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1、有限元法及应用总结,串讲,1.,有限元的作用是什么？,?,1,）减少模型试验的数量；,?,计算机模拟允许对大量的假设情况进行快速而有效的,试验。,?,?,?,?,2,）模拟不适合在原型上试验的设计；例如：器,官移植，比如人造膝盖。,3,）节省费用，降低设计与制造、开发的成本；,4,）节省时间，缩短产品开发时间和周期；,5,）创造出更可靠、高品质的设计。,2.,有限元的基本概念,用有限个单元来描述。,有限元法：把求解区域看作由许多小的在节点,处相互连接的单元（子域）所构成，其模型给,出基本方程的分片（子域）近似解，由于单元,（子域）可以被分割成各种形状和大小不同的,尺寸，所以它能很好地适应复杂的
2、几何形状、,复杂的材料特性和复杂的边界条件。,再加上它有成熟的大型软件系统支持，使其已,成为一种非常受欢迎的、应用极广的数值计算,方法。,?,有限元：通俗的讲就是对一个真实的系统,?,?,有限元模型与有限元分析,?,?,有限元模型：它是真实系统理想化的数学,抽象。由一些简单形状的单元组成，单元,之间通过节点连接，并承受一定载荷。,有限元分析：是利用数学近似的方法对真,实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。,并利用简单而又相互作用的元素，即单元，,就可以用有限数量的未知量去逼近无限未,知量的真实系统。,3.,有限单元法的特点有哪些？,?,?,?,?,?,1,）把连续体划分成有限个单元，把单元的交
3、界结点（节点）,作为离散点；,2,）不考虑微分方程，而从单元本身特点进行研究。,3,）理论基础简明，物理概念清晰，且可在不同的水平上建,立起对该法的理解。,4,）具有灵活性和适用性，适应性强。（它可以把形状不同、,性质不同的单元组集起来求解，故特别适用于求解由不同,构件组合的结构，应用范围极为广泛。它不仅能成功地处,理如应力分析中的非均匀材料、各向异性材料、非线性应,力、应变以及复杂的边界条件等问题，且随着其理论基础,和方法的逐步完善，还能成功地用来求解如热传导、流体,力学及电磁场领域的许多问题。）,5,）在具体推导运算过程中，广泛采用了矩阵方法。,4.,有限元法涉及的内容有哪些？,?,?,?
4、,?,?,?,有限元法在数学和力学领域所依据的理论；,单元的划分原则；,形状函数的选取及协调性；,有限元法所涉及的各种数值计算方法及其误,差、收敛性和稳定性；,计算机程序设计技术；,向其他各领域的推广。,5.,有限元法的分类,?,有限元法可以分为两类，即线弹性有限元,法和非线性有限元法。其中线弹性有限元,法是非线性有限元法的基础，二者不但在,分析方法和研究步骤上有类似之处，而且,后者常常要引用前者的某些结果。,线弹性有限元,?,?,线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象的，,所考虑的变形建立在小变形假设的基础上。在,这类问题中，材料的应力与应变呈线性关系，,满足广义胡克定律；应力与应变也是线性关
5、系，,线弹性问题可归结为求解线性方程问题，所以,只需要较少的计算时间。如果采用高效的代数,方程组求解方法，也有助于降低有限元分析的,时间。,线弹性有限元一般包括线弹性静力学分析与线,弹性动力学分析两方面。,非线性有限元,?,?,?,?,?,非线性问题与线弹性问题的区别：,1,）非线性问题的方程是非线性的，一般需要迭代,求解；,2,）非线性问题不能采用叠加原理；,3,）非线性问题不总有一致解，有时甚至没有解。,以上三方面的因素使得非线性问题的求解过程比,线弹性问题更加复杂、费用更高和更具有不可预,知性。,1,）材料非线性问题,?,?,?,?,有限元求解非线性问题可分为以下三类：,1,）材料非线性
6、问题,材料的应力和应变是非线性的，但应力与应变却很微小，,此时应变与位移呈线性关系，这类问题属于材料的非线性,问题。由于从理论上还不能提供能普遍接受的本构关系，,所以，一般材料的应力与应变之间的非线性关系要基于试,验数据，有时非线性材料特性可用数学模型进行模拟，尽,管这些模型总有他们的局限性。,在工程实际中较为重要的材料非线性问题有：非线性弹性,（包括分段线弹性）、弹塑性、粘塑性及蠕变等。,2,）几何非线性问题,?,?,几何非线性问题是由于位移之间存在非线,性关系引起的。,当物体的位移较大时，应变与位移的关系,是非线性关系。研究这类问题一般都是假,定材料的应力和应变呈线性关系。它包括,大位移大
