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1、区域学生分配的调控摘 要本文针对地区学校布局和学生分配的问题进行了分析与研究，主要采用线性规划以及层次分析法来建立数学模型，运用Lingo和Matlab软件编程计算出其最终结果。针问题1，仅从校方利益考虑，模型以校方支付交通费用最小为目标函数，以学校容量和各年级人数比例限制为约束条件建立线性规划模型，用Lingo软件编程计算出结果(见表5.1）。针对问题2，我们首先要从学生的人身安全考虑，即每个街区的学生就近入学，模型建立与第一问相似，只是把校方无法提供接送的情况下的交通费用视为无穷大，代入数值，用Lingo软件编写代码，求解出本问结果(见表 5.2)。针对问题3，利用层次分析法建立层次结构模
2、型，给出学校利益，学生管理，学生安全两两成对比较的判断矩阵（见表4.1），求出对应的特征向量，用归一法得到因素B对目标Z的相对权重W（见表4.2）。给出方案层P对于中间层B对应因素的判断矩阵，并用Matlab进行类似的计算，求出对的权重（见表4.4、4.5、4.6）, 根据层次总排序权重值可以看出方案6的权重值最大，所以学生在考虑学校利益、学生管理、学校安全三个因素下的分配，第6种方案为最合理。对于问题4，我们主要就目前学生的入学情况及择校问题，谈了一些家长择校的原因，同时也给出了一些建议，使学校和学生双方都能受益。关键词：学生分配 线性规划 层次分析法 权重一、问题的提出1.1问题的重述由于
3、城区旧城改造、新居建设以及人口流动等因素，现需将城区的六个街区小学生重新分配至该城区的三所学校A、B、C中去。经统计已知六个街区的小学生总人数以及低、中、高年级的比例（见表1）。同时考虑到可能出现夸街区上学的可能，为了保证学生的安全，每个学校将提供一定的上下课接送服务，由此产生的交通成本费用由上学的远近决定。具体数据见表2，其中0表示不用提供接送服务，短线表示无法提供接送服务。另一方面，学校为了保证教学质量，规定每个学校的低、中、高年级学生的比例都应在30%-36%之间。1,。如果从校方利益的角度考虑，为了节省接送的交通成本，所有学生应如何分配到各个学校去，同时又必须保证各年级的比例在规定的范
4、围内。2.另一方面，教育部门从学生管理和安全的角度考虑，希望每个街区的学生应尽可能的就近入学，而且同一个街区的学生能在同一所学校上学，那么在保证学校利益的基础上又应如何分配学生。3随着社会公共交通事业的发展，学校考虑是否应降低接送交通成本，分析制定了如下备选策略：（1）取消成本为200元/年的接送范围，其他保持不变；（2）取消成本为300元/年以下的接送范围，其他保持不变；（3）保持原方案。根据问题1的模型，再次考虑在各个策略下学生如何分配，比较各分配方案的差别。同时，结合问题2，在考虑学校利益、学生管理和学生安全等因素下，为学校提供一个合理的策略。4.我国现行的学生入学分配政策基本以学区内入
5、学为主，但很多家长为了让小孩进入教学效应较好的学校，不惜夸学区入学，而且学校也为此提供一定的入学名额，试就目前的入学情况谈谈你的想法，并提出你的建议。表 1.1 学校和学生信息地区学生数量低年级中年级高年级145032383026003728353550303238435028403255003934276450342838表1.2 学校接送交通成本费用和容量学校A学校B学校C每个学生的公交成本（元/年）3000700-400500600300200200500-0-4005003000学校容量90011001001.2问题的背景城市各城区小学学校的布局结构和学生的分配是否科学合理，直接关系到
6、教育资源的利用效率和教育教学质量.就某城区的学校和学生信息根据要求对学生进行适当合理的分配。中小学布局调整是教育主管部门面临的一项重要任务 ,涉及教育资源的公平分配和合理利用 ,影响到义务教育法的落实和实施。随着近年中国农村人口结构的变化 ,农村中小学布局调整是教育主管部门面临的一项重要任务定性内容多而定量分析少 ,缺乏严谨而易操作的规划指标等 ,特别是教育设施的空间分布、评估与规 大规模的中小学布局调整已在中国展开,按照教育部的要求 ,中小学布局调整的目地分布、学校分布、交通、地形等地理空间数据库 , 标是致力于提高中小学的办学条件、办学效益和教育质量 ,按照方便就学的原则,确保适龄儿童少年
