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1、,万有引力的应用,学习目标：1.会利用万有引力定律计算天体的质量2理解人造卫星的线速度、角速度、周期与轨道半 径的关系。3能利用人造卫星的运行规律分析、计算有关问题 并能区分人造卫星的发射速度和环绕速度。4知道三个宇宙速度的含义，会推导第一宇宙速度重点难点：利用万有引力定律，求天体的质量、密度、运动周期和运动速度。,一、测算天体的质量和密度,方法与思路：根据围绕“中心天体”运行的行星（或卫星）的运动情况，求出行星（或卫星）的向心加速度。而向心力是由万有引力提供的。这样，利用万有引力定律和圆周运动的知识，可列出方程，导出计算中心天体（太阳或行星）的质量的公式。点击上图链接,1、如何测算天中心体的
2、质量？,解题依据：根据天体表面的重力近似等于天体对物体的万有引力，求中心天体的质量。,条件：已知天体半径r和天体表面的g。求天体的质量,计算公式：,方法一：从中心天体本身出发,以上方法可推广的其它行星的质量测算,方法二：从环绕天体出发,解题依据：向心力向等于万有引力引,条件：质量为m的卫星绕地球做匀速圆 周运动,以上方法可推广的其它行星的质量测算,例1：已知哪组数据，可以测算地球的质量M，引力常数G为已知：A：月球绕地球运动的周期T1及月球中心到地球中心的距离r1。B：地球绕太阳运行的周期T2及地球中心到太阳中心的距离r2。C：人造卫星在地面附近的运行速度v3和运行周期T3。D：地球绕太阳运行
3、的速度v4和及地球中心到太阳中心距离r4。,分析：根据求解中心天体质量的方法，如果知道绕中心天体的行星（卫星）的运动的某些量便可求解，方法是利用万有引力提供向心力，则可由 等分析，知道中心天体表面的重力加速度，则可有由 来分析。答案：A、C,例2、（2006年全国理综）为了研究太阳演化进程，需知道目前太阳的质量，已知地球的半径R=6.4106m，地球质量m=6.01024kg日地中心距离r=1.51011m，地球表面处的重力加速度g=10m/s2,1年约为3.2107s，试估算目前太阳的质量M。(估算结果只保留一位有效数字）,解得：M=21030kg,解：,2、如何测算中心天体的密度？,已知:
4、绕行天体的T绕行 和r近地轨道,注：用测定环绕天体的轨道半径和周期方法来测量天体的质量，只能测中心天体的质量，而不能测定其自身（环绕天体）的质量。,解析：航天飞机绕星球飞行，万有引力提供向心力,可得：,代入数值：,该星平均密度为：,贴近飞行时，,例3：某宇航员驾驶航天飞机到某一星球，他使航天飞机贴近该星球附近飞行一周，测出飞行时间4.5103s，则该星球的平均密度是多少？,测算天体质量的黄金代换公式,已知：g和R，可得,黄金代换公式,R为中心天体的半径,测算中心天体的质量的基本思路：,(2)从环绕天体出发：通过观测环绕天体运动的周期T和轨道半径r;就可以求出中心天体的质量M。,(1)从中心天体
5、本身出发：只要知道中心天体的表面重力加速度g和半径R就可以求出中心天体的质量M。,解卫星的有关问题：在高考试题中，应用万有引力定律解题的知识常集中于两点：,二是地球对物体的万有引力近似等于物体的重力，即：,从而得出(黄金代换，不考虑地球自转),一是天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力。即：,天体上空:,、海王星的发现,1821年，人们通过观测发现天王星的实际轨道与用万有引力理论计算的轨道有误差，引发许多猜想。英国剑桥大学的学生，23岁的亚当斯，经过计算，提出了新行星存在的预言他根据万有引力定律和天王星的真实轨道逆推算，预言了新行星不同时刻所在的位置。,同年，法国的勒维列也算出了同样的结果，
