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1、,圆的复习,圆中的计算,与圆有关的位置关系,圆的基本性质,点与圆的位置关系,正多边形的相关计算,直线与圆的位置关系,扇形面积、弧长 垂径定理，勾股定理的应用,圆,知识回顾,一、知识结构,（五）、切线长定理,二、主要定理,（一）、相等的圆心角、等弧、等弦 之间的关系及垂径定理,（二）、圆周角定理,（三）、与圆有关的位置关系的判别定理,（四）、切线的性质与判别,三、基本图形（重要结论）,辅助线一,关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。,在遇到与直径有关的问题时，应考虑作出直径或直径所对的圆周角。
2、这也是圆中的另一 种辅助线添法。,辅助线二,当遇到已知切线和切点时，要注意连接圆心和切点，以便得到直角去帮助解题。,辅助线三,特殊三角形外接圆、内切圆半径的求法：,直角三角形外接圆、内切圆半径的求法,等边三角形外接圆、内切圆半径的求法,基本思路：构造直角三角形 BOD，BO为外接圆半径，DO为内切圆半径。,O,D,重要结论,典型例题,1.已知，如图，AB为O的直径，AB=AC,BC交O于点D，AC交O于点E,BAC=45。给出下面五个结论：EBC=22.5；BD=DC；AE=2EC；劣弧AE是劣弧DE的2倍；DE=DC。其中正确的是(填序号),B,M,典型例题,A.AB2CD B.AB2CD
3、C.AB=2CD D.不能确定,典型例题,3.已知,ABC内接于O,ADBC于D,AC=4,AB=6,AD=3,求O的直径。,115,100,典型例题,问题一:当点O为ABC的外心时，BOC=,问题二:当点O为ABC的内心时，BOC=,典型例题,分析:要正线段相等,通常是证明两角相等或三角形全等。该题是证两角相等。,20,50或130,问题二:当点O为ABC的外心时，A=,问题一:当点O为ABC的内心时，A=,小试牛刀,1.已知,三角形ABC中,点O为一定点.BOC=100.,当点O为内心时，则根据公式 BOC=A+90，可得 A=20当点O为外心时，则首先要考虑圆心是在三角形内还是外，因此要
4、分两种情况求解。当外心在三角形内时,BOC=2 A，则 A=50，当外心在三角形外时，A=180-BOC=130,你做对了吗？,心动不如行动,小试牛刀,分析：求弧AD的度数，即求它所对的圆心角的度数。因此连接OD，延长DC交OB与E，可EDO=DOA=30，所以弧AD为30,心动不如行动,小试牛刀,3、已知,ABC内接于O,ADBC于D,AC+AB=12,AD=3,设O的半径为y,AB为x，求y与x的关系式。,分析：类似于例题，只要正ABE与 ADC相似即可。,相信你一定能解对！,E,心动不如行动,典型例题,6.两个圆的半径的比为2:3,内切时圆心距等于8cm,那么这两圆相交时,圆心距d的取值
5、 范围是,解：设大圆半径R=3x,小圆半径r=2x 依题意得：3x-2x=8，解得：x=8 R=24 cm，r=16cm 两圆相交，R-rdR+r 8cm d 40cm,分析:可根据两圆内切时d=R-r,求出半径,当两圆相交时R-rdR+r,据此可求得结果.,典型例题,解：PA、PB、DE 为的切线，切点为A、B、C，则PA=PB；DA=DC；EC=EB。PDE的周长=PA+PB=16,16,典型例题,8.如图，在RtABC中，C=90若以C为圆心、r为半径画C.若AC=3，BC=4,试问：,当r满足什么条件时，则C与直线AB相切？,当r满足什么条件时，则C与直线AB相交？,当r满足什么条件时
6、，则C与直线AB相离？,H,略解：d=CH=2.4,(1).d=2.4=r,(2).r2.4,(3).0r2.4,典型例题,9.已知：如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的O交BC于点D，过点D作DEAC于点E.求证DE为O的切线。,分析：证明切线常用两种方法；一为d=r;另一为切线的判定定理。该题已知DE与圆有公共点，故用第二种证法,OD=OB，AB=AC则B=C=BDO，ODAC，又 DEAC，OD DE，所以DE为O的切线,AB为直径，BDA=90又AB=AC，点D为BC的中点 1=3，而 2=3，DEAC 1+4=90 2+4=90 DE为O的切线,4.已知：如图，AB、AC与O
7、相切于点B、C，A=50，P为O上异于B、C的一个动点，则BPC 的度数为（）,A.40 B.65 C.115 D.65 或115,小试牛刀,分析：在解决此问题时,应注意点P为一动点,它可能在劣弧BC上,也可能在优弧上,但万变不离其中,应用辅助线三,连接OB、OC得直角,即可求解。,D,心动不如行动,5.如图RtABC中,AB=10,BC=8,以点为圆心,4.8为半径的圆与线段AB的位置关系 是_;,相切,4.8r6,r=4.8 或6r8,小试牛刀,心动不如行动,乙,甲,典型例题,10.如图甲,A是半径为2的O外一点,OA=4,AB是O的切线,B为切点,弦BCOA,连接AC,求阴影部分的面积.
