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1、,第9章密码学新技术主讲人:叶世贝、倪凯敏、高闯三20181,91椭圆曲线椭圆曲线并非椭圆,之所以称为椭圆曲线是因为它的曲线方程与计算椭圆周长的方程类似。在数学上,椭圆曲线的曲线方程是以下形式的三次方程x3taxtb因为A=(a/3)3+(b/2)2=(4a3+27b2)/108是方程x3+ax+b=0的判别式当4an3+27b2=0时方程有重根,设为x,则点Q=(x,0)是椭圆曲线的重根即x3+ax+b=(xx0)3,重根使一阶导数3x2+a在该Q0点为0令P(xy)=所以dyx=-(oFo)(Fy)=(3x2+a2y在Q点无定义,即曲线x3+ax+b在Q点的切线无定义,因此点Q的倍点运算无
2、定义所以要求判别式A=4a3+27b202,91椭圆曲线实数域上的椭圆曲线对于固定的a和b,满足形如方程y2=x3+ax+b的所有点(x,y)集合,外加一个无穷远点O,其中,a、b是实数,x和y在实数域上取值有限域GF(p上的椭圆曲线对于固定的a和b,满足形如方程y2=x3+ax+b(modp)(a.b,x,yGF(P)4a3+27b(modp)0)的所有点(x,y)集合,外加一个零点或无穷远点O,其中,a、b、x和y均在有限域GF(p)上取值,即在0,1,2,p-1上取值。P是素数。2018/16,9.1椭圆曲线一般来说,E(ab)由以下方式产生对每一个x(0rs且x为整数),计算x34ax
3、+b(modp)在中求得的值在模尸下是否有平方根,如果没有,则曲线上没有与这x相对应的点;如果有,则求出两个平方根y和 ymodp(y=0时只有一个平方根)有限域GF(2m)上的椭圆曲线对于固定的a和b,满足形如方程y2=x3+ax+b(mod p)的所有点(x,y)集合,外加一个零点或无穷远点O,其中,a、b、x,yGF(2m)GF(2m)上的点是m位比特串2018/16,9.1.1椭圆曲线的加法运算法则E,(a,b)上的加法定义如下设P,QEp(b),则P+O=P若P=(x2y),那么(x,y)+(x,-y)=O,即(x,-y)是P的加法逆元,记显然任一点P和其逆元P都是E2(ab)中的点,如P=(1,11)和P=(1,-11)=(1,12)E23(1,4)设P=(x1y),Q=(x2y2),P-Q,则P+Q=(x3y3)由以下确定x3=22-x-x2(mod p)其中A=x3a,P=Q切线,倍乘01816,
