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1、数乘向量,复习,1:,向量的加法,B,A,如图,已知向量,a,和向量,b,作向量,a+b.,b,o.,O.,C,a+b,b,a,A,B,a+b,a,1.,向量加法三角形法则,:,2.,向量加法平行四边形法则,:,特点,:,首尾相接，首尾连,特点,:,共起点,复习,2:,向量的减法,o.,B,A,a-b,如图,已知向量,a,和向量,b,作向量,a-b.,a,b,-b,o.,B,A,a,b,特点：,共起点，连终点，方向指向被减数,实际背景,表示，试画出该向量。,用,秒的位移对应的向量,那么在同方向上,向量,，一秒钟的位移对应,一物体作匀速直线运动,a,a,3,3,a,a,3,在物理中位移与速度的关
2、系：,s,=,v,t,，力与,加速度的关系：,f,=m,a.,其中位移、速度，力、加速度都是向量，,而时间、质量都是数量,讲授新课,思考题,1:,已知向量,如何作出,和,a,r,a,a,a,?,?,r,r,r,(,a),(,a),(,a)?,?,?,?,?,?,r,r,r,a,r,O,A,a,r,B,a,r,C,a,r,N,M,Q,P,a,?,r,a,?,r,a,?,r,OC,OA,AB,BC,a,a,a,?,?,?,?,?,?,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,r,r,r,记,:,a,a,a,3a,?,?,?,r,r,r,r,即,:,OC,3a.,?,u,u,u
3、,r,r,同理可得,:,PN,(,a),(,a),(,a),3a,?,?,?,?,?,?,?,?,u,u,u,r,r,r,r,r,思考题,2:,向量,与向量,有什么关系,?,向量,与向量,有什么关系,?,3a,r,a,r,a,r,3a,?,r,(1),向量,的方向与,的方向相同,向量,的长度是,的,3,倍,即,3a,r,a,r,a,r,3a,r,3a,3,a,.,?,r,r,(2),向量,的方向与,的方向相反,向量,的长度是,的,3,倍,即,3a,?,r,a,r,3a,?,r,a,r,3a,3,a,.,?,?,r,r,定义,:,特别地，当,=0 或,a=0,时,a=0,(2),方向,当0时,a
4、的方向与,a,方向相同；,当0时,a的方向与,a,方向相反；,(1),长度,|a|=|,|a|,一般地，实数与向量,a,的积是一个向量，这种运,算叫做,向量的数乘运算,，记作a。,它的长度和方向规定如下：,练习,2:,结论,:,2a+2b,2b,(2),已知向量,a,b,，求作向量,2(a+b),和,2a+2b,，并比较。,a,b,结论,:,2a+2b=2(a+b),a+b,6a,3(2a),a,2(a+b,),2a,3(2a)=6a,(2+4)a=2a+4a,(1),根据定义，求作向量,3(2a),和,(6a)(a,0,),，并比较。,(a)=()a,运算律,:,设,a,、,b,为任意向量，
5、、为任意实数，则有：,(+)a=a+a,(a+b)=a+b,数乘向量的运算律：,?,?,?,?,a,a,?,?,?,?,结合律,?,?,a,a,a,?,?,?,?,?,?,?,第一分配律,?,?,b,a,b,a,?,?,?,?,?,?,第二分配律,练习,3:,解,:(1),原式,=,(2),原式,=,(3),原式,=,计算：,(,口答,),(1)(-3),4 a,(2)3(a+b),2(a-b)-a,(3)(2a+3b-c),(3a-2b+c),(3-2-1)a+(3+2)b,=5b,(2-3)a+(3+2)b+(-1-1)c,=-a+5b-2c,-12a,向量的加、减、数乘运算统称为向量的线
6、形运算。,对于任意的向量,a,b,以及任意实数,恒有,(,1,a,2,b)=,1,a,2,b,思考,:,判定定理,:,当,a,与,b,同方向时，有b=a;,当,a,与,b,反方向时，有,b=-,a，,所以始终有一个实数，使b=a。,1,、如果,b=a,那么，向量,a,与,b,是否共线？,2,、如果非零向量,a,与,b,共线，那么是否有，使b=a？,对于向量a(a0)、,b,，如果有一个实数，使得b=a,那么，由数乘向量的定义知：向量,a,与,b,共线。,若向量,a,与,b,共线，a0，且向量,b,的长度是,a,的长度,的倍，即有|b|=|a|,且,2),b,可以是零向量吗,?,思考,:1),a
7、,为什么要是非零向量,?,向量,b,与非零向量,a,共线,当且仅当有唯一,一个实,数，使得,b=a.,a,是一个非零向量，若存在一个实数,，使,得,b=,a,，则向量,b,与非零向量,a,共线,例题,1:,A,E,D,C,B,解：,=3 AC,=3(AB+BC),AB+BC=AC,=3 AB+3 BC,又,AE=AD+DE,AC,与,AE,共线,如图，已知,AD=3AB,、,DE=3BC,，试判断,AC,与,AE,是,否共线,?,变,：,若,B,、,C,分别是,AD,、,AE,的三等分点，证明：,BC,DE,。,例题,2:,解：作图如右,O,A,B,C,依图猜想,:A,、,B,、,C,三点共,
8、线,A,、,B,、,C,三点共线,.,a,b,b,b,已知任意两非零向量,a,、,b,，,试作,OA=a+b,OB=a+2b,OC=a+3b,。,你能判断,A,、,B,、,C,三点之间的位置关系吗？为什么？,b,a,AB=OB-OA,AC=2AB,又,AC=OC-OA,=a+3b-(a+b)=2b,=a+2b-(a+b)=b,又,AB,与,AC,有公共点,A,，,A,P,B,C,a,例,3 ABC,平面内的三点，切,A,与,B,不重合，,P,是,平面内任意一点，若点,C,在,AB,上，则存在实,数,，使得,PC=,PA+(1-,)PB,小结回顾,:,二、知识应用：,1.,证明,向量共线；,2.,证明,三点共线:AB=BC A,B,C三点共线；,3.,证明,两直线平行,:,AB=CD ABCD,AB,、,CD,不重合,直线AB直线,CD,一、概念与定理,a,的定义及运算律,向量共线定理,(a0),b=,a,向量,a,与,b,共线,