6、并把预言的结果寄给了柏林天文学家加勒。,当晚（1846.3.14），加勒把望远镜对准勒维列预言的位置，果然发现一颗新的行星就是海王星。,二、预测和发现未知天体,相关链接,、冥王星的发现,海王星发现之后，人们发现它的轨道也与理论计算的不一致。于是几位学者用亚当斯和勒维列的方法预言另一颗新行星的存在。,在预言提出之后，1930年，汤博（Tom baugh）发现了这颗行星冥王星。冥王星的实际观测轨道与理论计算的一致，所以人们确认，冥王星是太阳系最外一颗行星了。,1、三大宇宙速度,注意：不同天体的三个宇宙速度数值大小不同，天体质量越大、半径越小其三个宇宙速度值就越大。,地球,最小,最小,2人造卫星的轨
7、道,(1)人造卫星在轨道运行时，其绕地球做匀速圆周运动的向心力由地球对它的万有引力来提供。,(2)卫星绕地球做匀速圆周运动轨道的圆心必与地心重合，即轨道平面经过地心。,(3)轨道形式多种多样：与赤道共面的赤道轨道(含同步轨道)。通过两极点上空的极地轨道。与赤道平面成某一角度的一般圆轨道。,（1）发射速度：指被发射物在地面附近离开发射装置（星箭分离）时的初速度，并且一旦发射后就再无能量补充，被发射物仅依靠自己的初动能克服地球引力上升一定的高度，进入运动轨道。,发射速度与运行速度是两个不同的概念,要发射一颗人造地球卫星，发射速度不能小于第一宇宙速度。若发射速度等于第一宇宙速度，卫星只能“贴着”地面
8、近地运行。如果要使人造卫星在距地面较高的轨道上运行，就必须使发射速度大于第一宇宙速度，即发射速度随着发射高度增加而增大。,3、人造卫星的发射速度和运行速度,（2）运行速度：是指卫星在进入运行轨道后绕地球运动时的线速度。当卫星“贴着”地面运行时，运行速度等于第一宇宙速度。,相关链接,（3）人造卫星的发射速度与运行速度之间的大小关系是,4、人造卫星的运行规律,人造地球卫星问题的常用知识,（r 越大，T 越大）,（r 越大，v 越小）,（r 越大，越小）,（R为地球的半径，h为卫星距地面的高度）,当r轨=R地时，v1=7.9km/s(第一宇宙速度又叫环绕速度）,当r轨=R地时，Tmin85分钟,T卫
9、85分钟,推导方法一：由于卫星在地球附近运行时，卫星做圆周运动的向心力可看作由万有引力来提供，卫星运行的轨道半径近似看作地球半径，根据牛顿第二定律得:,第一宇宙速度（环绕速度）的推导方法,由：,物理意义：圆形轨道半径越大，其运行速度越小。非圆形轨道的线速度不能用上述关系式计算。,如果发射的速度小于第一宇宙速度，卫星将落到地面而不能绕地球运转；,等于这个速度卫星刚好能在地球表面附近作匀速圆周运动(此轨道也叫近地轨道)；这个速度也叫最小发射速度。,推导方法二：把卫星发射到地球附近的轨道，卫星在轨道上做匀速圆周运动，向心力由重力mg提供，卫星运行半径近似看作地球半径，由牛顿第二定律：,说明：在地面上
10、的物体及地面附近的物体包括近地轨道的卫星在通常情况下都认为：,5、人造卫星的超重和失重,何谓超重和失重？,在载人卫星的发射中，在发射升空时，有一段加速运动；在返回地面时，有一段减速运动。这两个过程加速度方向均向上，因而都是超重状态。以人为研究对象，则有：,当卫星进入轨道后，围绕地球做匀速圆周运动，这时，卫星中的人和其它物体均以本身受到的重力作为向心力，即：,由于重力提供向心力，所以处于完全失重状态。在这种情况下，凡是与重力有关的力学现象都会停止发生。因此，在卫星上的仪器，凡是制造原理与重力有关的均不能使用。同理，与重力有关的实验也将无法进行。,加速上升或减速下降,由牛顿第三定律得,6、物体在赤
11、道上空失重的四个重要规律,(1)物体在赤道上空的视重(测量值)等于地球的引力与物体随地球自转所需的向心力之差，即：,(2)物体在赤道上空的失重，即视重的减少量为：,(3)物体在赤道上空完全失重的条件：F视重=0，即：,那么：,(4)地球不因自转而瓦解的最小密度,地球以T=24h的周期自转不发生瓦解的条件：,又由于赤道上物体,赤道上的物体随地球自转所需的向心力，即：,由(1)(2)解得：,试比较两个密度数值大小可知地球会不会瓦解。,地球平均密度=5.518克/立方厘米=5518kg/m3。,7、卫星的变轨,3、不光在近地点、远地点的线速度不等于当地的环绕速度，其它点也不等于环绕速度，计算方法，用
