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1、剪力,弯矩,弯曲正应力及强度条件,弯曲切应力及强度条件,弯曲刚度分析,静不定梁分析,弯曲变形的计算,第七章 弯曲变形,弯曲内力,弯曲强度,弯曲变形,1、齿轮传动,轮齿不均匀磨损，噪声增大，产生振动；,加速轴承磨损，降低使用寿命；若变形过大，使传动失效。,7-1 引言,一、弯曲实例,弊端：,2、继电器中的簧片,电磁力,当变形足够大时，可以有效接通电路；,触点,当变形不够大时，不能有效接通电路；,簧片,工程中，一方面要限制变形，另一方面要利用变形。,x,w,挠曲轴,mm,nn,（1）挠度 w：横截面形心在垂直于轴线方向的位移,（2）转角：横截面绕中性轴的转过的角度,w,符号规定：向上为正，向下为负
2、。,符号规定：逆时针为正，顺时针为负。,（3）轴向位移x：横截面形心在轴线方向的位移，小变形情况下，略去不计。,X,x,（连续、,光滑,平坦的平面曲线）,w,z,二、梁变形的表示方法,(通常1=0.0175弧度),挠曲轴曲线性质：,挠曲轴,x,w,x,w(x),o,(x),(x),（2）挠曲轴上任一点的切线斜率等于梁上该截面的转角值。,（1）挠曲轴上任一点的纵坐标等于梁上该截面的挠度值；,三、挠度和转角之间的关系,1、中性层曲率表示的弯曲变形公式,(纯弯曲变形公式，,EI为抗弯刚度）,2、数学中的曲率公式,一、挠曲轴微分方程,M,o,x,w,(x),M(x),7-2 梁变形基本方程,3、挠曲轴
3、微分方程,4、挠曲轴近似微分方程,弧度,（1）在小变形条件下，,o,x,w,M 0,M 0,（2）正负号确定：,M 与w保持同号,（1）线弹性范围,（2）小变形条件,（3）平面弯曲,适用条件：,二、积分法计算梁的变形,C、D为积分常数，,它由位移边界与连续条件确定。,边界条件：,(2)铰支座：,（1）固定端约束：,连续条件：,C,例1：悬臂梁AB，弯曲刚度 EI 为常数，受力F 和力偶M=FL 作用，求w(x)，(x)；并计算B截面的挠度和转角值。,解：1、建立挠曲轴微分方程并积分,A端约束反力 FAy=F,梁的弯矩方程：,挠曲轴近似微分方程：,x,w,2、确定积分常数,A端为固定端约束，,x
4、=0,w=0 x=0,=0,C=0,D=0,3、挠度方程、转角方程及B截面的转角,将 x=L 代入转角方程：,w,x,例2：由积分法求图示梁的wA、A。,解：1)坐标系如图；,AC段：,则近似微分方程为：,积分可得：,x,w,x,Fa,a,a,F,EI,C,A,B,2)分两段进行分析：,BC段：,积分可得：,则近似微分方程为：,利用约束和连续条件确定C1、D1、C2、D2四个常数：,时，,约束条件：,连续条件：,处，,由此可得：,即：,由此可得：,最后可得：,（向下）,（逆时针）,(2)由约束和连续条件求积分常数；,(1)两段：四个常数，每增加一段，就增加 两个积分常数；,小结：,(3)坐标原
5、点一律放在左边，分段写出M(x)；,(4)注意x的范围。,7-3计算梁位移的叠加法,由于：1）小变形，轴向位移可忽略；,简单载荷下梁的挠度和转角见附录E。,因此，梁的挠度和转角与载荷成线性关系，可用叠加原理求复杂载荷作用下梁的挠度和转角。,2）线弹性范围工作。,例：利用叠加原理求图示弯曲刚度为EI的悬臂梁自由端B截面的挠度和转角。,解：原荷载可看成为图a和b两种荷载的叠加，对应 的变形和相关量如图所示。,对图a，可得C截面的挠度和转角为：,由位移关系可得此时B截面的挠度和转角为：,（向下）,（顺时针）,对图b，可得D截面的挠度和转角为：,同理可得此时B截面的挠度和转角为：,（向下）,（顺时针）
6、,将相应的位移进行叠加，即得：,（向下）,（顺时针）,例：由叠加原理求图示弯曲刚度为EI的外伸梁C截面 的挠度和转角以及D截面的挠度。,解：可将外伸梁看成是图a和b所示的简支梁和悬臂 梁的叠加。,（1）对图a，其又可看成为图c和d所示荷载的组合。,+,图c中D截面的挠度和B截面的转角为：,图d中D截面的挠度和B截面的转角为：,将相应的位移进行叠加，即得：,（向下）,（顺时针）,（2）对图b，C截面的挠度和转角分别为：,所以：,原外伸梁C端的挠度和转角也可按叠加原理求得，即：,（向下）,（顺时针）,例：利用叠加原理求图示弯曲刚度为EI的中间铰梁铰 接点B处的挠度和B点右截面的转角以及D截面的挠度
7、，其中：F=2qa。,解：可在铰接点处将梁分成图a和b所示两部分，并可求得铰接点处的一对作用力与反作用力为：,q,+,图a和b中分别给出了两部分的变形情况。,(c),并且图b又可分解为图c所示两种载荷的组合。,（1）对图b，可得其B截面的挠度和转角为：,进行相应的叠加可得：,（向下）,（逆时针）,（2）图a可看成为右支座有一定竖直位移（位移量为wB）的简支梁，此时D截面的挠度为：,（向下）,7-4 梁的刚度条件提高梁的刚度的措施,1、梁的刚度校核,保证梁的正常工作除要满足强度条件外，产生的变形也不能太大，应满足刚度条件，即有：,例：图示空心圆截面外伸梁，已知D=80mm，d=40mm，E=20
8、0GPa，C点挠度不得大于AB跨长的10-4，B截面转角不得大于10-3rad，校核刚度。,解：首先可利用图a由叠加原理求wC和B。,图a可看成由图b和c的叠加而得，图b和c分别有：,叠加可得：,因为：,所以：,刚度满足。,则：,2）减少梁的跨度或增加支承。,2、提高刚度措施,除外加载荷外，梁的位移w、还与梁的弯曲刚度EI成反比，与跨长l的n次方成正比，因此，提高刚度的措施有：,1）升高EI。,各种钢材E相差不大，主要提高I，在截面面积A不变时，尽可能使面积分布远离中性轴。,如工字形、箱形等截面。,如下图所示结构：,超静定梁:,6-5 简单超静定梁,超静定问题：平衡方程不能完全求解，有多余约束，需列补充方程。,解除多余约束，得到相当系统，根据变形协调条件，列补充方程,列补充方程：,q,A,B,q,l,A,q,A,F,B,B,可分别求出（也可查表）梁在均布载荷和集中力作用下的挠度为,补充方程变为,解得,也可以取支座 A 处阻止梁端面转动的约束作为“多余”约束，解除后可得相当系统,根据原超静定梁端面 A 的转角应等于零的变形相容条件，可由变形协调条件建立补充方程来求解。,可从右向左作出剪力图和弯矩图,A,谢谢！再见！,
