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1、第三篇 特殊函数,本篇主要内容：勒让德多项式及球函数；贝塞尔函数和柱函数.本篇重点：勒让德多项式和贝塞尔函数.本篇特点：加强了思维能力的训练,以及计算机仿真绘图在特殊函数中的应用.,第十九章 勒让德多项式 球函数,19.1 勒让德方程及其解的表示,19.1.1 勒让德方程 勒让德多项式在分离变量法一章中，我们已经知道拉普拉斯方程,（19.1.1）,在球坐标系下分离变量后得到欧拉型常微分方程,和球谐函数方程,（19.2）,(19.1.2)式的解,与半径,无关，故称为球谐函数,，或简称为球函数,球谐函数方程进一步分离变量，令,得到关于,的常微分方程,（19.1.3）,称为,阶连带勒让德方程.,令,
2、和,把自变数从,换为,，则方程（19.1.3）可以化为下列,阶连带勒让德方程,形式的,（19.1.4）,若所讨论的问题具有旋转轴对称性，即定解问题的解与,无关，则,，即有,（19.1.5）,称为,阶勒让德（legendre）方程,同样若记,，,，则上述方程也可写为下列形式的,阶勒让德方程,(19.1.6),1912 勒让德多项式的表示,1.勒让德多项式的级数表示,我们知道：在自然边界条件下，勒让德方程的解,为,（19.1.7）,式中,上式具有多项式的形式，故称,为,阶勒让德多项式勒让德多项式也称为第一类勒让德函数,式（19.1.7）即为勒让德多项式的级数表示,注意到,故可方便地得出前几个勒让德
3、多项式:,勒让德多项式的图形可通过计算机仿真(如MATLAB仿真)得到,计算,，这应当等于多项式,的常数项,如,为,（即为奇数）时，,则,只含奇,数次幂，不含常数项，所以,（19.8）,（即为偶数）时，,则,含有常数项，即,（19.7）中,的那一项，所以,（19.9）,式中记号,而,因此，,2 勒让德多项式的微分表示,（19.1.10）,上式通常又称为勒让德多项式的罗德里格斯（Rodrigues）表示式,下面证明表达式(19.1.10)和（19.1.7）是相同的,【证明】用二项式定理把,展开,把上式对x求导,次凡是幂次,的项在,次求导过程中成为零，所以只需保留幂次,的项，即,的项，应取,，并且
4、注意到,因此有,3.勒让德多项式的积分表示,根据柯西积分公式的高阶导数，并取正方向积分有,容易证明微分表示（19.1.10）也可表示为环路积分形式,（19.1.11）,为,平面上围绕,并取正方向这叫作勒让德多项式的施列夫利积分表示式,点的任一闭合回路，,式（19.1.11）还可以进一步表为下述拉普拉斯积分,(19.1.12),【证明】取,为圆周，圆心在,，半径为,在,上有：,并注意到,代入（19.1.12）得到,这即为勒让德多项式的拉普拉斯积分表示,从该积分还很容易看出,（19.1.13）,利用拉普拉斯积分表示（19.1.12），还可以证明,，,（19.1.14）,【证明】,回到原来的变量,，
5、,，则,如从,19.2 勒让德多项式的性质,19.2.1 勒让德多项式的性质,1.勒让德多项式的零点,对于勒让德多项式的零点，有如下结论：,（i）,的,个零点都是实的，且在,内；,（ii）,的零点与,的零点互相分离,2.奇偶性,根据勒让德多项式的定义式，作代换,容易得到,（19.2.1）,即当,为偶数时，勒让德多项式,为偶函数，,为奇数时,为奇函数,3.勒让德多项式的正交性及其模,不同阶的勒让德多项式在区间,上满足,(19.2.2),其中,当,时满足,，(19.2.3),称为正交性 相等时可求出其模,(19.2.4),下面给出公式（19.2.2），及其模(19.2.4)的证明,【证明】（1）正
6、交性,勒让德多项式必然满足勒让德方程，故有,两式相减，并在-1,1 区间上对x积分，得,因为上面等式左边的积分值为,所以当,时，必然有,根据,成立,（2）模（利用分部积分法证明）,为了分部积分的方便，把上式的,用微分表示给出，则有,注意到,以,为,级零点，,故其,阶导数,必然以,为一级零点，从而上式已积出部分的值为零,再进行,次分部积分，即得,是,次多项式，其,阶导数也就是最高幂项,的,阶导数为,故,再对上式分部积分一次,容易看出已积出部分以,为零点,至此，分部积分的结果是使,的幂次降低一次，,的幂次升高一次，,且积分乘上一个相应的常数因子,继续分部积分（计,次），即得,故勒让德多项式的模为,
7、且有,4.广义傅里叶级数,定理19.2.1 在区间-1,1上的任一连续函数,可展开为勒让德多项式的级数,（19.2.5）,其中系数,(19.2.6),在实际应用中,经常要作代换,此时勒让德方程的解为,，这时有,(19.2.7),其中系数为,（19.2.8）,19.2.2.勒让德多项式的应用（广义傅氏级数展开）,例19.2.1 将函数,按勒让德多项式形式展开.,【解】根据（19.2.5）设,考虑到,，由(19.2.6)显然有,所以,例19.2.2 将函数,展开为勒让德多项式,形式,【解】用直接展开法,令,，则由,我们知道：,可设,考虑到勒让德函数的奇偶性，显然,由,项的系数，显然得出,故有,下面