7、应变及大位移小应变问题。如结,构的弹性屈曲问题属于大位移小应变问题，,橡胶部件形成过程为大应变问题。,3,）非线性边界（接触问题）,?,?,?,在加工、密封、撞击等问题中，接触和摩擦的,作用不可忽视，接触边界属于高度非线性边界。,平时遇到的一些接触问题，如齿轮传动、冲压,成型、轧制成型、橡胶减振器、紧配合装配等，,当一个结构与另一个结构或外部边界相接触时,通常要考虑非线性边界条件。,实际的非线性可能同时出现上述两种或三种非,线性问题。,*6.,有限元的基础理论包括哪几部分？,?,?,?,?,1.,加权余量法,加权余量法：是指采用使余量的加权函数为零,求得微分方程近似解的方法称为加权余量法。,（
8、,Weighted residual method WRM,）,加权余量法是求解微分方程近似解的一种有效,的方法。,显然，任何独立的完全函数集都可以作为权函,数。按照对权函数的不同选择得到不同的加权,余量计算方法，主要有：配点法、子域法、最,小二乘法、力矩法和伽辽金法。其中伽辽金法,的精度最高。,2.,里兹方法,?,里兹方法：如果微分方程具有线性和自伴随的,性质，那么它不仅可以建立它的等效积分形式，,并利用加权余量法求其近似解，而且还可以建,立与之相等效的变分原理，从而得到的另一种,近似求解方法。,?,自然变分原理：原问题的微分方程和边界条件的等效,积分的伽辽金法等效于它的变分原理，即原问题的
9、微,分方程和边界条件等效于泛函的变分为零，亦即泛函,取驻值。反之，如果泛函取驻值则等效于满足问题的,微分方程和边界条件。而泛函可以通过原问题的等效,积分的伽辽金法而得到，我们称这样得到的变分原理,为自然变分原理。,2.,里兹方法（续）,?,对于具有线性、自伴随性质的微分方程在得到,与它相等效的变分原理以后，可以用来建立求,近似解，这一过程即里兹方法。它的实质是从,一族假定解中寻求满足泛函变分的“最好的”,解。显然，近似解的精度与试探函数（形函数,或试函数）的选择有关，如果知道所求解的一,般性质，那么可以通过选择反映此性质的试探,函数来改进近似解，提高近似解的精度。,3.,虚功原理,平衡方程和几
10、何方程的等效积分“弱”形,式,?,虚功原理包含虚位移原理和虚应力原理，是虚位,移原理和虚应力原理的总称。他们都可以认为是,与某些控制方程相等效的积分“弱”形式。虚功,原理：变形体中任意满足平衡的力系在任意满足,协调条件的变形状态上作的虚功等于零，即体系,外力的虚功与内力的虚功之和等于零。,?,虚位移原理是平衡方程和力的边界条件的等效积,分的“弱”形式；,?,虚应力原理是几何方程和位移边界条件的等效积,分“弱”形式。,3.,虚功原理（续）,平衡方程和几何方程的等效积分“弱”,形式,?,虚位移原理的力学意义：如果力系是平衡的，,则它们在虚位移和虚应变上所作的功的总和为,零。反之，如果力系在虚位移（
11、及虚应变）上,所作的功的和等于零，则它们一定满足平衡方,程。所以，虚位移原理表述了力系平衡的必要,而充分条件。,?,一般而言，虚位移原理不仅可以适用于线弹性,问题，而且可以用于非线性弹性及弹塑性等非,线性问题。,?,但是否适用所有的问题呢？,3.,虚功原理（续）,平衡方程和几何方程的等效积分“弱”,形式,?,虚应力原理的力学意义：如果位移是协调的，则虚应,力和虚边界约束反力在他们上面所作的功的总和为零。,反之，如果上述虚力系在他们上面所作的功的和为零，,则它们一定是满足协调的。所以，虚应力原理表述了,位移协调的必要而充分条件。,?,虚应力原理可以应用于线弹性以及非线性弹性等不同,的力学问题。,
12、?,但是必须指出，无论是虚位移原理还是虚应力原理，,他们所依赖的几何方程和平衡方程都是基于小变形理,论的，他们不能直接应用于基于大变形理论的力学问,题。,4.,最小位能原理和最小余能原理,?,明确：最小位能原理是建立在虚位移原理基础上,的，而最小余能原理建立在虚应力原理基础上。,?,最小位能原理是指在所有可能位移中，真实位移,使系统总位能取最小值。,?,总位能是指弹性体变形位能和外力位能之和。,?,最小余能原理是指在所有的应力中，真实应力使,系统的总余能取最小值。,?,总余能是指弹性体余能和外力余能总和。,4.,最小位能原理和最小余能原理（续）,?,一般而言，利用最小位能原理求得位移近似解,的
