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1、数学建模简介,原型（Prototype）人们在现实世界里关心、研究、或从事生产、管理的实际对象。原型有：现时对象、研究对象、实际问题等。模型（Model)为某个目的将原型的某一部分信息进行简缩、提炼而构成的原型替代物。模型有：直观模型、物理模型、思维模型、计算模型等数学模型 由数字、字母、或其他数学符号组成、描述实际对象数量规律的数学公式、图形或算法,现实对象与数学模型的关系,现实对象信息,数学模型,数模的解答,现实对象的解答,用数学语言表述,归纳,求解,演绎,解释,验证,数学建模并不深奥,初中课本中的代数应用题任意曲边图形田地面积的计算,（航行问题）甲乙两地相距750公里，船甲到乙顺水航行要
2、30 小时，从乙到甲逆水航行要50 小时，问船速、水速是多少？解：设x为船速，y为水速，有(x+y)30=750(x-y)50=750解之 x=20、y=5检验：(20+5)30=750；(20-5)50=750,数学模型,求解,求曲边图形的面积,将其变为数学问题：引入坐标系;设曲边为函数yf(x);则曲边梯形由直线xa、xb、y0及曲线yf(x)所围成表示,a,b,x,y,y=f(x),求曲边梯形的面积,(1)分割:,ax0 x1 x2 xn1 xn b,Dxi=xi-xi1;,小曲边梯形的面积近似为f(xi)Dxi(xi1xixi);,(2)近似代替:,(4)取极限:,设maxDx1,Dx
3、2,Dxn,曲边梯形的面积为,(3)求和:曲边梯形的面积近似为;,数学模型,数学建模步骤有,1）根据问题的背景和建模的目的做出假设2）用字母表示要求的未知量3）根据已知的常识列出数学式子或图形4）求出数学式子的解答5）验证所得结果的正确性,数学建模无处不在 英文词汇的解释,有趣的計算,如果令A、B、C、DX、Y、Z這26個英文字母，分别等於百分之1、2、3、424、25、26這26個数值，那麼我們就能得出如下有趣的结論,Hard work（努力工作）,Knowledge（知識）,K+N+O+W+L+E+D+G+E=11+14+15+23+12+5+4+7+5=96%,Love（愛情）Luck（
4、好運）,L+O+V+E=12+5+22+5=54%L+U+C+K=12+21+3+11=47%,這些我們通常非常看重的東西都不是最圓滿的，雖然它們非常重要，那麼，究竟什麼能使得生活變的圓滿？,Then,M+O+N+E+Y=13+15+14+5+25=72%,NO,NO,L+E+A+D+E+R+S+H+I+P=12+5+1+4+5+18+19+9+16=89%,NO,S+E+X=19+24+5=48%,那麼，什麼能使生活變成100%的圓滿呢？,？,Its Attitude（心態）,A+T+T+I+T+U+D+E=1+20+20+9+20+21+4+5=100%,正是我們對待工作、生活的態度能够使
5、我們的生活達到100%的圓滿！,数学建模的作用 解释实际现象，以洞察其本质；2.找到解决实际问题的方法和途径3.给出实际问题的运行规律，以便决策者或机构根据他们的目的做出实施方案。,王选汉字激光技术的开发,数学有用，数学有大用(其中主要体现在数学建模上）,手掌指关节分布特点的数学研究,如果觉得数学没用，说明你还不了解数学建模或还没有达到科研和技术开发的一定层次！很多著名科学大师都有很好的数学功底，特别是数学建模的功底！如果把科研攻关比作一场足球比赛，那么数学在其中的作用是射门时刻的临门一脚，而数学建模则是助你将足球打入禁区的功臣！数学建模是数学与解决实际问题的桥梁！,告诉学生,！,建模的一般步
6、骤模型准备 模型假设 模型构成 模型验证 模型分析 模型求解 模型应用,因为我们在进行数学建模时依赖于模型假设，通常我们在建模开始时作的初始假设会有些遗漏或不太合适，以至于得出的数学模型与实际不符，这样就要不断修改假设再重新建模。,数学建模是一种迭代过程！,数学建模一般是从先建立一个简单的模型开始，然后根据模型的特点和实际需要来修改简单模型使其不断丰富，以获得所要解决问题的复杂一些的数学模型。此外，对要解决的问题若因为考虑太多不能建立一个数学建模或不能求解已经建立的模型对其进行简化就是我们的首选。建立简化模型是学习数学建模重要内容，它不但可以给所解决问题指出研究的方向，而且有时甚至是能否使用数
7、学建模技术的关键。,怎样做数学建模？,限制问题的识别使问题更具体些忽略一些变量或因素用多个变量的合并效果表示一个变量以减少变量个数把一些变量作为常数来考虑对有关系的变量采用简单线性关系给出更多的假设,建立简化模型或对已经有的 数学模型进行简化的方法有,把问题进行扩展加入额外的变量仔细考虑模型中的每个变量把常数改为变量考虑考虑变量之间的非线性关系减少假设的条件,数学模型进行改进的方法有,建模实例1：椅子能在不平的地面上放稳吗？,模型假设1、椅子的四条腿一样长，椅子脚与地面接触可以视为一个点，四脚连线是正方形（对椅子的假设）2、地面高度是连续变化的，沿任何方向都不出现间断。（对地面的假设）3、椅子