12、机械能守恒去计算。,4、开始变轨时，如果减小速度，则该点为远地点。,8、同步卫星与地球相对静止的人造卫星,(2)所有同步卫星都具有如下特点：a.周期与地球自转的周期相同。T24h。b.轨道一定，赤道上方高度h约36000km的轨道上。c.向心加速度一定，加速度a约为0.23m/s2。d.角速度与地球的自转角速度相同。e.环绕的线速度v大小相等（约为3.1km/s）,(1)地球同步卫星满足的条件：,所有的同步卫星只能分布在赤道上方的一个确定轨道上。,所有的同步卫星的轨道高度为一个定值。,【说明】为了同步卫星之间不互相干 扰，大约3左右才能放置1 颗，这样地球的同步卫星只 能有120颗。可见，空间
13、位置 也是一种资源。同步卫星主要用于通讯。要 实现全球通讯，只需三颗同 步卫星即可。,9、极地通讯卫星、一般的通讯卫星,T随着r的增大。,近地卫星r轨=R地,10.卫星问题小结：,总体思路：,所有卫星的轨道中心与地心重合,例4：关于第一宇宙速度的说法，下列说法正确的是：A：它是人造地球卫星绕地球飞行的最小速度。B：它是近地圆形轨道上人造地球卫星的运行速度。C：它是使卫星进入近地圆形轨道的最小发射速度。D：它是卫星在椭圆轨道上运行时在近地点的速度。,答案：、,例5：已知月球质量是地球质量的1/81，月球的半径是地球半径1/3.8，问:(1)在月球和地球表面附近以同样的初速度竖直上抛同样的物体时上
14、升的最大高度之比是多少？(2)在距离月球和地球表面 相同高处(此高度较小)，以同样的初速度分别水平抛出一个相同的物体，物体水平射程之比是多少？,解：(1)在月球和地球表面附近竖直上抛的物体都做匀减速运动，其上升的最大高度分别为：,式中，g月和g 地是月球表面和地球表面附近的重力加速度，根据万有引力定律得：,于是得上升的最大高度之比为：,解：(2)设抛出点的高度为h，初速度为V0，在月球和地球表面附近的平抛物体在竖直方向做自由落体运动，从抛出到落地所用的时间分别为：,在水平方向做匀速直线运动，其水平射程之比为：,答案,例6：已知月球质量是地球质量的1/81，月球的半径是地球半径1/3.8，问:(
15、1)在月球和地球表面附近以同样的初速度竖直上抛同样的物体时上升的最大高度之比是多少？(2)在距离月球和地球表面 相同高处(此高度较小)，以同样的初速度分别水平抛出一个相同的物体，物体水平射程之比是多少？,例7、一探空箭进入绕太阳的近乎圆形的轨道运行，轨道半径是地球绕太阳公转半径的9倍，则探空火箭绕太阳公转周期为多少年？,(1)火箭绕太阳公转，则有：,解得：,(2)地球绕太阳公转，则有：,解得：,答案：27年,解：方法一：设火箭质量为m1，火箭绕太阳转的轨道半径为，地球质量为m2，地球绕太阳转的轨道半径为r，则有：,解法二：由于地球绕太阳公转周期为1年，约为：3.2107s,答案：27年,探空箭
16、绕太阳公转的周期为：,探空箭也是绕着太阳公转，由开普勒第三定律得：,例7、一探空箭进入绕太阳的近乎圆形的轨道运行，轨道半径是地球绕太阳公转半径的9倍，则探空火箭绕太阳公转周期为多少年？,例8、地球绕太阳公转，轨道半径为r，周期为T。月球绕地球运行轨道半径为，周期为t，则太阳与地球质量之比为多少？,解：地球绕太阳公转，太阳对地球的吸引力提供向心力，则：,月球绕地球公转，地球对月球的吸引力提供向力，则：,太阳与地球质量之比为：,例9：人造地球卫星的运行周期可以小于80分钟吗？,由周期公式可以看出：卫星轨道半径r越小，运转周期也越小，当卫星沿地球表面附近运动时，即：rR地6.4106 m，周期最短，
17、此时,方法二：根据卫星运动的轨道半径进行讨论，假设卫星的周期为80min，则轨道半径由下式可得。,显然不能发射这样的卫星。,由于,整理得：,显然，T大于80 min，所以想发射一颗运转周期小于80 min的卫星是不可能的。,例10:金星的半径是地球的0.95倍，质量为地球的0.82倍，金星的第一宇宙速度是多大?,解得V1约等于7.3km/s,解:设地球半径为R，金星的半径为r=0.95R，地球质量为M，金星质量=0.82m，地球的第一宇宙速度为7.9km/s。金星的第一宇宙速度为v1，则有：,例11:某星球“一天”的时间是T6h，用弹簧测力计在星球的“赤道”上比在“两极”处测同一物体的重力时读