13、弹性变形能是精确解变形能的下界，即近似,的位移场在总体上偏小，也就是说结构的计算,模型显得偏于刚硬；而利用最小余能原理求得,的应力近似解的弹性余能是精确解余能的上界，,即近似的应力解在总体上偏大，结构的计算模,型偏于柔软。,?,当分别利用这两个极值原理求解同一问题时，,我们将获得这个问题的上界和下界，可以较准,确地估计所得近似解的误差，这对工程计算具,有实际意义。,*7.,单元划分原则是什么,?,?,梁、杆单元划分的原则,?,两个节点之间的杆构成一个单元，节点可按以,下原则划分：,1,）杆件的交点一定要选为节点,(,梯子）；,2,）阶梯形杆截面变化处一定取为节,点（阶梯轴）；,3,）支撑点与自
14、由端要选为节,点（悬臂梁）；,4,）集中载荷作用处最好选为,节点；,5,）欲求位移的点要选为节点；,6,）单元,长度最好基本相同。,平面单元划分原则,?,1.,单元形状：常用单元形状有三角形单元、矩形单元和等,参数单元。他们的特点是单元的节点数越多，其计算精,度越高，三角形单元与等参数单元可适应任意边界。,?,2.,划分原则：,?,1,）划分单元的个数，视计算机要求的精度和计算机容量,而定，单元分得越多，块越小其精度越高，但需要的计,算机容量越大，因此，须根据实际情况而定。,?,2,）划分单元的大小，可根据部位不同有所不同，在位,移或应力变化大的部位取得单元要小；在位移或应力变,化小的部位取得
15、单元要大，在边界比较平滑的部位，单,元可大。,平面单元划分原则（续）,?,3,）划分单元的形状，一般均可取成三角形或,等参元。对于平直边界可取成矩形单元，有时,也可以将不同单元混合使用，但要注意，必须,节点与节点相连，切莫将节点与单元的边相连。,4,）单元各边的长不要相差太大，否则将影响,求解精度。,?,5,）尽量把集中力或集中力偶的作用点选为节,点。,?,6,）尽量利用对称性，以减少计算量（有限元,法的最大优点在于使用了矩阵的方法）。,*8.,有限元法分析过程,?,有限元法分析过程大体可分为：前处理、分析、,后处理三大步骤。,?,对实际的连续体经过离散化后就建立了有限元,分析模型，这一过程是
16、有限元的前处理过程。,在这一阶段，要构造计算对象的几何模型，要,划分有限元网格，要生成有限元分析的输入数,据，这一步是有限元分析的关键。,*8.,有限元法分析过程,（续）,?,有限元分析过程主要包括：单元分析、整体分析、,载荷移置、引入约束、求解约束方程等过程。这一,过程是有限元分析的核心部分，有限元理论主要体,现在这一过程中。,?,有限元法包括三类：有限元位移法、有限元力法、,有限元混合法。,?,在有限元位移法中，选节点位移作为基本未知量；,?,在有限元力法中，选节点力作为未知量；,?,在有限元混合法中，选一部分基本未知量为节点位,移，另一部分基本未知量为节点力。,*8.,有限元法分析过程,
17、（续）,?,有限元位移法计算过程的系统性、规律性强，特,别适宜于编程求解。一般除板壳问题的有限元应,用一定量的混合法外，其余全部采用有限元位移,法。因此，一般不做特别声明，有限元法指的是,有限元位移法。,?,有限元分析的后处理主要包括对计算结果的加工,处理、编辑组织和图形表示三个方面。它可以把,有限元分析得到的数据，进一步转换为设计人员,直接需要的信息，如应力分布状态、结构变形状,态等，并且绘成直观的图形，从而帮助设计人员,迅速的评价和校核设计方案。,9.,有限元法的收敛性概念与收敛条件,?,有限元法是一种数值分析方法，因此应,考虑收敛性问题。,?,有限元法的收敛性是指：当网格逐渐加,密时，有
18、限元解答的序列收敛到精确解；,或者当单元尺寸固定时，每个单元的自,由度数越多，有限元的解答就越趋近于,精确解。,9.,有限元法的收敛性概念与收敛条件,（续）,?,有限元的收敛条件包括如下四个方面：,?,1,）单元内，位移函数必须连续。多项式是单值连续函,数，因此选择多项式作为位移函数，在单元内的连续,性能够保证。,?,2,）在单元内，位移函数必须包括常应变项。每个单元,的应变状态总可以分解为不依赖于单元内各点位置的,常应变和由各点位置决定的变量应变。当单元的尺寸,足够小时，单元中各点的应变趋于相等，单元的变形,比较均匀，因而常应变就成为应变的主要部分。为反,映单元的应变状态，单元位移函数必须包
19、括常应变项。,9.,有限元法的收敛性概念与收敛条件,（续）,?,3,）在单元内，位移函数必须包括刚体位移项。一般情,况下，单元内任一点的位移包括形变位移和刚体位移,两部分。形变位移与物体形状及体积的改变相联系，,因而产生应变；刚体位移只改变物体位置，不改变物,体的形状和体积，即刚体位移是不产生变形的位移。,空间一个物体包括三个平动位移和三个转动位移，共,有六个刚体位移分量。,?,由于一个单元牵连在另一些单元上，其他单元发生变,形时必将带动单元做刚体位移，由此可见，为模拟一,个单元的真实位移，假定的单元位移函数必须包括刚,体位移项。,9.,有限元法的收敛性概念与收敛条件,（续）,?,4,）位移函
