足的个数二总个数一两者都不满足的个数。2、三集合标准型：ubuc=a+b+c-ab-bc-ac+abc3、三集和图标标数型：利用图形配合，标数解答(1)特别注意“满足条件”和“不满足条件”的区别(2)
12、特别注意有没有“三个条件都不满足”的情形(3)标数时，注意由中间向外标记4、三集合整体重复型：三集合整体重复型核心公式：AB+C-2y=M-po假如满足三个条件的元素数量分别为A、B、C,总量为M,满足两个条件的总和为X,满足三个条件的个数为y,三者都不满足的条件为p,则有：AUBUC=A+B4C-2y=M-po二十、牛吃草问题核心公式：y=(N-)T原有草量=(牛数一每天长草量)X天数，其中：一般设每天长草量为X。注意：如果草场面积有区别，如“M头牛吃W亩草时”，N用M/W代入，此时N代表单位面积上的牛数。二十一、溶液问题1、溶液二溶质+溶剂浓度二溶质溶液溶质二溶液X浓度溶液二溶质浓度2、浓
13、度分别为a%、b%的溶液，质量分别为M、N,混合后浓度变成c%,则a%xM+b%NM+N二十二、星期日期问题平年与闰年判断方法年共有天数2月天数平年不能被4整除365天28天闰年可以被4整除(四年一闰,百年不闰，四百年再闰)366天29天星期推断：一年加1天;闰年再加1天。大月与小月包括月份月共有天数大月1、3、5、7、8、10、1231天小月2、4、6、9、1130天注意：星期每7天一循环；“隔N天”指的是“每(N+1)天”。二十三、比赛问题N支队伍进行循环赛每支队伍需要和其他任意队伍进行一次比赛，所以每支队伍需要进行(NT)场比赛，由于每场比赛都是2个队伍共同进行，所以总场应该为N(NT)/2。二十四、乘船过河问题核心公式：M个人过河，船上能载N个人，由于需要一人划船，故共需过河M-1/N-1次，(分子、分母分别减“1”是因为需要1个人划船，如果需要n个人划船就要同时减去n)。二十五、其他问题1、空瓶换酒型M个空瓶换N瓶酒，X个空瓶最多可以喝到(XN)(M-N)瓶酒(式子的结果只取整数部分)；2、青蛙跳井问题完成任务的次数=(井深-每次上跳的米数)/(每次上跳的米数一每次下滑的米数)+1例如：青蛙从井底向上爬，井深10米，青蛙每跳上5米，又滑下4米，这样青蛙需跳几次方可出井？（答案：6次）