8、,点拨:图中的阴影是不规则图形,不易直接求出,所以要将其转化为与其面积相等的规则图形,在等积转化中.可根据平移、旋转或轴对称等图形变换；可根据同底（等底）同高(等高)的三角形面积相等进行转化.,小试牛刀,6.如图所示,A、B、C、D、E相互外离，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE，求图中五个扇形（阴影部分）的面积之和。,心动不如行动,11：如图，已知O的弦 AB所对的圆心角等于140o，则弦AB所对的圆周角的度数为_.,70o或110o,C,C,典型例题,错解:70,错因:忽视了弦所对的圆周角有两类。.,正解：当圆周角在优弧上时，圆周角为140 的一半70；当圆周角在劣弧上
9、时，则与70互补，为110。,12、如图,以O为圆心的两同心圆的半径分别是11cm和9cm,若P与这两个圆都相切,则这个圆的半径为,错解：1cm,错因：忽视了和两圆都是内切关系的情况。,正解：先考虑夹在圆环内的小圆半径为1cm，再看和中间小圆内切的圆半径为4.5cm。,典型例题,1cm或4.5cm,13、已知AB是O的直径,AC是弦,AB=2,AC=,在图中画出弦AD,使得AD=1,求CAD的度数.,A,C,B,45,60,15,典型例题,错解：105,错因：以A为顶 点且长度为1的弦有两条，其一与AC在直径的同侧，其二与AC在直径的异侧。应分两种情况讨论。,正解：当在直径的两侧时；,连接BC
10、，BD；则ABC为等腰直角三角形，CBA=45；在直角 ABD中2AD=AB，BAD=60 CAD=60+45=105,当AC、AD在直径的同侧时，则 CAD=6045=15,典型例题,14.已知圆内接ABC中，AB=AC，圆心O到BC的距离为3，半径为7。求腰长AB.,典型例题,错因分析：只考虑圆心ABC在内部，而忽略了圆心ABC在外部的情况。,正解：除上述第一种情况外，还有另一种情况。,7、在直径为400mm的圆柱形油槽内，装入一部分油，油面宽320mm，求油的深度.,分析:本题是以垂径定理为考查点的几何应用题，没有给出图形，直径长是已知的，油面宽可理解为截面圆的弦长，也是已知的，但由于圆
11、的对称性，弦的位置有两种不同的情况，如图(1)和(2),图(1)中OC=120CD=80(mm)图(2)中OC=120CD=OC+OD=320(mm),小试牛刀,心动不如行动,8.半径分别是20 cm和15 cm的两圆相交，公共弦长为24 cm，求两圆的圆心距？,O1O2=O2C-O1C=16-9=7.,O1O2=O2C+O1C=16+9=25.,分析:解此题时应考虑圆心是在公共弦的同侧还是异侧，因此应分两种情况。,小试牛刀,心动不如行动,15.在一服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料（如图）现找出其中一种，测得C=90，AC=AB=4，今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩
12、具，使扇形的边缘半径恰好都在ABC的边上，且扇形的弧与 ABC的其他边相切，请设计出所有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径。（只要画出图形，并 直接写出扇形半径）,C,A,B,分类讨论的思想,典型例题,分析：扇形要求弧线与三角形的边相切，半径都在三角形边上，相切的情况有两种（1）与其中一边相切（直角边相切、斜边相切）（2）与其中两边相切（两直角边相切、一直角边和一斜边相切）并且尽量能使用边角料（即找最大的扇形）（1）与一直角边相切可如图(1)所示（2）与一斜边相切如图(2)所示（3）与两直角边相切如图(3)所示（4）与一直角边和一斜边相切如图(4)所示,典型例题,典型例题,方程的思想,
13、16.如图,残破的轮片上,弓形的弦为480,高为70,求原轮片的直径.(精确到1),典型例题,转化的思想,17.如图,为一圆锥形粮堆,从正面看是边长为6米的正三角形ABC,粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食,此时,小猫正在B处,它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠,则小猫所经过的最短路线是米.(结果保留根号),解析:此类问题是将立体图形问题转化到平面图形问题来解决.该题是将圆锥侧面展开为扇形,如图.连接BP,则最短距离即为线段BP的长.,小试牛刀,D,心动不如行动,10.已知如图(1)，圆锥的母线长为4，底面圆半径为1，若一小虫P从点A开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C，求小虫爬行的最短
14、距离.,(1),(2),小试牛刀,心动不如行动,18、一圆弧形桥拱，水面AB宽32米，当水面上升4米后水面CD宽24米，此时上游洪水以每小时0.25米的速度上升，再通过几小时，洪水将会漫过桥面？,典型例题,解：过圆心O作OEAB于E，延长后交 CD于F，交弧CD于H，设OE=x，连结OB，OD，由勾股定理得 OB2=x2+162 OD2=(x+4)2+122 X2+162=(x+4)2+122X=12OB=20FH=4 40.25=16（小时）答：再过16小时，洪水将会漫过桥面。,典型例题,19.如图所示，草地上一根长5m的绳子，一端拴在墙角的木桩上，另一端拴着一只小羊R。那么，小羊在草地上的最大活动区域的面积是(),B,小试牛刀,11.如图，在足球比赛场上，甲、乙两名对员互相配合向对方球门MN进攻，当甲带球冲到A时，乙已跟随冲到B点，此时甲是选择自己射门命中率高，还是将球传给乙，让乙射门命中率高？,心动不如行动,12古尔邦节，6位朋友均匀地围坐在圆桌旁共度佳节圆桌半径为60cm，每人离圆桌的距离均为10cm，现又来了两名客人，每人向后挪动了相同的距离，再左右调整位置，使8人都坐下，并且8人之间的距离与原来6人之间的距离（即在圆周上两人之间的圆弧的长）相等设每人向后挪动的距离为x，根据题意，可列方程（）,小试牛刀,B,心动不如行动,