20、数在相邻单元的公共边界上必须协,调。对一般单元而言，协调性是指相邻单元在,公共节点处有相同的位移，而且沿单元边界也,有相同的位移，也就是说，要保证不发生单元,的相互脱离开裂和相互侵入重叠。要做到这一,点，就要求函数在公共边界上能由公共节点的,函数值唯一确定。对一般单元，协调性保证了,相邻单元边界位移的连续性。,?,但是，在板壳的相邻单元之间，还要求位移的,一阶导数连续，只有这样，才能保证结构的应,变能是有界量。,9.,有限元法的收敛性概念与收敛条件,（续）,?,总的说来，协调性是指在相邻单元的公共边界,上满足连续性条件。,?,前三条又叫完备性条件，满足完备条件的单元,叫完备单元；第四条是协调性
21、要求，满足协调,性的单元叫协调单元；否则称为非协调单元。,完备性要求是收敛的必要条件，四条全部满足，,构成收敛的充分必要条件。,?,在实际应用中，要使选择的位移函数全部满足,完备性和协调性要求是比较困难的，在某些情,况下可以放松对协调性的要求。,9.,有限元法的收敛性概念与收敛条件,（续）,?,需要指出的是，有时非协调单元比与它对应的协调单元,还要好，其原因在于近似解的性质。假定位移函数就相,当于给单元施加了约束条件，使单元变形服从所加约束，,这样的替代结构比真实结构更刚一些。但是，这种近似,结构由于允许单元分离、重叠，使单元的刚度变软了，,或者形成了（例如板单元在单元之间的绕度连续，而转,角
22、不连续时，刚节点变为铰接点）对于非协调单元，上,述两种影响有误差相消的可能，因此利用非协调单元有,时也会得到很好的结果。在工程实践中，非协调元必须,通过“小片试验后”才能使用。,10.,应力的单元平均或节点平均处理方法,?,?,最简单的处理应力结果的方法是取相邻单元或,围绕节点各单元应力的平均值。,?,1.,取相邻单元应力的平均值,?,这种方法最常用于,3,节点三角形单元中。这种,最简单而又相当实用的单元得到的应力解在单,元内是常数。可以将其看作是单元内应力的平,均值，或是单元形心处的应力。由于应力近似,解总是在精确解上下振荡，可以取相邻单元应,力的平均值作为此两个单元合成的较大四边形,单元形
23、心处的应力。,10.,应力的单元平均或节点平均处理方法,?,（续）,?,如,2,单元的情况下，取平均应力可以采用算术平,均，,?,即平均应力,=,（单元,1,的应力,+,单元,2,的应力）,/2,。,?,也可以采用精确一些的面积加权平均，,?,即平均应力,=,单元,1,应力,单元,1,的面积,+,单元,2,应力,单元,2,面积,/,（单元,1,面积,+,单元,2,面积）,?,当相邻两单元面积相差不大时，两者的结果基本,相同。在单元划分时应避免相邻两单元的面积相,差太多，从而使求解的误差相近。,10.,应力的单元平均或节点平均处理方法,?,（续）,?,一般而言，,3,节点三角形单元的最佳应力点是
24、,单元的中心点，此点的应力具有,1,阶的精度。,?,2.,取围绕节点各单元应力的平均值,?,首先计算围绕该节点（,i,）周围的相关单元在该,节点出的应力值,?,，然后以他们的平均值作为,该节点的最后应力值,?,，即,1,?,?,?,?,m,e,i,i,m,i,e,i,e,?,1,?,其中，,1m,是围绕在,i,节点周围的全部单元。取,平均值时也可进行面积加权。,*11.,有限元法求解问题的基本步骤,1.,结构离散化,对整个结构进行离散化，将其分割成若干,个单元，单元间彼此通过节点相连；,2.,求出各单元的刚度矩阵,?,K,?,(,e,),是由单元节点位移量,?,?,?,求单元,节点力向量,?,
25、F,?,的转,移矩阵，其关系,式为,?,F,?,(,e,),?,k,(,e,),?,?,?,(,e,),(,1,?,1,),(,e,),?,K,?,(,e,),(,e,),3.,集成总体刚度矩阵,K,并写出总体平衡方程：,?,总体刚度矩阵,K,是由整体节点位移向量,?,?,?,求整体节点力向量,?,F,?,的转移矩阵，其关,系式为,?,F,?,?,K,?,?,?,，此即为总体平衡,方程。,?,4.,引入支撑条件，求出各节点的位移,?,节点的支撑条件有两种：一种是节点,n,沿,某个方向的位移为零，另一种是节点,n,沿,某个方向的位移为一给定值。,?,5.,求出各单元内的应力和应变,。,12.,单
