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1、数学竞赛 专题讲座,数学竞赛中 的组合问题,（一）主要类型1、组合计数问题 包括有限集合元素的计算、相应子集的计算、集合分拆方法数的计算等，表现为数值计算、组合恒等式或组合不等式的证明知识基础是加法原理、乘法原理和排列组合公式；常用的方法有：代数恒等变形、二项式定理、数学归纳法、递推、组合分析、容斥原理等,一、概论,（一）主要类型1、组合计数问题包括：问题类型：主要有：有限集合元素的计算、子集的计算、集合分拆的计算解题方法：主要有：代数恒等变形、二项式定理、组合等式、递推、组合分析、容斥原理、数学归纳法。,一、概论,（一）主要类型2、组合设计问题 其基本含义是，对有限集合，按照性质来作出安排，
2、有时，只是证实具有性质的安排是否存在、或者验证作出的安排是否具有性质（称为存在性问题，又可分为肯定型、否定型和探究型）；有时，则需把具体安排（或具体性质）找出来（称为构造型问题）；进一步，还要找出较好的安排（称为最优化问题）,一、概论,（一）主要类型2、组合设计问题：对集合A，按照某种性质P来作出安排，包括问题类型主要有：存在性问题，构造性问题，最优化问题解题方法：主要有：构造法、反证法、抽屉原理、染色方法、递推方法,一、概论,（二）发展特点 以组合计数、组合设计为基础，与数论、几何交叉，形成组合数论、组合几何、集合分拆三大热点，突出而鲜明的体现数学竞赛的“问题解决”特征这三方面之所以成为热点
3、，从思维方式、解题技巧上分析，是因为其更适宜数学尖子的脱颖而出，且常与现代数学思想相联系；从技术层面上分析，还由于都能方便提供挑战中学生的新颖题目,一、概论,有个定义、9个定理：定义 从n个不同的元素中取出m个，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列相异元素排列数的计算公式为：,二、基础知识,定义 从n个不同的元素中取出m个，并成一组，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个组合相异元素组合数的计算公式为：,二、基础知识,定理（加法原理）定理2（乘法原理）定理3 组合恒等式(1)(2)(3)(4),二、基础知识,定理4（二项式定理）定义 从n个不同的元素中取出m个
4、，按照一定的顺序排在一个封闭曲线上，叫做环形排列（或循环排列、圆排列）相异元素的 圆排列数公式为：,二、基础知识,定义 从n个不同的元素中，允许重复取出m个元素，按照一定的顺序排成一列，称为n个相异元素允许重复的m元排列相异元素的可重复排列数计算公式为：定义 从n个不同的元素中，允许重复取出m个元素，不管怎样的顺序并成一组，称为n个相异元素允许重复的m元组合 相异元素的可重复组合数计算公式为：,二、基础知识,定义 若n个元素中，有n1个a1，n2个a2个a，且，则这个元素的全排列，称为不尽相异元素的全排列不尽相异元素的全排列公式为：定义 如果是一个元有限集合，那么，它的子集组成的集合叫做的一个
5、子集系,二、基础知识,定理5 元集合中含有个元素的子集有个；集合的所有子集共有个定理6（抽屉原理）（1）把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。（2）把多于mn+1个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于m+1的物体。（3）把（mn1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m1）个物体。,二、基础知识,举例说明抽屉原理,例1 幼儿园买来了不少白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，那么不管怎样挑选，在任意七个小朋友中总有两个彼此选的玩具都相同，试说明道理.解 从三种玩具中挑选两件，搭配方式只能是下面六种：（兔、兔），（兔、熊猫），（兔
6、、长颈鹿），（熊猫、熊猫），（熊猫、长颈鹿），（长颈鹿、长颈鹿）把每种搭配方式看作一个抽屉，把7个小朋友看作物体，那么根据原则1，至少有两个物体要放进同一个抽屉里，也就是说，至少两人挑选玩具采用同一搭配方式，选的玩具相同.,举例说明抽屉原理,例2正方体各面上涂上红色或蓝色的油漆（每面只涂一种色），证明正方体一定有三个面颜色相同.证明：把两种颜色当作两个抽屉，把正方体六个面当作物体，那么6=22+2，根据原则二，至少有三个面涂上相同的颜色.,举例说明抽屉原理,例3 从自然数1，2，3，99，100这100个数中随意取出51个数来，求证：其中一定有两个数，它们中的一个是另一个的倍数.解设第一个抽屉
7、里放进数：1，12，122，123，124，125，126；第二个抽屉时放进数：3，32，322，323，324，325；第三个抽屉里放进数：5，52，522，523，524；第二十五个抽屉里放进数：49，492；第二十六个抽屉里放进数：51.第五十个抽屉里放进数：99.那么随意取出51个数中，必有两个数同属一个抽屉，其中一个数是另一个数的倍数.,定理7（容斥原理）设集合，记 为 对于全集的补集，则(1)(2)定理8（自然数的良序性）自然数的任一非空子集中，必有一个元素是最小的,二、基础知识,定理9 设A,B是两个有限元集合，分别是两集合的元素个数，f是A到B的一个映射（）若f是单射，则；特别
8、的，f是单射而非满射，则（）若f是满射，则（）若f是一一映射（双射），则,二、基础知识,（二）、高中数学竞赛大纲 中组合问题的要求1、圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式2、组合计数，组合几何 3、抽屉原理4、容斥原理 5、极端原理6、图论问题 7、集合的划分8、覆盖9、平面凸集、凸包及应用*（加试中暂不考，但在冬令营中可能考）,二、基础知识,1、计数问题,三、题型举例,1、计数问题,三、题型举例,2、染色问题,三、题型举例,3、存在性问题,三、题型举例,4、组合构造,三、题型举例,5、组合数论,三、题型举例,6、操作性问题,三、题型举例,7、最值性问题,三、题型举例,8、图论9、组合方
9、法10、综合问题,三、题型举例,在高中数学联赛的所有题目中，相信最让大家头痛的莫过于组合题了，有些同学觉得做组合题很容易就绕晕了，不知道如何下手；有些同学看了答案总是会说，这个题想法太怪了，不可能想不出来；有些同学好不容易想出了答案，却经常因为表达不清楚而得不到分。确实，组合题对数学思维的要求非常高，它经常作为联赛二试的最后一题出现，会比另外几块内容难上很多，但也并不是无迹可寻的。组合问题的知识点并不多，主要在于对问题性质的探索与思考。联赛中组合题以存在性问题和最值问题以及组合数论问题为主，这类问题的关键常常在于构造例子或反例。因此，只要我们多加练习这两类问题，在联赛中还是可以拿到满意的分数的。,四、结束语,
