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1、数学应用题专题复习(一),西场中学数学教研组 覃以新,高考对数学应用题的要求,1、教学大纲对数学建模的要求,培养学生的创新意识和实践能力要成为数学教学的一条重要目的和一条基本原则。在教学中要.，更重要的是使学生能够运用已有的知识进行交流，并能将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型，从而形成比较完全的数学知识。,2、高考说明对数学建模的要求,要求考生关心国家大事，了解信息社会，讲究联系实际，重视数学在生产、生活及科学中的应用；,考查理解语言的能力，要求考生能够从普通语言中捕捉信息，将普通语言转化为数学语言，以数学语言为工具进行数学思维与交流；,考查建立数学模型的初步能力，并能运用“考试说明”所限
2、定的数学知识和方法来求解，即把陌生的问题情景数学化，会数学地提出问题解决问题。,3、1995 2001年高考数学应用问题（解答题）情况分析,（1）注重知识积累，加强阅读理解,5、高考应用问题的对策,（2）掌握语言转化，熟悉常见模型,（3）加强算法算理的训练，培养思维 的严密性,引言：,解决应用性问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：,实际问题,分析、联系、抽象、转化,建立数学模型（列数学关系式）,数学方法,数学结果,实际结果,回答问题,解决应用性问题的关键是读题懂题建立数学关系式。,考点分析：,近年来高考应用题所涉及的数学知识无外乎函数、方程、不等式、数列、立体几何等到高中数学中最基本、最
3、重要的内容，其中尤其以函数应用性问题最多。这类问题题源丰富，内容深刻，解法灵活多样，且较易与不等式、数列、几何等内容相关联，是历年高考应用问题命题的一个热点。我们应该留心观察周围的现实世界并经常读报，以努力拓宽自已的知识面，对于一些常识性的概念如“复利”、“本息和”、“百分点”、“利润率”、“甲A联赛场数”等，都应成为我们熟知的词语。此外，环境、能源、人口、营养保健、知识经济，科技生产生活等方面的问题我们要予以高度重视。,宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。华罗庚,分期付款中的有关计算,分期付款方式在今天的商业活动中应用日益广泛，为越来越多的顾客
4、所接受，这一方面是因为很多人一次性支付售价较高商品的款额有一定的困难，另一方面是因为不少商店也在不断改进营销策略，方便顾客购物和付款，可以说分期付款与每个家庭、每个人的日常生活密切相关。,关于分期付款,1.在分期付款中，每月的利息均按复利计算；,2.分期付款中规定每期所付款额相同；,3.分期付款时，商品售价和每期所付款额在货款全部付清前会随着时间推移而不断增值；,各期所付款额连同到最后一次付款所生的利息之和，等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和（这一规定实际上作为解决问题关键步骤列方程的依据）。,关于分期付款,关键词 复利计息,（1）按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r
5、，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数式。答：x期后的本利和为y=a（1+r）x（2）如果存入本金a元,每月的利率为0.8%,试分别计算1月后,2月后,3个月后，12个月后的本利和是多少？解:已知本金为a元,1月后的本利和为a(1+0.8%)2月后的本利和为a(1+0.8%)2 3月后的本利和为a(1+0.8%)3 12月后的本利和为a(1+0.8%)12,复利计息,购买一台售价为5000元的电脑，采用分期付款的办法，每期付款数相同，购买后1个月第1次付款，再过1个月第2次付款，如此下去，共付款5次后还清，如果按月利率0.8%，每月利息按复利计算（上月利息要计入下月本金），那
6、么每期应付款多少?(精确到1元）分析：本题可通过逐月计算欠款来处理，根据题意，第5个月的欠款数为零，据此可得等量关系。,例1.,购买一台售价为5000元的电脑，采用分期付款的办法，每期付款数相同，购买后1个月第1次付款，再过1个月第2次付款，如此下去，共付款5次后还清，如果按月利率0.8%，每月利息按复利计算（上月利息要计入下月本金），那么每期应付款多少?(精确到1元）,(50001.0082-1.008x-x)1.008-x 即 50001.0083-1.0082x-1.008x x,这就是说，每月应付款1024元。,购买5个月后的欠款数为：50001.0085-1.0084x1.0083x
7、-1.0082x-1.008x x由题意 50001.0085-1.0084x1.0083x-1.0082x-1.008x x=0 即 x+1.008x+1.0082x+1.0083x+1.0084x=50001.0085,解：设每月应付款x元，购买1个月后的欠款数为,50001.008-x,购买2个月后的欠款数为,(50001.008-x)1.008-x 即 50001.0082-1.008x-x,购买3个月后的欠款数为,x+1.008x+1.0082x+1.0083x+1.0084x=50001.0085,第5次付款(即最后一次付款)x元。(由于款已全部付清，因此这一期付款没有利息),第4