26、元刚度矩阵的特性,?,单元刚度矩阵无论在局部坐标系中还是在整,体坐标系中都具有相同的三个特性：,?,1,）,对称性,?,由材料力学中的位移互等定理可知，对一个,构件，作用在点,j,的力引起点,i,的绕度等于有,同样大小而作用于点,i,的力引起的点,j,的绕度，,(,e,),(,e,),k,?,k,ij,ij,即,，表明单元刚度矩阵是一个对称,矩阵。,12.,单元刚度矩阵的特性（续）,?,2,）,奇异性,?,无逆阵的矩阵就叫做奇异矩阵，其行列,式的值为,0,，即,?,k,?,?,0,，这一点可以从例,题直接得到验证。其物理意义是引入支,撑条件之前，单元可平移。,(,e,),12.,单元刚度矩阵的
27、特性（续）,?,3,）,分块性,(,e,),?,有前面所讲的内容可以看出，矩阵,?,k,?,可以,用虚线分成四块，因此可写成如下的分块形,式，,?,?,f,?,1,?,?,?,?,?,f,?,2,?,(,e,),mn,(,e,),?,?,k,?,11,?,?,?,?,k,?,21,?,k,?,12,?,?,k,?,22,?,?,(,e,),?,?,?,?,1,?,?,?,?,?,?,?,2,?,(,e,),?,式中,?,k,?,局部坐标系中单元,(e),按局部码,标记的节点,m,、,n,之间的刚度子矩阵。,*13.,求图中所示刚架中各单元在整体坐标系中,的单元刚度矩阵,(1),。,?,设两杆的
28、长度与截面尺寸彼此相等。,（空心杆）其中，,7,2,L=200cm,D=5cm,d=4cm,E=2,10,N/cm,。,*13,：求图所示结构的节点位移向量。,?,已知节点,1,处承受外载,M,条件同前例。,1,?,5,?,10,Ncm,5,，其余,*14.,刚架结构中非节点载荷的处理的方法,?,在刚架结构以及其他较复杂的结构上，他们所受,的载荷可以直接作用在节点上，又可以不直接作,用在节点上而作用于单元节点间的其他位置上。,后一种情况下的载荷称为非节点载荷。有限元分,析时，总体刚度方程中所用到的力向量,?,F,?,是节点,力向量。因此在进行整体分析前应当进行载荷的,移植，将作用于单元上的力移
29、植到节点上。移植,时按静力等效的原则进行。,*14.,刚架结构中非节点载荷的处理的方法,（续）,?,处理非节点载荷一般可直接在整体坐标,系内进行，其过程为：,?,1,）将各杆单元看成一根两端固定的梁，,分别求出两个固定端的约束反力。其结,果可直接利用材料力学的公式求得；,?,2,）将各固定端的约束反力变号，按节点,进行集成，获得各节点的等效载荷,*15.,总体刚度矩阵的集成法,?,使用刚度矩阵获得的方法获得总体刚度矩,阵。在此将其扩展到由整体坐标系中的单,元刚度矩阵的子矩阵集成总体刚度矩阵。,步骤如下：,?,1,）对一个有,n,个节点的结构，将总体刚度,矩阵,K,划分为,n,n,各子区间，然后
30、按节点,总码的顺序进行编号；,*15.,总体刚度矩阵的集成法（续）,?,2,）将整体坐标系中单元刚度矩阵的各子,矩阵根据其下标的两个总码对号入座，,写在总体刚度矩阵相应的子区间；,?,3,）同一子区间内的子矩阵相加，成为总,体刚度矩阵中的相应的子矩阵。,16.,总体刚度矩阵的特性,?,1,）对称性：因为由此特性，在计算机中只需存储其,上三角部分；,?,2,）奇异性：物理意义仍为在无约束的情况下，整个,结构可做刚体运动；,?,3,）稀疏性：,K,中有许多零子矩阵，而且在非零子矩,阵中还有大量的零元素，这种矩阵称为稀疏矩阵。大,型结构的总体刚度矩阵一般都是稀疏矩阵；,?,4,）分块性：这个性质已经
31、利用过，在此不再叙述。,?,了解刚度矩阵的这些特性非常有用，它可以大大减少,计算机的内存和计算工作量。,*17.,平面问题离散化时的规定,?,?,?,?,?,1,）单元之间只在节点处相连；,2,）所有的节点都为铰接点；,3,）单元之间的力通过节点传递；,4,）外载荷都要移植到节点上；,5,）在节点位移或某一分量可以不计之处，就必须,在该节点安置一个铰支座或相应的连杆支座。,?,通过以上的规定来建立平面有限元分析模型。,*18.,平面离散化的一些定性的规律,?,?,?,?,?,?,?,?,1,）结构对称性的利用,2,）对称结构的网格布局,3,）划分网格要兼顾精度和经济性,4,）不连续出的自然分割
