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1、2.1微分方程的建立与求解 1.微分方程的建立,设系统的激励信号为，响应为，则系统的特性可用一微分方程来描述对于线性时不变系统，该式为一非齐次的常系数线性微分方程式,a.电阻:,b.电容:,c.电感:,d.耦合电感vI 的关系,依据,系统微分方程的建立依据是构成系统的各部件的特性以及各部件之间的连接方式。具体到电路中，微分方程的列写依据是VAR，KCL和KVL三条规律。,电路如右图所示，列写 的方程。,举例,描述LTI连续系统的微分方程是一线性常系数常微分方程，一般形式如下：,其中 为激励信号，有时称为输入信号。为响应信号，也称为输出信号。为微分方程的阶次，或系统的阶次。由于系统是线性时不变的
2、，所以上述微分方程中的所有系数 都是常数。,二.微分方程的求解(经典法),齐次解：由特征方程求出特征根写出齐次解形式,注意重根、复根情况处理方法。,特 解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系 数的特解函数式代入原方程，比较系数 定出特解。,全 解：齐次解+特解，由初始条件定出齐次解系数。,求解的一般步骤,（一）、微分方程的齐次解,齐次方程：,特征方程：,特征方程的 个根称为特征根：,1）特征根无重根：即 个特征根各不相等，则齐次解为：,2）特征根有重根：设 有 重根，则齐次解中相应于 的部分有 项，即：,微分方程的齐次解的形式取决于特征根的不同情况。,其中 为待定系数。由给定的系统初始条件
3、确定。,写成复根因子的形式（复函数的形式）：,写成实函数解的形式：,3）特征根为共轭复根时，齐次解可有两种选择形式，设一对共轭复根为,这时，为一对共轭复数。,这时，为两实数。,1）,2）,【例题】写出微分方程的齐次解的形式,【解】1）特征方程：，特征根：,齐次解的形 为待定系数。,2）特征方程：，特征根：,齐次解的形式：其中 为待定系数。,（二）、微分方程的特解,将 代入微分方程右边，化简得到的项称为自由项。特解即可根据自由项的函数形式来选择，如下表所示。,【解】1）自由项：，设特解：,【例题】已知微分方程：1）2）求两种情况下微分方程的特解。,代入原微分方程得：,解得：,【解】2）自由项：，
4、设特解：,代入原微分方程得：,解得：,微分方程的完全解由齐次解与特解相加得到。其中特解是一确定函数，而齐次解中有 个未知系数，这 个未知系数或待定系数必须由系统给定的初始条件来确定。即：,其中 中有 个待定系数。它们由下面 个初始条件来确定：,例 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始条件y(0)=1,y(0)=2,输入信号f(t)=e-t u(t)，求系统的完全响应y(t)。,特征根为,齐次解yh(t),解:(1)求齐次方程y(t)+6y(t)+8y(t)=0的齐次解yh(t),特征方程为,将特解带入原微分方程即可求得常数C=1/3。,由输入f(t)的形式，设方程的特解为,2)求非齐
5、次方程 的特解yp(t),解得 A=5/2，B=-11/6,yp(t)=Ce-t,3)求方程的全解,解:,齐次解:,若:,则特解为:,将B(t)代入微分方程,并用初始条件求出待定系数：,【注意】1）求待定系数用到的是 的初始值，而不是 的初始值。,2）从信号与系统分析的角度来说，初始条件用的是 时刻的值，但一般给定的已知条件是 时刻的值，它们在一般情况下是不同的。,3.微分方程的算子表示,引入算子，并令于是有,微分方程的算子表示(续),令高阶微分方程的算子表示传输算子,算子的运算,如果 则有，为常数(不可约)算子可相约 算子不可相约,三、起始点的跳变从 到 状态的转换,如上所述，在确定完全解中
