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1、2023/3/20,1,预备知识回顾 二重积分的计算法,2023/3/20,2,且在积分区域D上连续时,若D为 X-型区域,则,若D为Y-型区域,则,利用直角坐标计算二重积分,2023/3/20,3,说明:(1)若积分区域既是 X-型区域又是Y-型区域,为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.,则有,(2)若积分域较复杂,可将它分成若干,X-型域或Y-型域,则,2023/3/20,4,例1.计算,其中D 是直线 y1,x2,及,yx 所围的闭区域.,解法1.将D看作X-型区域,则,解法2.将D看作Y-型区域,则,2023/3/20,5,例2.计算,其中D 是抛物线,所围成的闭区域.,
2、解:为计算简便,先对 x 后对 y 积分,及直线,则,2023/3/20,6,例3.计算,其中D 是直线,所围成的闭区域.,解:由被积函数可知,因此取D 为X-型域:,先对 x 积分不行,说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.,2023/3/20,7,例4.计算二重积分,其中区域D 是由直线,与双曲线,围成的闭区域.,解:Y-型区域，则,2023/3/20,8,例5.计算二重积分,其中D是由直线y=2x,x=2y 和直线x+y=3所围的封闭区域.,x=2y,y=2x,x+y=3,解:,由,将D看作X-型区域，它由两部分组成:,1,2,2023/3/20,9,例5(续).计算二重积分
3、,其中D是由直线y=2x,x=2y,和直线x+y=3所围的封闭区域.,x=2y,y=2x,x+y=3,解:,积分域D由两部分组成:,1,2,X-型区域,2023/3/20,10,第七节 多维随机变量 及其分布(1),一、二维随机变量及其分布,二、二维离散型随机变量,三、二维连续型随机变量,2023/3/20,11,在实际问题中，可能遇到多个随机变量的情形，如：,1)射击问题中,对于弹着点往往需要横坐标和纵坐,标描述;,2)研究学龄前儿童的发育情况，观察身高,体重等;,3)具体评价产品的质量,可能有多个评价指标如尺,寸,外形,外包装等.,2023/3/20,12,1）定义：设 E 是一个随机试验
4、，它的样本空间是=，设 X=X()和 Y=Y()是定义在 上的随机变量。由它们构成的一个向量(X,Y)，叫做二维随机向量，或二维随机变量。,X(),Y(),一、二维随机变量及其分布函数,2023/3/20,13,注 意 事 项,2023/3/20,14,3.联合分布函数,1）定义,2）几何意义,y,o,(x,y),(X,Y),2023/3/20,15,3）一个重要的公式,y,x,o,x1,x2,y1,y2,(X,Y),(x2,y2),(x2,y1),(x1,y2),(x1,y1),2023/3/20,16,4）分布函数具有以下的基本性质：,（1）F(x,y)是变量 x,y 的不减函数，即对于任
5、意固定的 y,当 x1 x2时，,对于任意固定的 y,且,对于任意固定的 x,当 y1 y2时，,对于任意固定的 x,2023/3/20,17,（3）F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0),即 F(x,y)关于 x 右连续，关于 y 也右连续.,y,x,o,x1,x2,y1,y2,(X,Y),(x2,y2),(x2,y1),(x1,y2),(x1,y1),说明：任何二维随机变量的分布函数都具有这四条性质；更进一步地，我们还可以证明：如果某一个二元函数具有这四条性质，那么，它一定是某一二维随机变量的分布函数。,2023/3/20,18,定义 若X,Y均为离散随机变量，则(
6、X,Y)为二维离散随机变量,且,二、二维离散随机变量,1.二维离散随机变量的联合概率分布,2023/3/20,19,X,Y,其中,2023/3/20,20,设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能地取,试求（X,Y）的联合概率分布。,例1,一个值，随机变量Y在1-X中等可能地取一整数值，,解：,由乘法公式易得（X,Y）的联合概率分布。,即,2023/3/20,21,设二维随机变量（X,Y）的联合概率分布如下,例2,解：,2023/3/20,22,三、二维连续随机变量,1.二维连续随机变量,定义 设X,Y均为连续随机变量，,2023/3/20,23,联合概率密度的性质：,设 G 是平面上的一
7、个区域，点(X,Y)落在 G 内 的概率为：,这个公式非常重要！,2023/3/20,24,例3,(1)求F(x,y);,(2)求(X,Y)落在区域D内的概率,区域D如图,所示.,2023/3/20,25,解,(1),2023/3/20,26,(2),2023/3/20,27,例 4,2023/3/20,28,2023/3/20,29,2023/3/20,30,2023/3/20,31,2023/3/20,32,小结：1 二维离散型随机变量的联合分布率的定义及性质。2 联合分布函数的定义及性质。3 二维连续型随机变量的联合概率密度的定义及性 质，特别是,4 二维均匀分布和二维正态分布。,202
8、3/3/20,33,1.二维随机变量的分布函数,2.二维离散随机变量的联合概率分布及分布函数,3.二维连续随机变量的联合概率密度和分布函数,内容小结,2023/3/20,34,习题二(P64)：16,17,18,作业,2023/3/20,35,思考题,2023/3/20,36,备用题,1.,解,2023/3/20,37,2023/3/20,38,2.,解,2023/3/20,39,2023/3/20,40,2023/3/20,41,3.,设随机事件A,B满足,求(X,Y)的分布列.,解,2023/3/20,42,所以(X,Y)的联合分布列为,2023/3/20,43,所以(X,Y)的联合分布列为,2023/3/20,44,4.,在长为a的线段的中点的两边随机地各取,独立，它们的联合密度函数为,Y为线段中点右边所取点到端点0的距离，,一点，求两点间的距离小于a/3的概率.,2023/3/20,45,图2.2的阴影部分，因此，所求概率为,2023/3/20,46,5.,设随机变量(X,Y)的概率密度为,解,故 k=1/8.,2023/3/20,47,2023/3/20,48,6.,设随机变量(X,Y)的联合密度为,2023/3/20,49,(2)求(X,Y)落在区域D内的概率，使用公式,2023/3/20,50,于是有,