32、,5,）几何形状的近似与过渡圆角的处理,6,）单元形态的选择,7,）边界条件的确定,8,）单元和节点编号,19.,结构对称性的利用规律,?,一般来说，作用在对称结构上的载荷系统分为对称的、,反对称的和一般的三种情况。,?,1.,结构对称，载荷对称或反对称,?,这种情况下，对称面上的边界条件可按一下规则确定：,?,A.,在不同的对称面上，将位移分量区分为对称分量和,反对称分量；,?,B.,将载荷也按不同的对称面分别区分为对称分量和反,对称分量；,?,C.,对于同一个对称面，如载荷是对称的，则对称面上,位移的反对称分量为零，如载荷是反对称的，则对称,面上位移的对称分量为零。,结构对称，载荷一般的情
33、况,?,如果所分析的结构对称，但载荷是不,对称的，也不是反对称的，这时可以,将这种结构系统简化成载荷为对称和,/,或反对称情况的组合，仍可以简化分,析过程，提高分析的综合效率。,?,如图,a,所示，结构对称，载荷一般，可,将其载荷分解为图,b,和图,c,的组合。图,b,为对称结构，载荷对,x,、,y,轴均为对称，,图,c,为结构对称，载荷对,x,轴反对称、,对,y,轴对称，此时可取相同的四分之一,进行研究，分别施加对称面上节点的,边界条件，进行两次分析计算，并将,计算结果迭加起来，即可得到原结构,四分之一的解答，进而得出整个结构,的解答。,对称性利用中的特殊问题,?,利用结构的对称性取某一部分
34、建立有限元模型时，往,往会产生约束不足现象。,?,例如，若取上例中图,c,的四分之一建立有限元时，根据,上述分析，在两对称面上应加水平放置的滚动铰支座，,因此模型在垂直方向存在刚体位移。对这种约束不足,问题，利用有限元分析时，必须增加附加约束，以消,除模型的刚体位移。在本例中，垂直方向可以用刚度,很小的杆单元或边界弹簧单元连接到模型某节点上，,使得既消除了模型的刚体位移，又不致于因附加的杆,单元或边界弹簧单元刚度太大而影响结构原有的变形,状态。,20.,单元形态的选择原则,?,单元形态包括单元形状、边中节点的位置、细长比等，,在结构离散化过程中必须合理选择。一般来说，为了,保证有限元分析的精度
35、，必须是单元的形态尽可能的,规则。,?,对于三角形单元，三条边长尽量接近，不应出现大的,钝角、大的边长。这是因为根据误差分析，应力和位,移的误差都和单元的最小内角的正弦成反比。因而，,等边三角形单元的形态最好，它与等腰直角三角形单,元的误差之比为,sin45,:sin60,=1:1.23,。但是为了适应,弹性体边界，以及单元由小到大逐渐过渡，不可能是,所有的三角形单元都接近等边三角形。实际上，常常,使用等腰直角三角形。,20.,单元形态的选择原则（续）,?,对于矩形单元来说，细长比不宜过大。细长比是指单,元最大尺寸和最小尺寸之比。最优细长比在很大程度,上取决于不同方向上位移梯度的差别。梯度较大
36、的方,向，单元尺寸要小些，梯度小的方向，单元尺寸可以,大一些；如果各方向上位移梯度大致相同，则细长比,越接近,1,，精度越高。有文献推荐，一般情况下，为了,得到较好的位移结果，细长比不应超过,7,；为了获得较,好的应力结果，细长比不应超过,3,。一般情况下，正方,形单元的形态最好。,?,对于一般的四边形单元应避免过大的边长比，过大的,边长比会导致病态的方程组。,*21.,边界条件的确定,?,确定边界条件是建立有限元模型的重要一环，合理确,定有限元模型的边界条件是成功地进行结构有限元分,析的基本要求。,?,一般情况下，建模对象的边界条件是明确的。根据力,学模型的边界条件可以很容易确定其有限元模型
37、的边,界条件。例如电线杆插入地基的一端为固定端，桥梁,一端为固定铰支座，另一端为滚动较支座。,?,但是，在机械工程中，建模对象往往是整个结构中的,一部分，在建立有限元模型，确定其边界条件时，必,须考虑其余部分的影响。这方面主要考虑如下两类问,题。,?,1.,边界位置的确定,?,在建立连续弹性体局部区域的有限元模型时，往,往取该局部区域为隔离体，取其隔离边界条件为,零位移约束，并通过试探校正确定零位移边界条,件的位置。例如，进行齿轮齿有限元分析时，取,一个轮齿的局部区域为隔离体，如图所示，设定,PQRS,的边界条件为零位移约束，通过改变边界,深度,PQ,和边界宽度,PS,研究边界位置对齿根最大,