8、放在地面上至少有三只脚同时着地，（对椅子和地面之间关系的假设）,模型构成：用变量表示椅子的位置，引如平面图形及坐标系如图图中A、B、C、D为椅子的四只脚，坐标系原点选为椅子中心，坐标轴选为其对角线，由假设2，椅子的移动位置可以由正方形沿坐标原点旋转的角度来唯一表示。设某椅子脚与地面的垂直距离为y，显然它是的函数，记为 y=f()，由于正方形的中心对称性，可以用对应的两个脚与地面的距离之和来表示这两个脚与地面的距离关系记 f()为A、C的距离之和 g()为B、D的距离之和显然f()0、g()0，都是的连续函数（假设2），由假设3，对任意的，有f()、g()至少有一个为0，不妨设当=0时，f()0
9、、g()=0故此本问题归为证明如下数学命题：,A,B,C,D,A,B,C,D,数学命题:（本问题的数学模型）已知f()、g()都是的非负连续函数，对任意的，有f()g()=0，且f(0)0、g(0)=0，则有存在0，使f(0)=g(0)=0,模型求解 证明：将椅子旋转90，对角线AC与BD互换，由f(0)0、g(0)=0 变为f(/2)=0、g(/2)0 令h()=f()-g(),则有h(0)0和h(/2)0由h()的连续性及连续函数的中值定理，必存在一个0（0，/2），使h(0)=0，即则有存在0，使f(0)=g(0)=0。,建模实例2：四足动物的身长和体重问题,四足动物的躯干（不包括头尾）
10、的长度和它的体重有什么关系？这个问题有一定的实际意义。比如，一个在生猪收购站或屠宰场工作的人，往往希望能从生猪的身长估计它的重量。,四足动物的生理构造因种类不同而异，如果陷入生物学对复杂的生理结构的研究，将很难得到什么有价值的模型。为此我们可以在较粗浅的假设的基础上，建立动物的身长和体重的比例关系。本问题与体积和力学有关，搜集与此有关的资料得到弹性力学中两端固定的弹性梁的一个结果：,模型准备,长度为L的圆柱型弹性梁在自身重力f作用下,弹性梁的最大弯曲v与重力f和梁的长度立方成正比，与梁的截面面积s和梁的直径d平方成反比，即,模型假设1.设四足动物躯干（不包括头尾）长度为L、断面直径为d的圆柱体
11、，体积为m。2.四足动物的躯干（不包括头尾）重量与其体重相同，记为f。3.四足动物可看做一根支撑在四肢上的弹性梁,其腰部的最大下垂对应弹性梁的最大弯曲，记为v。,d,l,f,根据弹性理论对这种梁的研究,有,v/l 太大,四肢将无法支撑；v/l 太小，四肢的材料和尺寸超过了支撑躯体的需要，无疑是一种浪费。,是动物的相对下垂。,因此从生物学的角度可以确定，经过长期进化，对于每一种动物，v/l 已经达到其最合适的数值，即是一个常数（当然，不同种类的动物，常数值不同）于是可以得出：,体重与躯干长度的四次方成正比。,应用：如果对于某一种四足动物，比如生猪，你根据统计数据找出了这个比例常数k就能从它的躯体
12、长度估计它的体重了。确定k的方法是：取一个生猪样本，测出每只生猪的体重和躯干长度，在图上画出体重和躯干长度的曲线关系，确定比例常数k.,建模实例3：公平席位分配问题,某学院的最初人数见下表,此系设20个学生代表席位系名 甲 乙 丙 总数学生数 100 60 40 200学生人数比例 100/200 60/200 40/200席位分配 10 6 4 20,按比例分配方法:分配人数=学生人数比例总席位,系名 甲 乙 丙 总数学生数 103 63 34 200学生人数比例 103/200 63/200 34/200按比例分配席位 10.3 6.3 3.4 20按惯例席位分配 10 6 4 20,若出
13、现学生转系情况：,惯例席位分配方法为:比例分配出现小数时,先按整数分配席位,余下席位按小数的大小依次分配之,为改变总席位为偶数出现表决平局现象,决定增加一席,总席位变为21个学生代表席位,还按惯例分配席位,有,系名 甲 乙 丙 总数学生数 103 63 34 200学生人数比例 103/200 63/200 34/200按比例分配席位 10.815 6.615 3.57 21 按惯例席位分配 11 7 3 21,出现增加一席后,丙系却少一席的情况,说明按惯例分配席位的方法有缺陷,试建立更合理的分配席位方法,模型构成：讨论由两个单位公平分配席位的情况，设 单位 人数 席位数 每席代表人数单位A
