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1、数学建模 模糊数学方法,模糊数学方法,模糊集的基本概念模糊综合评判模糊聚类分析,模糊集的基本概念,模糊子集与隶属函数隶属函数的确定模糊矩阵及运算与性质,模糊子集与隶属函数,设U是论域,称映射A(x):U0,1确定了一个U上的模糊子集A,映射A(x)称为A的隶属函数,它表示x对A的隶属程度.使A(x)=0.5的点x称为A的过渡点,此点最具模糊性.当映射A(x)只取0或1时,模糊子集A就是经典子集,而A(x)就是它的特征函数.可见经典子集就是模糊子集的特殊情形.,例 设论域,,,例 设论域U=x1(140),x2(150),x3(160),x4(170),x5(180),x6(190)(单位:cm
2、)表示人的身高,那么U上的一个模糊集“高个子”(A)的隶属函数A(x)可定义为,也可用Zadeh表示法:,还可用向量表示法 A=(0,0.2,0.4,0.6,0.8,1),模糊集的运算,相等:A=B A(x)=B(x);包含:AB A(x)B(x);并:AB的隶属函数为(AB)(x)=A(x)B(x);交:AB的隶属函数为(AB)(x)=A(x)B(x);余:Ac的隶属函数为Ac(x)=1-A(x).,例 设论域U=x1,x2,x3,x4,x5(商品集),在U上定义两个模糊集:A=“商品质量好”B=“商品质量坏”,并设,A=(0.8,0.55,0,0.3,1).B=(0.1,0.21,0.86
3、,0.6,0).,则Ac=“商品质量不好”,Bc=“商品质量不坏”.,Ac=(0.2,0.45,1,0.7,0).Bc=(0.9,0.79,0.14,0.4,1).,可见Ac B,Bc A.,又 AAc=(0.8,0.55,1,0.7,1)U,AAc=(0.2,0.45,0,0.3,0).,隶属函数的确定,1.模糊统计方法,与概率统计类似,但有区别:若把概率统计比喻为“变动的点”是否落在“不动的圈”内,则把模糊统计比喻为“变动的圈”是否盖住“不动的点”.,2.指派方法,一种主观方法,一般给出隶属函数的解析表达式。,3.借用已有的“客观”尺度,模糊矩阵,设R=(rij)mn,若0rij1,则称R
4、为模糊矩阵.当rij只取0或1时,称R为布尔(Boole)矩阵.当模糊方阵R=(rij)nn的对角线上的元素rii都为1时,称R为模糊自反矩阵.,模糊矩阵及运算与性质,模糊矩阵间的关系及并、交、余运算,设A=(aij)mn,B=(bij)mn都是模糊矩阵,定义相等:A=B aij=bij;包含:AB aijbij;并:AB=(aijbij)mn;交:AB=(aijbij)mn;余:Ac=(1-aij)mn.,设A=(aik)ms,B=(bkj)sn,称模糊矩阵A B=(cij)mn,为A 与B 的合成,其中cij=(aikbkj)|1ks.,模糊矩阵的合成,模糊方阵的幂 定义:若A为 n 阶方
5、阵,定义A2=A A,A3=A2 A,Ak=Ak-1 A.,模糊矩阵的转置,定义 设A=(aij)mn,称AT=(aijT)nm为A的转置矩阵,其中aijT=aji.,转置运算的性质:,性质1:(AT)T=A;性质2:(AB)T=ATBT,(AB)T=ATBT;性质3:(A B)T=BT AT;(An)T=(AT)n;性质4:(Ac)T=(AT)c;性质5:AB AT BT.,模糊矩阵的截矩阵,设A=(aij)mn,对任意的0,1,称A=(aij()mn,为模糊矩阵A的-截矩阵,其中 当aij 时,aij()=1;当aij 时,aij()=0.显然,A的-截矩阵为布尔矩阵.,模糊综合评价模型,