38、拉应力的影响，最后确定合理的边界条件。,?,2.,边界条件的确定,?,有些分析对象的边界位置是零部件的连接部位。,在建立有限元模型时，必须研究如何给定边界,位置上的边界条件，以反映相连接结构的影响。,确定这种问题的边界条件是用简单支撑连杆替,代相连接结构的作用，使替代后结构的系统刚,度等价于原结构的系统刚度。如分析机床主轴,和传动轴时，可以利用等刚度的杆单元替代轴,承和支座的作用，使轴的分析中包含有轴承和,支座的影响。,*22.,单元和节点编号规则,?,当利用整体刚度矩阵的带状特征进行存贮和求,解方程组时，单元节点编号直接影响系统整体,刚度矩阵的半带宽，也就是影响在计算机中存,贮信息的多少、计
39、算时间和计算费用。因而，,要求合理的节点编号使带宽极小化。半带宽的,计算公式：,?,半带宽,d=,（单元节点号的最大差值,+1,）节点,自由度,?,由此，进行网格节点编号时应使网格中单元节,点号的最大差值最小，这样才能保证半带宽最,小。试比较下图。,*22.,单元和节点编号规则（续）,?,图所示网格的四种编号,方案中，单元节点标号,的最大差值分别为,5,，,3,，,5,，,9,。显然，图,2,方案要,合理。由此得出结论：,沿着短边方向按列,-,列,-,列,-,列地顺序编号比沿着长,度方向按行,-,行,-,行,-,行地,顺序要合理（半带宽小）,*22.,单元和节点编号规则（续）,?,然而，对于具
40、有中间节点的单元或空间问题，,须借助于带宽极小化的优化程序来对节点重新,编号，先进的有限元程序包一般都配备有这样,的程序。,?,对单元的编号只影响整体刚度矩阵的装配时间。,由于这一时间在有限元运算时间中只占很小的,比例，因而对于单元的编号并无特殊的要求。,*23.,掌握分析三角形单元的位移模,式求解方法,?,如图所示，在局部坐标系中，三角形平,面单元的三个节点分别为,1,、,2,、,3,，其,编号按逆时针方向进行，节点坐标分别,?,x,y,?,、,?,x,y,?,为,?,x,y,?,、,1,1,2,2,3,3,24.,求解平面问题中局部坐标,?,?,系中的单元刚度矩阵,?,k,?,e,?,将几
41、何方程和弹性方程代入虚功方程经,整理后得：局部坐标系中,?,f,?,?,e,?,?,?,k,?,?,?,?,?,e,?,?,e,?,?,e,?,?,?,k,?,式中,单元刚度矩阵,?,k,?,?,e,?,?,?,?,B,?,?,D,?,B,?,tdxdy,?,?,B,?,?,D,?,B,?,?,tdxdy,?,?,B,?,?,D,?,B,?,t,?,T,T,T,?,其中,t,三角形单元平板的厚,度，,?,三角形单元的面积,25.,平面问题中非节点载荷转换为等效,节点载荷,?,由于三角形单元复杂的力学性质，不能像,分析刚架时那样简单地利用材料力学公式,来求解，而要用虚功方程将加在结构上的,非节点
42、载荷转换为等效节点载荷。,?,掌握以下两种常见的非节点载荷的移植结,果。,1,）作用在单元一条侧边上的集中力,设,Q,平行于,x,方向，如图,4-14,所示，则,等效节点载荷为,l,i,F,ix,?,Q,F,jx,?,Q,F,kx,?,0,F,iy,?,0,F,jy,?,0,F,ky,?,0,l,l,l,j,若,Q,平行于,y,方向，结果与此相仿。,1,）作用在单元一条侧边上的集中力,2,）作用在单元一条侧边上呈三角形,分布的载荷,?,设载荷平行于,x,方向，如图,4-15,所示，则等效,节点载荷为,qlt,qlt,F,ix,?,F,jx,?,F,kx,?,0,F,iy,?,0,F,jy,?,
43、0,F,ky,?,0,6,3,?,若分布载荷为集度是,q,的均布载荷，则,F,ix,?,F,jx,qlt,?,3,?,其余分量为零。,2,）作用在单元一条侧边上呈三角形,分布的载荷,*26.,例：,求例,4-7,图所示结构节点的位移量。,?,已知,Q,?,100,N,q,?,0,.,1,N,/,mm,L,1,?,40,mm,L,2,?,60,mm,a,?,100,mm,t,?,10,mm,E,?,2,?,10,N,/,mm,u,?,0,5,2,2,ANSYS,软件基本知识,?,?,?,?,?,?,?,1.ANSYS,图形用户界面（,GUI,）有哪几部分组成？,2.,比较对话框中的,:“OK”,
44、与“,Apply”,的区别；,3.,熟悉单元类型的含义；,4.ANSYS,文件及工作文件名的含义,.,5.,应用,ANSYS,软件计算,如图所示的平面桁架，长度单位为,m,，,求支座反力和各杆内力。设弹性模量为,2e+11,，泊松比,0.3,，杆件,截面面积为,0.01m,2,.,6.,给定一个简单的物理现象，能够使用,ANSYS,创建一个,2D,的有,限元模型,.,7.,熟练运用将几何模型划分网格后,进行加载与求解及结果的后,处理,.,有关软件的几个问题的处理,1.,载荷与载荷分类,ANSYS,中的载荷可分为,:,自由度,DOF,-,定义节点的自由度（,DOF,）,值,(,结构分析,_,位移