8、我们给出一般性结论：,结论1：设,为正整数，可以证明：,结论2：根据勒让德函数的奇偶性，若需展开的函数,为奇函数，,则展开式（19.2.5）系数,若需展开的函数,为偶函数，则展开式（19.2.5）系数,例19.2.3 以勒让德多项式为基，在-1,1区间上把,展开为广义傅里叶级数,【解】本例不必应用一般公式，事实上，,是三次多项式（注意,既非奇函数，也非偶函数），,设它表示为,比较同次幂即得到,由此得到,例 19.2.4(p354-355),19.3 勒让德多项式的生成函数（母函数）,19.3.1勒让德多项式的生成函数的定义,如图19.2所示，设在一个单位球的北极放置一带电量为,的正电荷，则在球
9、内任一点,（其球坐标记作,）的静电势为,（19.3.1）,静电势,遵从拉普拉斯方程，且以球坐标系的极轴为对称轴，,因此，,应具有轴对称情况下拉普拉斯方程一般解(19.2.14)的形式，,即,（19.3.2）,首先不妨研究单位球内的静电势分布在球心,，电势应该是有限的，故必须取,（19.3.3）,为确定系数,，在上式中令,，并注意到,则得到,（19.3.4）,将上式左边在,的邻领域上展为泰勒级数,（19.3.5）,比较（19.3.4）和（19.3.5）即知,于是（19.3.3）成为,(19.3.6),若考虑单位球内、球外的静电势分布，则有,（19.3.7）,于（19.3.6）中代入,，即为,（1
10、9.3.8）,因此,或,叫作勒让德多项式的生成函数（或母函数）,19.3.2 勒让德多项式的递推公式,根据勒让德多项式的母函数可以导出勒让德多项式的递推公式,先把（19.3.6）写成,（19.3.9）,对,求导,对上式两边同乘以,，得,（19.3.10）,相反，若对（19.3.8）两边对,求导,上式两边同乘以,，得,将（19.3.8）式代入上式左边得到,比较上式两边,项的系数，得另一含导数的递推公式,将（19.3.9）代入上式左边,对上式，比较两边的,项的系数，得,即,（19.3.11）,上式即为勒让德多项式的一个递推公式,例19.3.1 求,【解】,例 19.3.2,求积分,【解】利用递推公
11、式（19.3.11）,故有,19.4 连带勒让德函数,19.5 球函数,19.5.1球函数的方程及其解,1.球函数方程,根据分离变量法，在球坐标系中将下列亥姆霍兹方程实施分离变量,(19.5.1),式中,令,，,则得到由亥姆霍兹方程实施分离变量,所满足的方程,(19.5.2),与拉普拉斯方程分离变量导出的方程欧拉方程（19.1.1）,(19.5.3),已经有所区别关于(19.5.3)的解在贝塞尔函数部分讨论,而角度部分的解,，满足下列方程,(19.5.4),上式由亥姆霍兹方程实施分离变量所得的方程（19.5.4）与拉普拉斯方程导出的（19.1.2）球函数方程具有相同的形式，仍为球函数（或球谐函
12、数）,球函数方程（19.5.4）再分离变量，令,得到两组本征值问题,（i）,（19.5.5）,本征值为,本征函数为,(ii),(19.5.6),本征值,本征函数,在,区域中求解,，,得到与本征值,相应的本征函数,实际上应由下列两个本征函数之积组成，即为,（19.5.7）,其中,是变量,相应于本征值,的本征函数；,是变量,相应于本征值,（对于确定的,）的本征函数,2.球函数表达式,（1）复数形式的球函数表达式,为了使得(19.5.7)所表示的函数系构成正交归一系，必须添加适当常系数，于是定义,(19.5.8),为球谐函数的本征函数（相应于本征值,，并称它为球函数（球谐函数）表达式,上式（19.5
13、.8）也是复数形式的球函数其中归一化系数,的值后面会给出,线性独立的,阶球函数共有,个,因为对应于,，有一个球函数,；,对应于,则各有两个球函数即,和,根据欧拉公式,，,将复数形式的球函数统一表示为,（19.5.9）,在（19.5.9）之中，独立的,阶球函数仍然是,个,19.5.2 球函数的正交关系和模的公式,1 球函数的正交性,根据,的正交性质,当,时，,根据,的正交性,当,时，,可以得到,的正交性，即当,或,时有,即,（19.5.11）,19.5.4拉普拉斯方程的非轴对称定解问题,例19.5.1 在半径为,球外（,）求解定解问题,【解】在球坐标系下，定解问题即为,【解】令,代入（19.5.22），通过变量分离得到拉普拉斯方程（19.5.22）的一系列特解,其中,都是任意常数,通解为,再代入定解条件,（19.5.26）,利用三角函数和连带勒让德多项式的正交性和归一性，即可算出（19.5.25）中的待定系数,