6、对方案、人才、成果的评价,人们的考虑的因素很多,而且有些描述很难给出确切的表达,这时可采用模糊评价方法。它可对人、事、物进行比较全面而又定量化的评价,是提高领导决策能力和管理水平的一种有效方法。,模糊综合评价的基本步骤:,(1)首先要求出模糊评价矩阵P,其中P表示方案X在第i个目标处于第j级评语的隶属度,当对多个目标进行综合评价时,还要对各个目标分别加权,设第i个目标权系数为W,则可得权系数向量:A(W1,W2,W),(2)综合评判 利用矩阵的模糊乘法得到综合模糊评价向量BBAP(其中为模糊乘法),根据运算的不同定义,可得到不同的模型,模型1 M(,V)主因素决定型,模型2 M(,)主因素突出
7、型,模型3 M(,+)加权平均型,例1:对某品牌电视机进行综合模糊评价,设评价指标集合:U图像,声音,价格;评语集合:V很好,较好,一般,不好;,首先对图像进行评价:假设有30%的人认为很好,50%的人认为较好,20%的人认为一般,没有人认为不好,这样得到图像的评价结果为(0.3,0.5,0.2,0)同样对声音有:0.4,0.3,0.2,0.1)对价格为:(0.1,0.1,0.3,0.5)所以有模糊评价矩阵:,设三个指标的权系数向量:A 图像评价,声音评价,价格评价(0.5,0.3,0.2)应用模型1,bj=max(airij)有综合评价结果为:BAP(0.3,0.5,0.2,0.2)归一化处
8、理:B(0.25,0.42,0.17,0.17)所以综合而言,电视机还是比较好的比重大。,例2:对科技成果项目的综合评价,有甲、乙、丙三项科研成果,现要从中评选出优秀项目。,三个科研成果的有关情况表,设评价指标集合:U科技水平,实现可能性,经济效益评语集合:V高,中,低评价指标权系数向量:A(0.2,0.3,0.5),专家评价结果表,由上表,可得甲、乙、丙三个项目各自的评价矩阵P、Q、R:,求得:,归一化后得:,所以项目乙可推荐为优秀项目,因素集:U=政治表现及工作态度,教学水平,科研水平,外语水平;评判集:V=好,较好,一般,较差,差;,例3:“晋升”的数学模型,以高校教师晋升教授为例,(1
9、)建立模糊综合评判矩阵,当学科评审组的每个成员对评判的对象进行评价,假定学科评审组由7人组成,用打分或投票的方法表明各自的评价,例如对王,学科评审组中有4人认为政治表现及工作态度好,2人认为较好,1人认为一般,对其他因素作类似评价。,(2)综合评判,以教学为主的教师,权重A1=(0.2,0.5,0.1,0.2)以科研为主的教师,权重A2=(0.2,0.1,0.5,0.2),B1=(0.5,0.2,0.14,0.14,0.14)B2=(0.2,0.2,0.5,0.14,0.14),归一化(即将每分量初一分量总和),得 B1=(0.46,0.18,0.12,0.12,0.12)B2=(0.17,0
10、.17,0.42,0.12,0.12),若规定评价“好”“较好”要占50%以上才可晋升,则此教师晋升为教学型教授,不可晋升为科研型教授,例4:利用模糊综合评判对20加制药厂经济效益的好坏进行排序因素集:U=u1,u2,u3,u4为反映企业经济效益的主要指标 其中u1:总产值/消耗;u2:净产值;u3:盈利/资金占有;u4:销售收入/成本,评判集:V=v1,v2,v20为20家制药厂,(1)建立模糊综合评判矩阵,即rij表示第j个制药厂的第i个因素的值在20家制药厂的同意因素值的总和中所占的比例,得到模糊综合评判矩阵R=(rij)420,(2)综合评判,按从小到大的次序排序,这20家制药厂的经济效益的好坏顺序为:9,11,14,10,20,19,17,4,1,15,7,2,12,13,18,5,16,8,6,3,得到的排序为:9,17,11,10,20,14,19,13,16,4,15,1,12,5,18,7,2,6,8,3,?,练习:1、建立一个评价教师的教学质量模型2、假如你是一个股民,建立一个炒股模型,