8、次付款x元后到款全部付清时连同利息之和,第3次付款x元后到款全部付清时连同利息之和,第2次付款x元后到款全部付清时连同利息之和,第1次付款x元后到款全部付清时连同利息之和,5000元商品在购买5个月后（即货款全部付清时）连同利息之和,各次（期）所付的款以及各次（期）所付款到最后一次付款时所生的利息之和,商品的售价及从购买到最后一次付款时的利息之和。,从最后一次付款（即款全部付清）时的角度看,分析：利用分期付款的有关规定直接列出方程解法2：设每月应付款x元，那么到最后1次付款时（即商品购买5个月后）付款金额的本利和为：（x+1.008x+1.0082x+1.0083x+1.0084x）元；另外，
9、5000元商品在购买后5个月后的本利和为 50001.0085元。根据题意，x+1.008x+1.0082x+1.0083x+1.0084x=50001.0085（以下同解法1）,另解,从数学的角度看，本课题是等比数列前n项和的公式在购物付款方式上的一个实际应用。,问题的关键在于需要了解分期付款到底是怎么一回事，尤其要弄清以下情况和规定：,在分期付款中，每月的利息均按复利计算；,分期付款中规定每期所付款额相同；,分期付款时，商品售价和每期所付款额在货款全部付清前会随着时间推移而不断增值；,各期所付款额连同到最后一次付款所生的利息之和，等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和（这一规定实际
10、上作为解决问题关键步骤列方程的依据）。,总结,顾客购买一件售价为5000元的商品时，如果采取分期付款，那么在一年内将款全部付清的前提下，商店又提出了下表所示的几种付款方案，以供顾客选择。,顾客在从上表中选择付款方案时，需要知道几种方案中每期应付款多少，总共应付款多少，这样才便于比较。,例2.,x,1.008x,1.0082x,1.00811x,x+1.008x+1.0082x+1.00811x,50001.00812,x,1.0082x,1.0084x,1.00810 x,x+1.0082x+1.0084x+1.00810 x,50001.00812,x,1.0084x,1.0088x,x+1
11、.0084x+1.0088x,50001.00812,例1与例2的比较,15,（方案2）略解：由题意得:x(1+1.0082+1.0084+1.00810)50001.00812,每期所付款额为880.8元，付款总额约为5285元，与一次性付款差额为285元,（方案3）略解：x(1+1.008+1.0082+1.00811)50001.00812,每期所付款额为438.6元，付款总额约为5263元，与一次性付款差额为263元,（方案1）解：设每期所付款额x元，那么到最 后1次付款时付款金额的本利和为：x(1+1.0084+1.0088)元。,另外，5000元商品在购买后12个月后的本利和为50
12、001.00812元。,由题意得 x(1+1.0084+1.0088)50001.00812,每期所付款额为1775.8元，付款总额约为5327元，与一次性付款差额为327元,顾客购买一件售价为5000元的商品时，如果采取分期付款，那么在一年内将款全部付清的前提下，商店又提出了下表所示的几种付款方案，以供顾客选择。,从上表中选择付款方案时，需要知道几种方案中每期应付款多少，总共应付款多少，这样才便于比较。,例2.,例3:某房地产开发公司因有大量住房闲置,为盘活资金,促进住房销售,提出了两种优惠售房方案:第一种方案是分期付款:2002年元月要求购房者先付12万元,然后从第二年起每年元月付款2万元
13、,连续付5年(假设这五年中银行存款年利率为2%);第二种方案是2002年元月一次性付款21.2万元.如果购房者都是从银行贷款购房,试问:采取哪一种购房方案合算?(可选用以下数据:),1.024=1.08,1.025=1.10,1.026=1.13,解法一:终值比较法,选择比较的时点是2007年元月,分期付款 2002 2003 2004 2005 2006 2007,12 12(1+2%)12(1+2%)5,2 2(1+2%)2(1+2%)4,2 12(1+2%)2(1+2%)3,2 2(1+2%)2,2 2(1+2%),S分=12(1+2%)5+2(1+2%)4+2(1+2%)+2=23.2
14、万元,2,S一=21.2(1+2%)5=23.32万元,可见,第一种方案比较合算,解法二:现值比较法,选择比较的时点是2002年元月,年份 2002 2003 2004 2005 2006 2007,2/(1+2%)5 2/(1+2%)4 2,S分=12+2/(1+2%)+2/(1+2%)2+2/(1+2%)5=21.09万元,12,S一=21.2万元,可见,还第一种方案比较合算,2/(1+2%)4 2/(1+2%)3 2,2/(1+2%)3 2/(1+2%)2 2,2/(1+2%)2 2/(1+2%)2,2/(1+2%)2,课 后 请你算一算 某私立学校规定学生入学时每人应交费4万元RMB，
15、等三年后学生毕业时学校将把4万元如数归还，试问在此规定下，学生念三年书实际交了多少学费？（分别从三年后的角度和现在的角度考虑；设银行利率（月利率）一年期是0.75%，三年期是0.9%）,答案：从终值角度考虑时，三年至少交学费12960元；从现在角度考虑时，念三年书相当于交9788元学费。,思考题 1,思考题2,背景材料,（王师傅现有存款 元，还应向银行申请贷款 万元）,小结,实际问题,分析、联系、抽象、转化,建立数学模型（列数学关系式）,数学方法,数学结果,实际结果,回答问题,解决应用性问题的关键是读题懂题建立数学关系式。,解决应用性问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：,1.在分期付款中，每月的利息均按复利计算；,2.分期付款中规定每期所付款额相同；,3.分期付款时，商品售价和每期所付款额在货款全部付清前会随着时间推移而不断增值；,关于分期付款,一般地，分期付款的总额为a元，分n 期还清，如果期利率为b，那么每期应付款x元满足下列关系：,小结,见,谢 谢 指 导,再,背景材料,