6、齐次解部分中的待定系数时，我们要有 个初始条件。从信号与系统分析的角度来说，这 个初始条件指的是 时刻，因为激励接入后的瞬时是 时刻，或微分方程描述的是 时间区间。但在实际问题中，我们知道的是 时刻的起始状态。与 时刻系统的状态一般是不同的，所以有下面两个概念：,起始状态：在激励接入系统之前的瞬（）系统的状态称为起始状态，它总结了为计算未来响应所需要的过去的全部“信息”。,初始状态：在激励接入系统之后的瞬时（）系统的状态为初始状态，它用于求系统响应中齐次解部分的待定系数。,求起始点的跳变一般有两种方法：,1、对于具体的电网络，首先求出，一般情况下，换路期间电容两端电压和流过电感中的电流不会发生
7、跳变，然后根据元件特性约束和网络拓扑约束求得 时刻其他电流或电压值。,2、冲激函数匹配法：当系统用微分方程表示时，系统的 到 状态有无跳变取决于微分方程右端自由项是否包含 及其各阶导数。若包含，则发生跳变。原理为根据微分方程两边奇异函数 和 项平衡相等来求。,冲激函数匹配法：举例说明其原理。,例：,系统的微分方程为：，给定，求。,解：,方程右边有所以 包含,即 在 时刻有 存在，其中 表示 到 相对单位跳变函数，因而 即,数学方法描述为：,设 代入原方程得,得出,解得,所以得：或,例：,给定电路如图示，开关S处于1的位置而且已经达到稳态；当 时，S由1转向2。建立电流 的微分方程并求解 在 时
8、的变化。,+,-,2,1,S,+,-,解：,（1）列写微分方程,列回路方程：,列节点方程：,图1,整理得：,（2）求完全响应的形式,齐次解：,特征方程：,特征根：,齐次解形式：,特解：,时，自由项为16，所以设 代入原方程，解得,完全解的形式：,（3）确定换路后的,方法一：,换路前,换路后,方法二：,由题意知，的波形如图：即。当 时微分方程为,0,所以可设：,代入上方程求得：解得,所以,（4）求完全响应,由完全响应的表达式得：,解得：,所以完全响应为：,经典法求解微分方程的流程,将元件电压电流关系、基尔霍夫定律用于给定电系统,列写微分方程,齐次解（系 数A待定）,特解查表,完全解=齐次解+特解
9、（A待定）,已定系数A的完全解系统的响应,给定系统 状态,求出对应 状态,经典法不足之处,若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。,若激励信号发生变化，则须全部重新求解。,若初始条件发生变化，则须全部重新求解。,这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响应的物理概念。由0时刻的起始条件求 时刻的初始条件一般是很困难的，所以求系统响应时，一般绕开初始状态跳变的问题，而用别的方法来求系统的响应。详见后面章节内容，如零状态响应的求解内容,四、零输入响应和零状态响应1.零输入响应,对于线性时不变系统，零输入响应 是满足及起始状态 的解,2.零状态响应,零状态响应 是满足方程及起始状态 的解,3.响应的表
10、达式,零输入响应 零状态响应完全响应,2.2 冲激响应与阶跃响应,二者都是零状态响应。,1、单位冲激响应：以单位冲激信号(t)作激励 时，系统产生的零状态响应，以h(t)表示。,2、单位阶跃响应：以单位阶跃信号u(t)作激 励，系统产生的零状态响应，以g(t)表示。,h(t)与g(t)的关系：,用冲激响应分析线性系统的方法更常用。,冲激响应h(t)的求法：,系统方程为：,一、确定h(t)中的冲激函数及导数项,当激励e(t)=(t)时，系统的零状态响应为h(t)，则系统微分方程为：,用方程左右两端奇异函数平衡的原则，左边最高阶对应右边最高阶。,第一、h(t)的形式将与m,n值的相对大小密 切相关
11、,2、n=m，则h(t)包含(t)项,3、nm，则h(t)包含(t)项及其导数项,二、确定冲激响应h(t)的函数形式,当nm时，,当nm时，,当nm时，h(t)中还应包含(t)的导数,解：n=2，m=1 所以h(t)中不包含(t)。,特征方程为：,冲激响应为：,对h(t)求各阶导数：,将r(t)=h(t)及e(t)=(t)代入给定微分方程,返回,零状态响应,1、任意信号可分解为冲激信号的线性组合,2、系统的零状态响应,对于线性时不变系统,当t0时，td，kt,3、系统的全响应：,零输入响应,零状态响应,解：列写微分方程,代入元件值：R=1,C=1F,特征方程,1、零输入响应为：,2、零状态响应
