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1、质点的运动状态由外力的大小和方向可以完全确定.,一、力矩,力矩的大小=力与力臂的乘积,力矩的单位：牛米（Nm）,d:力臂,r:径矢,而刚体的运动状态由外力的大小、方向和力的作用点共同影响。我们用一个物理量：力矩来描述。,力矩的矢量形式,大小,方向：满足右手螺旋关系,把右手拇指伸直，其余四指弯曲，弯曲的方向是由径矢r 通过小于180度的角 转向F的方向，拇指所指的方向就是力矩的方向。,定轴转动的力矩方向也可以通过先规定转动的正方向，再按力矩的正负确定力矩的方向。,例：求刚体受到的合力矩,设逆时针转动为正,合力矩大小：,内力矩的合力矩为零,例1：有一大型水坝高110m，长1000m，水深100m，
2、水面与大坝表面垂直，如图4-14，求水作用在大坝上的力，以及这个力对通过大坝基点Q且与x轴平行的轴的力矩。P116,解：,在坝面上取一面积元,则此面积元上受到的力为：,设坝长为，水深为h,作用在大坝上的合力为：,对基点Q的力矩：,二、转动定律,质点的动力学问题,刚体的动力学问题,设刚体有n个质点组成，先取任一质点i来研究,外力：,内力：,由牛顿第二定律得：,切线方向：,切线方向：,又,所以,两边同乘以,得,对整个刚体，有,对整个刚体，内力对转轴的合力矩为0，即,所以,令,则,定义转动惯量,所以,转动定律：刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。,比较,
3、三、转动惯量,对质量连续分布的刚体,转动惯量的单位：,影响转动惯量得因素,（1）、刚体的质量（材料）,（2）、刚体质量的分布,（3）、转轴的位置,对质量不连续分布的刚体,回旋半径,注意：,质点也有转动惯量,A,B,O,dx,x,解：1、如图4-16a,X,细棒对转轴的转动惯量,2、如图4-16b,图4-16a,A,B,O,x,dx,图4-16b,例2 质量为m，长为l的均匀细棒AB。1、转轴通过中心O并与棒垂直，求细棒对转轴的转动惯量；2、转轴通过端点A并与细棒垂直，求细棒对转轴的转动惯量。,例3：一质量为m、半径为R的均匀圆盘，求通过盘中心O并与盘垂直的轴的转动惯量。,解：,在圆盘上取一圆环
4、,圆环的面积,设圆盘的面密度为,则圆环的质量,转动惯量,例3）求一质量为m的均匀实心球对其一条直径为轴的转动惯量。,解：一球绕Z轴旋转，离球心Z高处切一厚为dz的薄圆盘。其半径为,其体积：,其质量：,其转动惯量：,Z,例3）求一质量为m的均匀实心球对其一条直径为轴的转动惯量。,解：方法二,在球坐标下,其质量：,其转动惯量：,在球上取一体积元,平行轴定理：刚体对任一轴A的转动惯量JA和通过质心并与A轴平行的转动惯量Jc有如下关系：,为轴A与轴C之间的垂直距离,平行轴定理举例：,如，在例2中，已知通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量为：,则通过细棒端点并与棒垂直的轴的转动惯量为：,与直接积分算法结果
5、一致,例:将飞轮固定于水平轴上，在轮缘上绕一细轻绳，在绳的一端挂一质量为m的砝码，如图5-11所示。测得砝码由静止开始下落H距离的时间为t，已知飞轮半径为R，摩擦阻力矩忽略不计。试根据m、R、H和t的实验测定值求出飞轮对水平轴的转动惯量I。,m,m,H,解：分别以砝码和飞轮为研究对象，受力分析如图。,m,对砝码,对于飞轮，重力与支持力力矩为0，只有拉力矩，由转动定律得：,m,m,H,m,由（1）、（2）得,又,代入（3）得,例4：如图4-19，质量为 的物体A静止在光滑的水平面上，它和一质量不计的绳索相连，此绳索跨过一半径为R，质量为 的圆柱形滑轮C，并系另一质量为 的物体B上，B竖直悬挂。圆
6、柱形滑轮可绕其几何中心轴转动。当滑轮转动时，它与绳索间没有滑动，且滑动与轴承间的摩擦力可略去不计。问：(1)这两物体的线加速度为多少？水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（2）物体B从静止落下距离y时，其速率为多少？（3）若滑轮与轴承间的摩擦不能略去不计，并设它们之间的摩擦阻力矩为，再求线加速度及绳的张力。,mc,mA,mB,解：,（1）、受力分析如图,mc,由牛顿第二定律得,由转动定律得,又,（4）代入（3）式得,mc,mA,mB,mc,联列(1)、(2)、(5)式解得,mc,mA,mB,mc,（2），B由静止落下距离y时的速率,由,得,（3）,由转动定律得,联列(1)(2)(6)式得,例5：
7、如图4-20，一长为l，质量为m的匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链O相连，并可绕其转动。由于细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O转动，试计算细杆转到与竖直直线呈 角时的角加速度和角速度。,解：,当细杆转到 时，受力分析如图：,由转动定律得,由角加速度定义，有,积分：,解得,例6：设有一个圆盘形的飞轮，其质量为m=10.0kg，半径为r=0.20m。飞轮可绕通过盘心垂直盘面的轴转动。由于制造上的原因，飞轮的质心距转轴的距离为d=0.001m。设飞轮在恒外力矩M=5.0Nm的作用下由静止开始转动，经t=10.0s后撤去外力矩，飞轮作匀速转动。由于飞轮的质心偏离转轴而引起的对转轴的力。,解：,由转动定律得,圆盘以OZ为转轴的转动惯量,飞轮由静止作匀加速转动，则,代入（1）式得：,代入已知数据得：,转轴给质心提供的向心力,质心作用于转轴的作用力：,广泛用于防震或加震,
