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1、1.彭姝Email:实验室:软件楼3102.顾俊Email:实验室：软件楼3103.赵一鸣BBS:zhymEmail:每周三交作业,2 变换群、置换群与循环群,例13.8:证明不等边长方形所有对称的集合,关于其合成构成群。B4=e,B4;是4元素群,称为Klein四元群。,一、变换群,变换:非空集合S到S的一个映射,当映射是一一对应时,称为一一变换。SS表示S到S的所有映射全体组成的集合,SS=f|f:SS，SS;是半群。是拟群。不是群T(S)表示S上所有一一变换组成的集合。T(S)=f|fSS,且f为一一对应T(S);是群,定义13.5:设GT(S),当G;为群时,就称该群为变换群,其中为一
2、一变换的合成(复合)运算,并称为变换的乘法。定理13.9:T(S);是一个变换群。变换群不一定是交换群,二、置换群,定义13.6:设S,|S|+,S上的一个一一变换称为置换。S上的某些置换关于乘法运算构成群时,就称为置换群。若|S|=n,设S=1,2,n,其置换全体组成的集合表示为Sn;Sn;是一个置换群,n次对称群。,S上的置换Sn,习惯上写成,这里(i)即为i在函数下的象，这里1,2,n次序无关，即,n次对称群Sn是有限群,问|Sn|=?S上的一一变换个数有多少?S上的一一变换个数是n!,即|Sn|=n!。下面以三次对称群S3为例，考察群运算。,定义13.7:设|S|=n,Sn,形如:,其
3、中2dn。这种形式的置换叫做循环置换,称其循环长度为d。上述可写为=(i1,id)，其中在变换下的象是自身的元素就不再写出。特别,当 d=2时称为对换。,定理13.10:Sn中的任一个置换均可分解为不含公共元的若干个循环置换的乘积。证明:对n作归纳n=1,成立假设当|S|n-1,结论成立(n1)当|S|=n,任取Sn中的置换由元素1出发取上的循环置换推论13.1:任意一个置换可以分解为若干个对换的乘积。,说明分解不唯一,定理13.11：任意一个置换可分解成对换的乘积,这种分解是不唯一的,但是这些对换的个数是奇数个还是偶数个却完全由置换本身确定。对一个置换，它可能有不同的对换乘积，但它们的对换个
4、数的奇偶性则是一致的。定义13.8：一个置换的对换分解式中,对换因子的个数是偶数时称该置换为偶置换,否则,称它为奇置换。,长度为k的循环置换(i1 i2 ik)=(i1 i2)(i2 i3)(ik-2 ik-1)(ik-1 ik)共k-1个对换所以当k是奇数时，该循环为偶置换 当k是偶数时，该循环为奇置换推论13.2：一个长度为 k的循环置换,当k为奇数时,它是一个偶置换;当k为偶数时,它是一个奇置换。,推论13.3：每个偶置换均可分解为若干个长度为 3 的循环置换的乘积,循环置换中可以含有公共元。证明:对任两个对换:(a,b)(c,d)(a,b)(b,c),推论14.4：Sn中的奇、偶置换在
5、置换的乘法运算下,其奇偶性由下表给出:,偶置换 奇置换 偶置换 偶置换 奇置换 奇置换 奇置换 偶置换恒等置换看作为偶置换Sn=OnAnOnAn=偶置换与偶置换的乘积仍是偶置换，是An上的运算An;是代数系统。,1.封闭性2.结合律当然成立3.恒等置换eAn4.对于An,在Sn中有逆元-1,-1也是偶置换推论13.5：对称群Sn中所有偶置换组成的集合,记为An,关于置换的乘法构成群。,定义13.9：称上述An;为n次交待群。由于An中每个元素都是置换,因此根据置换群的定义可知An;也是置换群.|An|=?若n=1，Sn只有一个置换恒等置换，它也是An的元素，|An|=1。若n1,|An|=|O
6、n|=,例：G=g1,g2,gn,G;是群,对任意gG,定义映射g:GG,使得对任意gG,有g(g)=gg。设=g|gG,则;是置换群。这里是关于映射的复合运算.证明:(0)是上的运算(1)是满足结合律的.(2)存在单位元(3)对任意g,存在逆元(4)g是G上的置换,三、循环群,1.元素的阶定义13.10:设G为群,e是G的单位元，对于aG,如果存在最小正整数r，使得ar=e，则称r为元素a的阶;也可称a是r阶元。若不存在这样的r，则称a为无限阶元或说a的阶无限。,元素a的阶有限的特征：若元素a的阶有限，则存在k,lZ(kl),使ak=al，如果a的任意两个幂都不相等,则元素a的阶无限。定理13.12：G为群,aG,阶为n,则对mZ,am=e当且仅当n|m。定理(一)：若G是有限群，则G中的每个元素的阶都是有限的。,作业:P171 12.(2)(3),13,