12、：,先求电路的冲激响应,代入初始条件 可得：,将h(t)、h(t)和(t)代入微分方程两端,即,所以全响应为：,若用经典法求解,稳态响应：随时间增长仍继续存在并趋于 稳定的部分。,暂态响应：随时间增长而衰减消失的部分。,全响应=零输入响应+零状态响应=自然响应+受迫响应=暂态响应+稳态响应,系统的响应,2.3 卷 积,定义：,设函数f1(t)与函数f2(t)具有相同的自变量t，将f1(t)与f2(t)经如下的积分，可得到第三个相同自变量的函数g(t)，即,此积分称为卷积积分，记为：,（一）、卷积的图解计算,两个矩形波f1(t)与 f2(t)如图所示,其它,其它,求解 f1(t)f2(t),解：
13、1、变量置换：,2、反褶：,3、平移：,将f2(-)沿时间轴平移t，t为参变量,t0时向右平移，t0时向左平移,随t取值不同，f2(t-)出现在不同位置,4、相乘：将f1()和 f2(t-)相乘,5、积分,阴影的面积，即g(t)的值，是t时刻的卷积结果。,（二）、卷积的解析计算,1、积分限的确定：,A、设f1(t)是有始函数，当t0时，f1(t)=0，f2(t)不受此限,积分下限为0,B、t0时，f2(t)=0，f1(t)不受此限,即，当t时，f2(t-)=0，,C、将A、B两个条件合并：t0时，f1(t)=0，f2(t)=0,积分上限为 t,积分上限为 t，下限为0,卷积的被积函数是有始函数
14、，卷积也是有始函数,2、起始时刻的确定：,若f1(t)从t1时刻起始，f2(t)从t2时刻起始，即：,积分限是：,起始时刻是：,当t-t2t1时，g(t)=0,当t-t2t1时，g(t)不为0,起始时刻：tt1 t2,所以，g(t)可表示为：,具体计算方法：将两个阶跃函数的时间相加。,u(-t1)与u(t-t2)中：-t1+t-t2=t-t1-t2,起始时刻：tt1 t2,例：,求,（1）、图解法,首先将f2()反褶,再将f2(-)沿轴平移t,用图解法进行分段积分，求出g(t),当t0时，f1()f2(t-)=0，所以g1(t)=0,当0t2时，f1()与f2(t-)有部分重迭，积分限 0t，
15、g2(t)为：,当2t时，f2(t-)完全落在f1()上，积分限 t-2t，g3(t)为：,对以上结果用一个函数表达：,（2）、解析法,对式,和,都是有始函数。所以下限为0，上限为t，即,起始时刻为t=0,将两个阶跃函数时间相加，即+t-=t为阶跃函数所应具有的起始时刻,对式,和,下限为0，上限为t-2,起始时刻：t=2,将两个阶跃函数时间相加，即+t-2-=t-2为阶跃函数所应具有的起始时刻,（三）、卷积的性质,1、交换率：,2、分配率：,3、结合率：,5、卷积的积分：,4、卷积的微分：,（四）、函数f(t)与冲激函数或阶跃函数的卷积,1、f(t)与冲激函数卷积，结果是f(t)本身,证明：根
16、据卷积定义和冲激函数的抽样性质,类似有：,2、f(t)与冲激偶的卷积,(t)称为微分器,3、f(t)与阶跃函数的卷积,u(t)称为积分器,推广：,（五）、卷积积分的数值计算,用数值计算法求e(t)*h(t),步骤：,1、将e()和h(-)分解成若干宽度为T的矩形脉冲，得到近似函数ea()和ha(-),2、将ha(-)自左向右移动，并在T的整数倍的位置上计算ea()和ha(nT-)对应项乘积之和,t=0,ra(0)=0,t=T,ra(T)=Te0h1,t=2T,ra(2T)=T(e0h2+e1h1),推广到一般情况，即t=nT时，,总结：,卷积是本门课中十分关键的概念。着重掌握：1.图解法2.解析法3.卷积的性质,4、交换率：,证明：利用卷积定义,用积分换元法：令=t-，则d=-d,返回,5、卷积的微分：,证明：,对上式右侧的定积分，可将对t的微分移至积分内，是参变量。,返回,6、卷积的积分：,证明：,变换积分次序,返回,第二章 小结,时域分析法：,直接在时间域内对系统进行分析的方法。,其方法有两种：,经典法,零输入和零状态法,特解（受迫响应）：特解的形式由激励决定，特解的系数是由激励与系统共同决定的。,齐次解（自然响应）：齐次解的形式只与系统本身的特性有关，但其待定系数的确定是由激励和系统的 初始状态共同决定的。,1、时域经典法：,
