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1、误差、不确定度与数据处理,徐志君,测量永远伴随有误差,误差分析、不确定度计算以及数据处理贯穿实验的过程始终,一、测量与误差的基本概念,1 测量和单位,结果：数值单位,2 测量分类,何谓测量？,比较,3 测量的误差,4.误差的种类,系统误差:重复测量，误差按某一规律变化，可预测、可控制,随机误差：不可预测、不可控制，但服从一定的统计规律,仪器误差：仪器的结构和标准不完善或使用不当引起的误差,4.1系统误差,1.系统误差源,由于偏心，使之用弧长反映角度 时产生的系统误差。如：这是由偏心造成的。,偏心差,理论与方法误差：实验理论和实验方法不完善，所引用的理论与实验条件不符等产生的误差,条件：,理论：
2、,方法：,用V作为VR的近似值时，求:,人为：实验人员的生理或心理特点所造成的误差,环境,市电的干扰,输入,光点检流计,接近时，静电干扰，使光斑移动等,小结,表现出恒偏大、恒偏小或周期性的特点（有规律性）。,增加测量次数不能减少系统误差,只能从方法、理论、仪器等方面的改进与修正来实现。,2.系统误差的处理原则,查出系统误差源通过改进实验方法和实验装置等方法对系统误差加以补偿、抵消或减少在数据处理中对测量结果进行理论上修正，以消除或尽可能减小系统误差对实验结果的影响,对残余系统误差，根据具体情况作出估算,4.2 随机（偶然）误差,1.随机误差源：不确定,2.统计规律性：随机误差对任一次测量结果的
3、影响具有随机性特点。但在多次测量中表现出确定的规律即统计规律。可用来对偶然误差的影响程度作出客观的评价。,例如：用秒表测单摆的周期T，将各测量值出现的次数列表如下。,n=30次,再测n=30次,n=60 次,再测n=60 次,N,单峰性,有界性,对称性,大部分数据存在于确定的范围内，该范围可评价偶然误差的大小,抵偿性,再测N,测量结果的最佳值,：误差限,将概率P用概率密度f（x）来表示，则有,标准偏差决定正态分布，表征测量数据的精密度,3.随机误差的估算-标准差,任何测量都不可能做无限次，只能是有限次。如对 x 量测量了n 次得一测量列:x1,x2,xn,可作为随机误差的估算。,由测量列决定的
4、标准差为：,测量列平均值的标准偏差,是用测量列的平均值 作为真值 的最佳估计值时，与 两者之间的偏离程度。,不确定度的概念 表示由于测量误差的存在而对被测量值不能肯定的程度，它表征了被测量量的真值所处的量值范围的评定。,2.测量结果的表示（三要素）,二.测量的不确定度,物理意义：,待测物理量的真值以一定的置信概率P落在上述范围内（置信区间）,置信区间与置信概率存在单一关系:,置信概率P越大，置信区间越大，或反之则越小,A 类（遵从统计分布）,B 类（不遵从统计分布）,总的不确定度,3.不确定度分类及计算(P接近100%）,4.相对不确定度,比较测量结果精度的高低,三、数据处理不确定度的计算,将
5、得到的数据整理、计算得出有关结果,并对结果的好坏作出客观地评价。是整个实验中最后一个关键环节。,1.1 单次测量,测量结果表示为：,1.直接测量量的数据处理,1.2 多次测量,对测量列：x1,x2,xn,1.3 直接测量量数据处理举例,1.某长度测5次,分别为29.18 29.27 29.25 29.26 29.24(cm)I=0.02cm.求测量结果。,不确定度保留1位,且与平均值的最后一位对齐.,中间可多取一位,最后取一位,2.间接测量量的数据处理,2.1 测量式为单元函数,测量式,结果,直接测量量,最佳值,间接测量量不确定度,例：,2.2 测量式为多元函数,各直接测量量的误差对间接测量量
6、误差的影响,方和根合成得间接测量结果的总误差：,最佳值,结果：,例：,2.3 测量式为乘除形式,取自然对数，将乘除化为加减,求导：,微分改为不确定度，然后进行方和根合成，得,例：,2.4 间接测量量数据处理举例,（中间过程可多取几位）,结果对齐,四.有效数字,定义：有效数字=准确数字+欠准数位,不确定位,误差所在位,测量结果只能写到开始有误差、不确定的那一位,若将上例的结果写为,1.有效数字的定义,2.有效数字的特点,（1）位数与小数点的位置无关。,35.76cm=0.3576m=0.0003576km,（2）0 的地位,0.0003576 3.005 3.000 都是四位。,（3）科学计数法
7、,（4）有效数字位数越多，相对不确定度越小,3.有效数字的确定,2.1 由不确定度决定有效数字,不确定度有效数字只取一位，测量结果最后一位与不确定度对齐.,单次测量结果有效数字由仪器误差或估计的不确定度决定.,多次测量结果或间接测量结果，先计算不确定度，再由不确定度定有效数字位数.,2.2 没有给出不确定度时有效数字的确定,对直接测量结果，由仪器最小分度值+估读一位决定,2.3 对间接测量结果，由参与运算的各直接测量结果的有效数字决定,1加减：加减运算结果的不确定度总是大于参与运算分量的不确定度，所以：结果与末位数最高者（不确定度最大者）对齐。,2乘除：乘除运算结果的相对不确定度总是大于参与运
8、算分量的相对不确定度，所以结果一般可与有效位数最少者（相对不确定度最大）相同。,3幂运算：对数（指数）、三角函数(反三角）不改变有效数字位数。,以上规则有例外,1.列表法,五、常用数据处理方法,（1）各栏目均应标注名称和单位（2）列入表中的主要应是原始数据，表格中要尽量使人看到数据处理的方法和思路，而不能把列表变成简单的数据堆积。（3）栏目的顺序应充分注意数据的联系和计算的程序，力求条理性和简明化。（4）必要的附加说明，如测量仪器的规格、测量条件、表格名称等等。,能形象直观地表示出物理量之间的变化规律 求出实验的某些结果，如斜率和截距。,内插法可从曲线读取没有进行测量的量值。用外推法可从曲线延
9、伸部分估读出原测量数据范围以外的量值。发现实验中个别的测量大误差，同时，作图连线对数据点可起到平均的作用 把某些复杂的函数关系，通过一定的变换用直线图表示出来,2.作图法,作图法的功能,作图规则,选用合适的坐标纸：毫米方格纸 坐标轴的比例与标度：横轴代表自变量，纵轴代表因变量，并标明所代表的物理量及其单位：适当选取横轴和纵轴的比例和坐标起点；图上实验点的坐标读数的有效数字位数不能少于实验数据的有效数字位数。曲线的标点与连线 写明图线特征和名称。,求直线的斜率和截距,在直线上选相距较远的两新点A.B，标明位置及坐标A(x1 y1),B(x2 y2)由此求得斜率。,3.逐差法,相邻项逐差，可检验测量可靠性,由 求算术平均及标准偏差，相当于多次测量求平均。所求得的平均值相当于X变化X*n时Y的变化值。,Y=a+bX,用逐差法可求直线方程斜率和截距,4.最小二乘法,是从统计的角度处理数据，并能得到测量结果不确定度的一种方法。,满足线性关系 Y=a+bX,可由测量数据用统计的方法求斜率和截距以及所拟合的直线方程与测量结果的相关性,由于每次测量均有误差，使,在所有误差平方和 为最小的条件下，得到的方程Y=a+bX 的方法叫最小二乘法。,使之满足 的条件：,得出。,应由,令,线性相关系数,