14、p1 n1 p1/n1单位B p2 n2 p2/n2要公平,应该有 p1/n1=p2/n2 但一般不成立,若 p1/n1 p2/n2，则单位A 吃亏(对单位A不公平)p1/n1 p2/n2，则单位B 吃亏(对单位B不公平)因此可以用P=|p1/n1-p2/n2|来衡量分配不公平程度,但此公式有不足之处（绝对数的特点），如：n1=n2=10，p1=120，p2=100,p=2n1=n2=10，p1=1020，p2=1000,p=2,采用相对标准，对公式给予改进，定义席位分配的相对不公平标准公式：,对某方的不公平值越小，对某方越有利，因此可以用使不公平值尽量小的分配方案减少分配中的不公平,确定分配
15、方案：（使用不公平值的大小来确定分配方案）不妨设p1/n1 p2/n2，即对单位A不公平，再分配一个席位时，关于pi/ni 的不等式可能有,用不公平值的公式来决定席位的分配，此时应该有若rB(n1+1,n2)rA(n1,n2+1),增加的一席应给A，反之应给B，它们对应的不等式为,故可以令,于是增加的席位分配由Qi的最小值决定，它可以推广到一般情况，即n个组,模型求解,先按应分配的整数部分分配，余下的部分按Q值分配。,本问题的整数名额共分配了席，具体为甲 10.815 n1=10乙 6.615 n2=6丙 3.570 n3=3,第席的分配由Q值决定,第席的分配由Q值决定为,最后的席位分配为：甲
16、席乙席丙席,注：若一开始就用Q值分配，以n1=n2=n3=1逐次增加一席，也可以得到同样的结果。该方法可以推广到一般情况。,人口增长模型,模型假设 1）时刻t人口增长的速率与当时人口数成正比，增长率为常数r。2）以P(t)表示时刻t某地区（或国家）的人口数，设人口数P(t)足够大，可以视做连续函数处理，且P(t)关于t连续可微,模型I：人口指数增长模型（马尔萨斯Malthus，1766-1834）,模型建立及求解,据模型假设，在t到 t+t 时间内人口数的增长量为,如果设 t=t0时刻的人口数为，则P(t)满足初值问题：,称为指数增长模型（或Malthus模型）。,19世纪以前欧洲一些地区的人
17、口统计数据可以很好的吻合。19世纪以后的许多国家，模型遇到了很大的挑战。注意到，我们的地球是有限的，故指数增长模型（Malthus模型）对未来人口总数预测非常荒谬，不合常理，应该予以修正。,模型检验,我们把人口数仅仅看成是时间的函数，忽略了个体间的差异（如年龄、性别、大小等）对人口增长的影响。假定是连续可微的。这对于人口数量足够大，而生育和死亡现象的发生在整个时间段内是随机的，可认为是近似成立的。人口增长率是常数，意味着人处于一种不随时间改变的定常的环境当中。模型所描述的人群应该是在一定的空间范围内封闭的，即在所研究的时间范围内不存在有迁移（迁入或迁出）现象的发生。,模型讨论,不难看出，这些假
18、设是苛刻的、不现实的，所以模型只符合人口的过去结果而不能用于预测未来人口。,模型II：阻滞增长模型（Logistic）,模型假设,地球上的资源有限，不妨设为1；而一个人的正常生存需要占用资源1/P*(t)；在时刻t，人口增长的速率与当时人口数成正比，为简单起见也假设与当时剩余资源 成正比；比例系数表示人口的固有增长率；设人口数P(t)足够大，可以视做连续变量处理，且P(t)关于t连续可微。,模型建立及求解,称为阻滞增长模型（或Logistic模型）,模型检验,当人口数的初始值P0P*时，人口曲线（虚线）单调递减;当人口数的初始值P0P*时，人口曲线（实线）单调递增；无论人口初值如何，当t，它们
19、皆趋于极限值。,模型讨论,阻滞增长模型从一定程度上克服了指数增长模型的不足，可以被用来做相对较长时期的人口预测，而指数增长模型在做人口的短期预测时因为其形式的相对简单性也常被采用。不论是指数增长模型曲线，还是阻滞增长模型曲线，它们有一个共同的特点，即均为单调曲线。但我们可以从一些有关我国人口预测的资料发现这样的预测结果：在直到2030年这一段时期内，我国的人口一直将保持增加的势头，到2030年前后我国人口将达到最大峰值16亿，之后，将进入缓慢减少的过程这是一条非单调的曲线，即说明其预测方法不是本节提到的两种方法的任何一种。还有比指数增长模型、阻滞增长模型更好的人口预测方法吗？事实上，人口的预测是一个相当复杂的问题，影响人口增长的因素除了人口基数与可利用资源量外，还和医药卫生条件的改善、人们生育观念的变化等因素有关，特别在做中短期预测时，我们希望得到满足一定预测精度的结果，比如在刚刚经历过战争或是由于在特定的历史条件下采纳了特殊的人口政策等，这些因素本身以及由此而引起的人口年龄结构的变动就会变的相当重要，进而需要必须予以考虑。,谢谢！,参考书数学建模简明教程，王兵团编著，清华大学出版社，2011，12数学建模基础 王兵团主编，清华大学出版社数学建模方法及其应用，韩中庚，高等教育出版社数学模型，姜启源，高等教育出版社,