45、、,热分析,_,温度、电磁分析,_,磁势等,),?,集中载荷,-,点载荷,(,结构分析,_,力、热分析,_,热导率、电磁分析,_ magnetic current segments),?,面载荷,-,作用在表面的分布载荷,(,结构分析,_,压力、热分析,_,热,对流、电磁分析,_magnetic Maxwell surfaces,等,),?,体积载荷,-,作用在体积或场域内,(,热分析,_,体积膨胀、内生成热,、电磁分析,_,magnetic current density,等,),?,惯性载荷,-,结构质量或惯性引起的载荷,(,重力、角速度等,),2.,添加载荷应遵循的原则,?,简化假定越少
46、越好。,?,使施加的载荷与结构的实际承载状态保持吻合；,?,如果没法做得更好，只要其它位置结果正确也是可以认为,是正确的，但是你必须忽略“不合理”边界的附近一定区,域内的应力。,?,加载时，必须十分清楚各个载荷的施加对象及定义载荷。,?,除了对称边界外，实际上不存在真正的刚性边界。,?,不要忘记泊松效应；,?,添加刚体运动约束,但不能添加过多的（其它）约束。,?,实际上，集中载荷是不存在的；,?,轴对称模型具有一些独一无二的边界特性,。,3.,求解时模型是否准备就绪,?,在求解初始化前，应进行分析数据检查，包括下面,内容,:,?,1.,统一的单位,;2.,单元类型和选项,;3.,材料性质参数,
47、:,考虑惯性时应输入材料密度,;,热应力分析时应输入,材料的热膨胀系数,;4.,实常数,(,单元特性,);5.,单元实,常数和材料类型的设置,;6.,实体模型的质量特性,(Preprocessor Operate Calc Geom Items);7.,模型中,不应存在的缝隙,;8.,壳单元的法向,;9.,节点坐,标系,;10.,集中、体积载荷面力方向,;11.,温度场的分,布和范围,;12.,热膨胀分析的参考温度。,有必要注意：,在求解过程中，应将,OUTPUT,窗口提到最前面。,ANSYS,求解过程中的一系列信息都将显示在此,窗口中，主要信息包括,:,?,模型的质量特性,-,模型质量是精确
48、的,-,质心和,质量矩的值有一定误差。,?,单元矩阵系数,-,当单元矩阵系数最大,/,最小值的,比率,1.0E8,时将预示模型中的材料性质、实,常数或几何模型可能存在问题。当比值过高时，,求解可能中途退出。,?,模型尺寸和求解统计信息。,?,汇总文件和大小。,4.,没有获得结果的原因是什么,?,往往是求解输入的模型不完整或存在错误，典型原因有,:,?,约束不够,!(,通常出现的问题,),。,?,当模型中有非线性单元,(,如缝隙,gaps,、滑块,sliders,、铰,hinges,、索,cables,等），整体或部分结构出现崩溃或“松,脱”。,?,材料性质参数有负值,如密度或瞬态热分析时的比热
49、值。,?,未约束铰接结构，如两个水平运动的梁单元在竖直方向,没有约束。,?,屈曲,-,当应力刚化效应为负（压）时，在载荷作用下整,个结构刚度弱化。如果刚度减小到零或更小时，求解存,在奇异性，因为整个结构已发生屈曲。,5.,应力奇异,应力奇异,是有限元模型中由于几何构造或载荷引起弹性,理论计算应力值无限大。即使是奇异点，材料的非线性特,性不可能允许应力值出现无限增大情况，在理论上总体应,变也是有限的（许多设计准则都是根据应力制订的，例如,设计疲劳曲线，但实际上是基于应变制订的）。,在应力奇异处,:,.,单元网格越是细化，越引起计算应力无限增加，并且,不再收敛。,.,网格疏密不均匀时网格离散误差也
50、大小不一（自适应,网格划分结果是失败的或者网格错误）。,一般应力奇异发生情形：,?,?,?,添加在节点上的集中载荷（集中力）与施,加在与该节点相连单元上的均布或变化的,面载荷（压力）等相当的话，这些节点处,就成为应力奇异点。,离散约束点导致非零反力的出现，就如同,在节点上施加一集中力，这时约束点也就,成为应力奇异点。,锐利（零半径倒角）拐角处。,不常见的应力奇异情形：,?,?,?,由于在划分单元网格时出错，模型中存在,的“裂缝”。,曲边单元中处在极不理想位置的中间点,（,ANSYS,单元形状检查会发出警告）。,严重扭曲的单元（,ANSYS,单元形状检查,会发出警告）。,实际结构中并不存在应力奇
