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1、一、二阶线性微分方程解的结构,第四模块微积分学的应用,第十三节二阶常系数线性微分方程,二、二阶常系数线性微分方程的解法,三、应用举例,一、二阶线性微分方程解的结构,二阶微分方程的如下形式,y+p(x)y+q(x)y=f(x),称为二阶线性微分方程，简称二阶线性方程.,f(x)称为自由项，当 f(x)0 时，称为二阶线性非齐次微分方程，,简称二阶线性非齐次方程.,当 f(x)恒为 0 时，称为二阶线性齐次微分方程，,简称二阶线性齐次方程.,方程中 p(x)、q(x)和 f(x)都是自变量的已知连续函数.,这类方程的特点是：右边是已知函数或零，左边每一项含 y 或 y 或 y，,且每项均为 y 或
2、 y 或 y 的一次项，,例如 y+xy+y=x2 就是二阶线性非齐次方程.,而 y+x(y)2+y=x2 就不是二阶线性方程.,定理 1如果函数 y1 与 y2 是线性齐次方程的两个解，,y=C1 y1+C2 y2,仍为该方程的解，,证因为 y1 与 y2 是方程 y+p(x)y+q(x)y=0 的两个解，,与,所以有,其中 C1，C2 是任意常数.,则函数,于是有,y+p(x)y+q(x)y,=0,所以 y=C1y1+C2y2 是 y+p(x)y+q(x)y=0 的解.,定义设函数 y1(x)和 y2(x)是定义在某区间 I 上的两个函数，,k1 y1(x)+k2 y2(x)=0,不失一般
3、性，,考察两个函数是否线性相关，,我们往往采用另一种简单易行的方法，即看它们的比是否为常数，,事实上，当 y1(x)与 y2(x)线性相关时，有 k1 y1+k2 y2=0，,其中 k1,k2 不全为 0，,如果存在两个不全为 0 的常数 k1和 k2，,使,在区间 I 上恒成立.,则称函数 y1(x)与 y2(x)在区间 上是线性相关的，否则称为线性无关.,即 y1 与 y2 之比为常数.,反之，若y1 与 y2 之比为常数，,则 y1=l y2，即 y1-l y2=0.,所以 y1 与 y2 线性相关.,因此，如果两个函数的比是常数，则它们线性相关；,例如函数 y1=ex，y2=e-x，,
4、所以，它们是线性无关的.,如果不是常数，则它们线性无关.,定理 2如果函数 y1 与 y2 是二阶线性齐次方程 y+p(x)y+q(x)y=0 的两个线性无关的特解，,y=C1 y1+C2 y2,是该方程的通解，,证因为 y1 与 y2 是方程 y+p(x)y+q(x)y=0 的解，,所以，由定理 1 知 y=C1 y1+C2 y2 也是该方程的解.,又因为 y1 与 y2 线性无关，即 y1 与 y2 之比不为常数，,故C1 与C2不能合并为一个任意常数，,因此 y=C1 y1+C2 y2 是二阶线性齐次方程的通解.,则,其中 C1,C2为任意常数.,所以它们中任一个都不能用另一个(形如 y
5、1=ky2 或 y2=k1 y)来表示.,定理 3如果函数 y*是线性非齐次方程的一个特解，,y=Y+y*，,是线性非齐次方程的通解.,证因为 y*与 Y 分别是线性非齐次方程 y+p(x)y+q(x)y=f(x),和线性齐次方程 y+p(x)y+q(x)y=0 的解，,所以有,y*+p(x)y*+q(x)y*=f(x)，,Y+p(x)Y+q(x)Y=0.,Y 是该方程所对应的线性齐次方程的通解，,则,又因为 y=Y+y*，,y=Y+y*，,所以,y+p(x)y+q(x)y,=(Y+y*)+p(x)(Y+y*)+q(x)(Y+y*),=(Y+p(x)Y+q(x)Y)+(y*+p(x)y*+q(
6、x)y*),=f(x).,求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤为：,(1)求线性齐次方程 y+p(x)y+q(x)y=0 的线性无关的两个特解 y1 与 y2，,得该方程的通解 Y=C1 y1+C2 y2.,(2)求线性非齐次方程 y+p(x)y+q(x)y=f(x)的一个特解 y*.,那么，线性非齐次方程的通解为 y=Y+y*.,又 Y 是二阶线性齐次方程的通解，它含有两个任意常数，,故 y=Y+y*中含有两个任意常数.,即 y=Y+y*是线性非齐次方程 y+p(x)y+q(x)y=f(x)的通解.,这说明函数 y=Y+y*是线性非齐次方程的解，,y+p(x)y+q(x)y=f1(x)+f2(