7、顺利完成九年义务教育 然而 ,不少地方政府将调整简单理解为撤并和缩减 ,将教育资源的高效利用放在优先位置 ,公平性显得不足 ,结果致使出现了学校分布不合理的状况 ,使得学生入学距离增大、班额过大、师资分配不均衡、教育资源浪费流失 源分布的空间特征和存在问题 ,并为中小学学区规划和布局调整奠定定量分析的基础。二、问题分析在现实教育部门的统筹规划中，学校的布局结构和学生的分配不仅直接关系到教育资源的利用效率和学校的教育教学质量，同时还牵涉到学生管理、学生上下学的路途安全以及学校的经济利益。为保证教学质量，要求每个学校的低、中、高年级学生的比例都应在30%-36%之间。考虑到学生管理的便利，希望每个
8、街区的学生应尽可能的就近入学，而且同一个街区的学生能在同一所学校上学。为确保学生上下学安全，学校提供一定的上下课接送服务。由于交通成本费有上学的远近决定，学生就近上学的的希望已经在最小交通成本中体现。由题意可知，目的在于建立一种模型，解决学生的分配地点和分配数量，从而使交通成本，学生管理和安全达到所需目标。问题一中，根据学校容量，学校低、中、高年纪比例，小区学生人数的约束条件以及要得到学校最小交通成本的最优目标很容易想到线性规划模型。问题二与问题一的不同只在于安全问题需重点考虑，因此题目表二（学校接送交通成本费用和容量）中短线线路应理解为交通成本无穷大，仍然采用线性规划模型。问题三有6个被选策
9、略：（1）在问题1的基础上，取消成本为200元/年的接送范围，其他保持不变；（2）在问题1的基础上，取消成本为300元/年以下的接送范围，其他保持不变；（3）保持问题1原方案。（4）在问题2的基础上，取消成本为200元/年的接送范围，其他保持不变；（5）在问题2的基础上，取消成本为300元/年以下的接送范围，其他保持不变；（6）保持问题2原方案。在考虑学校利益、学生管理和学生安全等因素下，比较这6个策略为学校提供一个合理的策略，本文采用层次分析法建模。三、基本假设1、各地区学生选择到各学校的概率相互独立且相等；2、问题1、2、3中各学校的办学质量及办学校应相等；3、在问题一中， 4. 对于高、
10、中、低年级的学生，在进行分配时假设他们具有相同的安全系数。4、在问题二中，表二短横线表示无法提供接送服务，本模型中假设交通费用为无穷大；四、模型的建立4.1 针对问题一根据题意，如果从校方利益的角度考虑，为了节省接送的交通成本，所有学生应如何分配到各个学校去，同时又必须保证各年级的比例在规定的范围内。把短线表示无法提供接送服务的地区与0表示不用提供接送服务的地区同等看待成校方不需要交通成本费。为利用线性规划来建立模型。本模型的目标是为了使得总的交通费用最小，约束条件是每个学校的学生各个年级学生在一定的比例之内以及各个学校的最大容纳人数。4.1.1 目标函数的建立 如果从校方利益角度考虑，为了节
11、省接送的成本，换言之，就是使学校为学生出的交通费用最少，因为只考虑学校利益，在本模型中视学校无法提供接送的学生产生的交通成本费为0，为了简化模型，假设学生去各个学校的安全因素不作考虑，即都认为不存在安全问题。因此，由表2中数据信息考虑，列出目标函数如下 ：上式中，表示由地区到学校产生的交通费用（由学校方面支付）。表示由地区到学校的人数，表示由 地区到学校单个人的交通费用。4.1.2 约束条件的建立因为学校容量(见表2中数据)和每个地区的人数(见表1中数据)限制的条件下列出约束条件：上述模型中，表示由第各地区到第个学校年级的学生比例，表示第个地区年级的学生比例。由于规定每个学校规定低、中、高年级
12、学生的比例都应在30%36%之间，因此用以下函数进行进一步限制，可得出另外的约束条件：4.2针对问题二当从另一方面分析，即教育部门结合学生的管理和自身安全角度来考虑，这当然需要尽量考虑同一个街区的学生尽可能在同一所学校上学，那么在保证学校利益的前提下，本模型中假设每个学生去不同学校的概率相等且相互独立，对于学校无法为学生提供接送服务的本模型中将其产生的成本费视为无穷大（在这里取为10000元）。其他按照第一问的思考路建立模型如下：建立以交通费用最少的目标函数：根据学校容量和各地区人数限制，列出可行域：因为各个年级的人数限制在一定比例之内，所以另外的约束条件如下：4.3针对问题三随着社会公共交通
13、事业的发展，学校考虑是否应降低接送交通成本，分析制定了如下的被选策略分别为：方案1：在保持问题一其他条件不变的情况下取消成本200元/年的接送范围。方案2：在保持问题一其他条件不变的情况下取消成本300元/年的接送范围。方案3：保持问题一原方案。方案4：在保持问题二其他条件不变的情况下取消成本200元/年的接送范围。方案5：在保持问题二其他条件不变的情况下取消成本200元/年的接送范围。方案6：保持问题二原方案。 在考虑学校利益、学生管理和学生安全等因素下，比较这6个方案为学校提供一个合理的策略。这里我们采用层次分析法建立数学模型，选择合理的策略为目标层，学校利益、学生管理以及学生安全为准则层