18、数小10%，设想该星球自转的角速度加快，使赤道上的物体自动飘起来，这时星球的“一天”是多少小时？,解：当物体在该星球的“赤道”时有,当物体在该星球的“两极”时有,以题意有,当该星球自转的角速度加快到，使赤道上的物体自动飘起来，即此时物体与地面无相互作用力，此时物体受到星球的万有引力充当向心力，故有；,联立(1)(2)解得：,例12：当人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动时，下列说法正确是（）A在同一轨道上，卫星质量越大，运动速度越大B同质量的卫星，轨道半径越大，向心力越大C轨道半径越大，运动的向心加速度越小，周期越大D轨道半径越大，运动速度、角速度越大,C,提示,例13：如图，A、B、C是在地球大
19、气层外圆形轨道上运行的三颗人造地球卫星，下列说法正确的是（）A：B、C的线速度相等，且大于A的线速度。B：B、C的周期相等，且大于A的周期。C：B、C的向心加速度相等，且大于A的向心加速度。D：若C的速率增大可追上同一轨道的B,答案：,例14：如图所示，某次发射同步卫星时，先进入一个近地的圆轨道，然后在P点点火加速，进入椭圆形转移轨道（该椭圆轨道的近地点为近地圆轨道上的P，远地点为同步轨道上的Q），到达远地点时再次自动点火加速，进入同步轨道。设卫星在近地圆轨道上运行的速率为v1，在P点短时间加速后的速率为v2，沿转移轨道刚到达远地点Q时的速率为v3，在Q点短时间加速后进入同步轨道后的速率为v4
20、。试比较v1、v2、v3、v4的大小，并用大于号将它们排列起来。,解：根据题意在P、Q 两点点火加速过程中，卫星速度将增大，所以有v2v1、v4 v3，,而v1、v4是绕地球做匀速圆周运动的人造卫星的线速度，由于它们对应的轨道半径r1r4，所以v1v4。,卫星沿椭圆轨道由PQ 运行时，由于只有重力做负功，卫星机械能守恒，其重力势能逐渐增大，动能逐渐减小，因此有v2v3,把以上不等式连接起来，可得到结论：v2 v1 v4 v3,例15（2003年高考题）根据美联社2002年10月7日报道，天文学家在太阳系的9大行星之外，又发现了一颗比地球小得多的小行星，而且还测得它绕太阳公转的周期约为288年。
21、若把它和地球绕太阳公转的轨道都看做圆,问：它与太阳的距离约是地球与太阳距离的多少倍（最后结果可用根式表示）？,解：方法一：设太阳的质量为M；地球的质量为m0,绕太阳公转的周期为T0，太阳的距离为R0，公转角速度为0；新行星的质量为 m，绕太阳公转的周期为T，与太阳的距离为R，公转角速度为，根据万有引力定律和牛顿定律，得：,由以上各式得：,已知 T=288年，T0=1年，得：,例15（2003年高考题）根据美联社2002年10月7日报道，天文学家在太阳系的9大行星之外，又发现了一颗比地球小得多的小行星，而且还测得它绕太阳公转的周期约为288年。若把它和地球绕太阳公转的轨道都看做圆,问：它与太阳的
22、距离约是地球与太阳距离的多少倍（最后结果可用根式表示）？,解：方法二：设地球绕太阳公转的周期为T0，地球与太阳的距离为R0，新行星绕太阳公转的周期为T，与太阳的距离为R，根据开普勒第三定律，得：,由上式整理得：,已知 T=288年，T0=1年，得：,例16：太空中有一颗绕恒星做匀速圆周运动的行星，此行星上一昼夜的时间为6h，在行星的赤道处用弹簧秤测量物体的重力读数比在两极时测量的读数小10%，已知引力常数：求此行星的平均密度。,解：设在赤道和两极处测得的读数分别为F1、F2，,在赤道上物体平衡，有：,在两极上物体平衡，有：,答案：,四、例题精讲：链接例题,五、课堂练习：链接习题,六、课程小结：,、三种宇宙速度：v1=7.9km/s，v2=11.2 km/s，v3=16.7 km/s,、处理天体运动问题的关键是：万有引力提供做匀速圆周运动所需的向心力。,
