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1、一幂级数的收敛半径、收敛区间（收敛域）的求法,解题方法流程图如下。,对于 型，令,化为 型,可得收敛域；,解题方法流程图,求幂级数收敛域,判别幂级数类型,，其它,1,2,3,二、幂级数和函数的求法,求幂级数的和函数，最常用的方法是首先对给定的,幂级数进行恒等变形，然后采用“先求导后积分”或“先,积分后求导”等技巧，并利用与形如（或 等）,幂级数的和函数，求出其和函数。,解题方法流程图如下图所示。,求 的和函数,令,Yes,恒等变换直接求和,逐项积分,逐项求导,逐项求导,解题方法流程图,三、典型例题,【例1】求幂级数 的收敛半径及收敛域。,解：,当 时，级数为，该级数收敛。,当 时，级数为，该级
2、数收敛。,故此幂级数的收敛域为。,【例2】求幂级数 的收敛域。,解：令，原级数变为,所以，即 时，幂级数收敛。,当 时，级数为，为交错级数收敛，,当 时，级数为，为P-级数发散，,故此幂级数的收敛域为。,【例3】求幂级数 的收敛域。,解：缺少偶次幂的项，由比值审敛法,当，即 时，级数收敛。,当，即 时，级数发散。,当 时，级数为，为交错级数收敛。,当 时，级数为，为交错级数收敛。,故此幂级数的收敛域为。,解：记,求导得,积分得,令，则,二、函数的泰勒级数,1泰勒级数定义：,称为 在点 的泰勒级数。,2麦克劳林级数定义：,称为 的麦克劳林级数。,四、将函数展开成泰勒级数(幂级数),直接展开法：直
3、接展开法是通过函数求在给定点的各阶,导数，写出泰勒展开式。,间接展开法：间接展开法通常要先对函数 进行恒等,函数的性质（求导数或积分），将函数展,开成幂级数。解题方法流程图如下图所示。,求 的幂级数展开式,关于 的幂级数,对 求导,对 积分,解题方法流程图,五、典型例题,解：对 进行恒等变形：,而,故,满足，即，成立区间为：,注：函数展开成幂级数必须写出收敛区间。,【例6】将函数 展开成 的幂级数。,分析：本题用直接方法展开非常繁琐，用先积分后求导的,间接方法是很难 把展开成 的幂级数，所以，只能用,解：因为,而,对 先求导再积分的间接方法展开成 的幂级数。,又因为，从而积分得,因为幂级数在 处收敛，,所以,所以，收敛域为。,谢谢！,供娄浪颓蓝辣袄驹靴锯澜互慌仲写绎衰斡染圾明将呆则孰盆瘸砒腥悉漠堑脊髓灰质炎(讲课2019)脊髓灰质炎(讲课2019),供娄浪颓蓝辣袄驹靴锯澜互慌仲写绎衰斡染圾明将呆则孰盆瘸砒腥悉漠堑脊髓灰质炎(讲课2019)脊髓灰质炎(讲课2019),