14、，六种策略为措施层建立层次分析模型如图4.3合理的策略学校利益学生管理学生安全方案1方案2方案3方案4方案5方案6目标层准则层方案层图4.1 层次结构图在本模型中Z表示目标层，合理的策略，学校利益用B1表示，学生管理用B2表示，学生安全用B3表示，方案1至方案6分别用P1至P6表示。表示一致性指标,表示平均一致性指标（见附表1），表示一致性比例。其中为判断矩阵A的阶数，为A的最大特征值。理论说明：如果，一般认为判断矩阵A的一致性可以接受，否则需要重新进行成对比较，对A进行调整，使之具有满意的一致性。给出学校利益，学生管理，学生安全两两成对比较的判断矩阵（见表4.2），再进行层次单排序及其一致性
15、检验。判断矩阵A主要是依据学校利益，学生管理，学生安全对学生分配的影响。求出非负矩阵存在的最大特征值，对应着正的特征向量。用Matlab软件求解出矩阵的最大模特征值及其相应的特征向量，再将所求的特征向量单位化得到因素对目标的相对重要权重，记为（见表4.2）。表4.2 因素B对目标Z对重要权重ZB1B2B3WB1111/50.1429B2111/50.1429B35510.7142由表4.3可以求出一致性比例，所以此排序有满意的一致性，着就是说可以真正反映在目标中所占的比重。给出方案层对于中间层各个因素的判断矩阵，并用Matlab进行类似的计算，求出对的权重，从结果中可以清楚地看到对四个因素的排
16、序都有满意的一致性，真正反映了在中所占的比重（见表4.4、4.5、4.6）。将层次进行总排序（见表4.7），及P对目标Z的总排序。表4.3方案P对因素B1的权重B1P1P2P3P4P5P6W10.0010.023P111/224350.0313P22135460.0206P31/21/313240.0581P41/41/51/311/21/30.3843P51/31/41/22120.0572P61/51/61/431/210.4306表4.4 方案P对因素B2的权重B2P1P2P3P4P5P6W20P11111/31/31/30.0833P21111/31/31/30.0833P31111/
17、31/31/30.0833P43331110.2500P53331110.2500P63331110.2500表 4.5 P对B3的权重B3P1P2P3P4P5P6W30.0010.001P1131/31/51/41/80.0313P21/311/41/61/51/90.0206P33411/31/21/50.0581P45631350.3843P54521/311/70.0572P68955710.4306表 4.6 各方案的权重向量6个方案的总排序0.14290.14290.71420.03130.08330.03130.03870.02060.08330.02060.02960.0581
18、0.08330.05810.06170.38430.25000.38430.36510.07520.25000.07520.10020.43060.25000.43060.4048根据层次总排序权重值的大小，可以看出方案6的权重值最大，所以学生在考虑学校利益、学生管理、学校安全三个因素下的分配，第6种方案为最合理。4.4针对问题四4.4.1 入学及择校情况当今时代很多望子成龙的家长为了让他们的孩子能够在学习上有所建树，于是把目标转向了谋求好的学校，以求好的学习环境，故而他们而不惜重金，不顾路途遥远送孩子跨地区入学校学习往往恰好一些学校为了学校利益与升学率等等原因设置了一定的入学名额。也由于我国
19、现行教育制度的终极目标高考。让孩子考入一所理想的大学是每位家长梦寐以求的，这样，中考、高考升学率高的学校自然就门庭若市，因此很多家长为了让小孩进入教学效应较好的学校，不惜跨学区入学，这种全民择校的现象进一步把一部分本来不想择校的家长也被迫加入了择校行列。这种跨街区的择校现象，增加了学生的危险系数与学校的交通成本。“择校”进一步拉大了重点院校与普通院校的差距；还造成了重点校和非重点校的师生的心理差距；同时也容易造成学校之间的不公平竞争；并且造成弱校的师资不稳定，让学生享受不到好的教育资源。达不到好的教育效应。但由于现在的基本入学分配制度以学区内入学为主，针对这种情况，本文给出了相关建议及意见。本
20、文问题一、二、三针对学校利益、学生管理和学生安全等因素对城区学生分配进行了研究。从一二问的经济成本对照以及问题三的最优策略选择的结果表明学生分配同一地区内入学为宜。结合本文具体给出建议如下：4.4.1 给出建议1、各级教育行政部门要依据人口分布、地理状况、地段内学校规模和生源情况，根据免试就近入学原则，合理划定片区学位，确定每所学校招生服务范围，逐步减小跨服务区招生比例；2、政府、教育行政主管部门对教育资源均衡配置。淡化重点校和非重点校的称谓，实行校际间的人力资源调配！加大对薄弱学校的投入，缩小学校间办学条件的差异，从硬件设施上确保各校的均衡发展。让老百姓无须择校就能享受到优质的教育资源；3、
21、学校不得拒绝片区内符合就读条件的适龄儿童少年就读，不得为了校方利益擅自跨片区招生。不得私自限制在本地区的招生比例；4、对于家长，希望能够正确公平公正的看待学校办学力量，正确衡量子女的学习状况，充分相信本地区学校的教育效应，不应该有学校歧视。积极配合学校工作，协同学校共同搞好子女的受教育问题。五、模型的求解5.1对第一问的求解通过对上述建立的模型进行分析，对于该线性规划模型，采用lingo软件求解，通过化三维向量为二维向量，简化模型，编写代码，带入已知数据可得问题一的结果(见附录一）求解得学校最低交通成本为145000元，具体学校分配结果见表5.1。表 5.1 各地区学生在各学校分配情况及各年级
22、所占比例地区A学校B学校C学校低年级中年级高年级低年级中年级高年级低年级中年级高年级100014417113500022221682100000003000801141568562534000000981401125641107513160600006000000153126171总人286278285355345351336328336比例33.69%32.74%33.57%33.78%32.83%32.98%33.6%32.8%33.6%5.2 对第二问的求解当从另一方面分析，即教育部门结合学生的管理和自身安全角度来考虑，这当然需要尽量考虑同一个街区的学生尽可能在同一所学校上学，那么在保证
23、学校利益的前提下，对于以上的线性规划模型，根据lingo结果可知学生重新分配后情况如下表：表 5.2 各地区学生在各学校分配情况及各年级所占比例地区A学校B学校C学校低年级中年级高年级低年级中年级高年级低年级中年级高年级10001441711350002000222168210000300000016517620949814011200000051951701350000006000000153126171总数293310247366339345318302380A学校共850人A学校共1050人A学校共1000人比例33.5%34.7%31.8%34.9%32.3%32.7%31.8%30.
24、2%36%由程序运行结果很容易得出，以上这种方案学校接送的交通成本费用为420000.0元。六、结果的分析与检验6.1结果的分析对于第一问，因为本模型在求解过程中，只考虑学校方面的利益，把学校无法提供接送的视为交通成本费为0 ，而且因为限制各年级学生，在算年级人数时出现小数，本文将其取整，所以导致出现结果的误差，在第二文中因为把学生的安全因素作为首要考虑因素，所以把学校无法提供接送的视为交通成本费为无穷大(本模型中为10000元)故导致了另一个误差。在第三问中，各决策元素之间之间的比较尺度都受主观因素影响较为严重。故出现此类误差。6.2 结果的检验 对于前两问，采用lingo编程计算出各小区学
25、生分配到各个学校的情况，从而求解出学生分配方案，求解完成之后，采用matlab自定义编写出规划模型的算法，多次循环产生大量随机数（），并根据已知限定条件从中搜索出符合要求的最优解，结果表明该模型在给定的条件下具有很好的可靠性，能够解决同等规模的同类型问题。对于第三问，采用以排序原理为基础的层次分析法求解各项决策元素所占的总排序权重，最后对各个判断矩阵进行了一致性检验，其一致性比例均小于0.1，故结果比较可靠。七、模型的优缺点及推广7.1 模型的优点1、模型中变量较少，用较简单的方法解决了较复杂的问题；2、在用lingo求解时，巧妙化三维为二维，简化程序；3、模型中的变量具有一般性，对数据的依赖
26、性较小，具有普遍适用性，易于推广。7.2 模型的缺点1、对于问题一，短线是表示无法提供接送服务，只是考虑学校不需要花费接送交通成本，有可能这些无法提供接送服务的路线存在着极大的危险性，因此应该增加必要的限制条件，避免学生选择不可到达的学校就读。2、对于问题二，我们采用距离近的安全系数高，距离远的安全系数低，并没有考虑到低、中、高年级学生的年级因素会影响到接送的安全性，因此有待改进。在求解过程中，因为模型中假设无法提供接送的情况交通成本费为无穷大，这里我们设为10000元，所以有误差存在，导致结果不精确；7.3 模型的推广1、该模型可以推广到生活中的各个方面，比如资源的优化配置、多指标席位分配等
27、问题中，运用此模型可以更简单、方便的解决实际问题。具有很好的推广作用参考文献1孔云峰李小建，张雪峰, 农村中小学布局调整之空间可达性分析, 2008年9月2邱菀花, 冯允成, 魏法杰, 周泓，运筹学教程，北京：机械工业出版社，2004年3张志涌，精通MATLAB6.5版，北京：航空航天大学出版社 2002年4姜启源, 谢金星, 叶俊，数学模型（第三版）， 高等教育出版社 2003年5李志林, 欧宜贵, 数学建模及典型案例分析， 化学工业出版社 2006年42-54页6侯文华,梁冯珍,边薜萍，数学模型方法与算法， 高等教育出版社， 2005年5月 附 件附表1 Saaty的一致性指标123456
28、7891011000.580.901.121.241.321.411.451.491.51附件1第一问程序（lingo编程）：model:sets:six/1.6/:q,m;three/1.3/;nop(six,three):x,c,p1;three2(three,three);nopa(six,three2):p,a;endsetsobjmin=(sum(nop:x*c);sum(six(i):x(i,1)=900;sum(six(i):x(i,2)=1100;sum(six(i):x(i,3)=0.3);for(three2(j,k):sum(six(i):(p(i,j,k)*q(i)/s
29、um(six(i):x(i,j)=0.36);for(nop:gin(x);for(nop:gin(c);for(nopa:gin(a);z=sum(nop:x*c);for(nopa(i,j,k):a(i,j,k)=p(i,j,k)*q(i);data:p1=0.32 0.38 0.30.37 0.28 0.350.3 0.32 0.380.28 0.4 0.320.39 0.34 0.270.34 0.28 0.38;c=300 0 700 0 400 500 600 300 200 200 500 0 0 0 400 500 300 0;q=450 600 550 350 500 450
30、;enddataend附件2第二问程序（lingo编程）model:sets:six/1.6/:q,m;three/1.3/;nop(six,three):x,c,p1;three2(three,three);nopa(six,three2):p,a;endsetsobjmin=(sum(nop:x*c);sum(six(i):x(i,1)=900;sum(six(i):x(i,2)=1100;sum(six(i):x(i,3)=0.3);for(three2(j,k):sum(six(i):(p(i,j,k)*q(i)/sum(six(i):x(i,j)=0.36);for(nop:gin(
31、x);for(nop:gin(c);for(nopa:gin(a);z=sum(nop:x*c);for(nopa(i,j,k):a(i,j,k)=p(i,j,k)*q(i);data:p1=0.32 0.38 0.30.37 0.28 0.350.3 0.32 0.380.28 0.4 0.320.39 0.34 0.270.34 0.28 0.38;c=300 0 700 1e+5 400 500 600 300 200 200 500 1e+5 0 1e+5 400 500 300 0;q=450 600 550 350 500 450;enddataend附件3第三问程序（matlab
32、）clcclearA=1 1 1/5 1 1 1/5 5 5 1;B1=1 1/2 2 4 3 5 2 1 3 5 4 6 1/2 1/3 1 3 2 4 1/4 1/5 1/3 1 1/2 1/3 1/3 1/4 1/2 2 1 2 1/5 1/6 1/4 3 1/2 1;B2=1 1 1 1/3 1/3 1/3 1 1 1 1/3 1/3 1/3 1 1 1 1/3 1/3 1/3 3 3 3 1 1 1 3 3 3 1 1 1 3 3 3 1 1 1;B3=1 3 1/3 1/5 1/4 1/8 1/3 1 1/4 1/6 1/5 1/9 3 4 1 1/3 1/2 1/5 5 6 3 1 3 5 4 6 2 1/3 1 1/7 8 9 5 5 7 1;Ax,Av=eig(A)B1x,B1v=eig(B1)B2x,B2v=eig(B2)B3x,B3v=eig(B3)