7、x)，,y+p(x)y+q(x)y=f1(x)，,和,y+p(x)y+q(x)y=f2(x),定理 4设二阶线性非齐次方程为,的特解，,证因为 y1*与 y2*分别是 与 的特解，,y1*+p(x)y1*+q(x)y1*=f 1(x)，,与,y2*+p(x)y2*+q(x)y2*=f 2(x).,于是有,=f 1(x)+f 2(x)，,所以有,=y1*+p(x)y1*+q(x)y1*,+y2*+p(x)y2*+q(x)y2*,即 y1*+y2*满足方程，,二、二阶常系数线性微分方程的解法,如果二阶线性微分方程为,y+py+qy=f(x)，,其中 p、q 均为常数，,则称该方程为二阶常系数线性微
8、分方程.,设二阶常系数线性齐次方程为,y+py+qy=0.,考虑到左边 p，q 均为常数，,我们可以猜想该方程具有 y=erx 形式的解，其中 r 为待定常数.,将 y=rerx,y=r2erx 及 y=erx 代入上式，,erx(r2+pr+q)=0.,1.二阶常系数线性齐次方程的解法,由于erx 0，因此，只要 r 满足方程,r2+pr+q=0，,即 r 是上述一元二次方程的根时，,y=erx 就是式的解.,方程称为方程的特征方程.,特征方程根称为特征根.,得,1 特征方程具有两个不相等的实根 r1 与 r2，,2 特征方程具有两个相等的实根，,这时，由特征根可得到常系数线性齐次方程的一个
9、特解 y1=erx.,还需再找一个与 y1 线性无关的特解 y2，,为此，设 y2=u(x)y1，,其中 u(x)为待定函数.,将 y2 及其一阶、二阶导数 y2=(uerx)=erx(u(x)+ru(x)，,y2=erx(u(x)+2ru(x)+r2u(x)，代入方程 y+py+qy=0 中，得,因而它的通解为,所以 y1 与 y2 线性无关，,都是 的解，,即 r1 r2.,那么，这时函数,即,注意到 是特征方程的重根，,所以有 r2+pr+q=0,及 2r+p=0.,且 erx 0，,因此只要 u(x)满足,则 y2=uerx就是 式的解，,为简便起见，取方程 u(x)=0 的一个解 u
10、=x，,于是得到方程 且与 y1=erx 线性无关的解 y2=xerx.,因此，式的通解为,3 特征方程具有一对共轭复根 r1=a+ib 与 r2=a ib.,这时有两个线性无关的特解 y1=e(a+ib)x 与 y2=e(a-ib)x.,这是两个复数解，,为了便于在实数范围内讨论问题，,我们再找两个线性无关的实数解.,由欧拉公式,(这公式我们将在无穷级数章中补证)，可得,于是有,由定理 1 知，以上两个函数 eax cosbx 与 eax sinbx均为 式的解，,且它们线性无关.,因此，这时方程的通解为,上述求二阶常系数线性齐次方程通解的方法称为特征根法，其步骤是：,(1)写出所给方程的特
11、征方程；,(2)求出特征根；,(3)根据特征根的三种不同情况，写出对应的特解，并写出其通解.,例 1求方程 y-2y-3y=0 的通解.,解该方程的特征方程为 r2-2r 3=0,它有两个不等的实根 r1=-1，r2=3,其对应的两个线性无关的特解为 y1=e-x 与 y2=e3x,所以方程的通解为,例 2求方程 y-4y+4y=0 的满足初始条件 y(0)=1，y(0)=4 的特解.,解该方程的特征方程为 r2-4r+4=0，,求得,将 y(0)=1，y(0)=4 代入上两式，得 C1=1，C2=2，,y=(1+2x)e2x.,其对应的两个线性无关的特解为 y1=e2x 与 y2=xe2x，
12、,所以通解为,因此，所求特解为,它有重根 r=2.,例 3求方程 2y+2y+3y=0 的通解.,解该方程的特征方程为 2r2+2r+3=0，它有共轭复根,对应的两个线性无关的解为,所以方程的通解为,例 4求方程 y+4y=0 的通解.,解该方程的特征方程为 r2+4=0，它有共轭复根 r1,2=2i.即a=0，b=2.,对应的两个线性无关的解 y1=cos 2x.,y2=sin 2x.,所以方程的通解为,2.二阶常系数线性非齐次方程的解法,1 自由项 f(x)为多项式 Pn(x).,设二阶常系数线性非齐次方程为,y+py+qy=Pn(x),其中 Pn(x)为 x 的 n 次多项式.,当原方程
13、 中 y 项的系数 q 0 时，k 取 0；,当 q=0，但 p 0 时，,k 取 1；,当 p=0，q=0 时，k 取 2.,因为方程中 p、q 均为常数且多项式的导数仍为多项式，,所以可设 式的特解为,其中 Qn(x)与 Pn(x)是同次多项式，,例 5求方程 y-2y+y=x2 的一个特解.,解因为自由项 f(x)=x2 是 x 的二次多项式，,则,代入原方程后，有,且 y 的系数 q=1 0，取 k=0.,所以设特解为,比较两端 x 同次幂的系数，有,解得,A=1，B=4，C=6.,故所求特解为,例 6求方程 y+y=x3 x+1 的一个特解.,解因为自由项 f(x)=x3 x+1 是
14、一个 x 的三次多项式，,则,代入原方程后，有,且 y 的系数 q=0，p=1 0，取 k=1.,所以设方程的特解为,比较两端 x 同次幂的系数：,解得,故所求特解为,2 自由项 f(x)为 Aeax 型,设二阶常系数线性非齐次方程为,y+py+qy=Aeax，,其中 a，A 均为常数.,由于 p，q 为常数，且指数函数的导数仍为指数函数，,其中 B 为待定常数，,当 a 不是 式所对应的线性齐次方程的特征方程 r2+pr+q=0 的根时，取 k=0；,当 a 是其特征方程单根时，取 k=1；,当 是其特征方程重根时，取 k=2.,因此，我们可以设 的特解,例 7求方程 y+y+y=2e2x
15、的通解.,解a=2 它不是特征方程 r2+r+1=0 的根，取 k=0，,则,代入方程，得,故原方程的特解为,所以，设特解为,例 8求方程 y+2y-3y=ex 的特解.,解a=1 是特征方程 r2+2r-3=0 的单根，取 k=1，,则,代入方程，得,故原方程的特解为,所以，设特解为,3 自由项 f(x)为 eax(Acos wx+Bsin wx)型,设二阶常系数线性非齐次方程为,y+py+qy=eax(Acos wx+Bsin wx)，,其中 a，A，B 均为常数.,由于 p，q 为常数，且指数函数的各阶导数仍为指数函数，,正弦函数与余弦函数的导数也总是余弦函数与正弦函数，,因此,我们可以
16、设 有特解,其中 C，D 为待定常数.,取 k=0，,是根时，,取 k=1，,代入 式，求得 C 及 D.,当 a+wi 不是 式所对应的齐次方程的特征方程的根时，,例 9求方程 y+3y-y=ex cos 2x 的一个特解.,解自由项 f(x)=ex cos 2x 为 eax(Acoswx+Bsinwx)型的函数，,则,且 a+wi=1+2i，它不是对应的常系数线性齐次方程的特征方程 r2+3r 1=0 的根，,取 k=0，所以设特解为,代入原方程，得,比较两端 cos 2x 与 sin 2x 的系数，得,解此方程组，得,故所求特解为,例 10求方程 y+y=sin x 的一个特解.,解自由
17、项 f(x)=sin x 为 eax(Acoswx+Bsinwx)型的函数，且 a=0，w=1，,则,代入原方程，得,且 a+wi=i 是特征方程 r2+1=0 的根，,取 k=1，所以，设特解为,比较两端 sinx 与 cosx 的系数，得,故原方程的特解为,而对应齐次方程 y+y=0 的通解为,Y=C1cosx+C2sinx.,故原方程的通解为,例 11方程 y+4y=x+1+sinx 的通解.,解自由项 f(x)=x+1+sinx可以看成 f1(x)=x+1 和 f2(x)=sin x 之和，,y+4y=x+1，,y+4y=sin x.,和,方程 的特解易求得，,设方程 的特解为,的特解
18、.,所以分别求方程,代入，得,3Asin x=sin x.,所以,得原方程的特解,原方程所对应的线性齐次方程为 y+4y=0，其通解为,Y=C1cos 2x+C2sin 2x，,故原方程的通解为,三、应用举例,例 12 弹簧振动问题,设有一个弹簧上端固定，下端挂着一个质量为 m 的物体，,当弹簧处于平衡位置时，物体所受的重力与弹性恢复力大小相等，方向相反，,设给物体一个初始位移 x0 初速度 v0，,则物体便在其平衡位置附近上下振动.,已知阻力与其速度成正比，,试求振动过程中位移 x 的变化规律.,物体在振动过程中，受到两个力的作用：,ma=-kx mv,其中 a 为加速度，,v 为速度，,解
19、 建立坐标系，平衡位置为原点,铅垂方向为 x 轴的正向，则物体位移 x 是时间 t 的函数 x=x(t).,根据牛顿第二定律 F=ma，知,负号表示阻力 f2 与速度 v 方向相反，,其中 m 为比例系数大于 0(或称阻尼系数)，,阻力 f2 与速度 v 成正比，f2=-mv,负号表示弹性恢复力与位移 x 方向相反；,其中 k 为弹性系数大于 0，,由胡克定律知，f1=-kx，,弹性恢复力 f1 与阻力 f2，,则上式方程可表示为,称为振动的微分方程，,是一个二阶常系数线性齐次方程，,它的特征方程为 r2+2nr+w2=0，,其根为,那么，上式变为,这里 n，w 为正常数，,由题意列出初始条件,于是，上述问题化为初值问题：,下面分三种情况来讨论,1 大阻尼情形，即 n w.,是两个不相等的实根.所以方程的通解为,2 临界阻尼情形，即 n=w.,这时，特征根 r1=r2=-n，所以方程的通解为,3 小阻尼情形，即 n w.,这时，特征根为共轭复数,所以方程的通解为,上式也可写成,对于 1，2,情形，x(t)都不是振荡函数，,且当 t+时，x(t)0，,即物体随时间 t 的增大而趋于平衡位置.,对于 3 的情形，虽然物体的运动是振荡的，,但它仍随时间 t 的增大而趋于平衡位置，,总之，这一类振动问题均会因阻尼的作用而停止，,称为弹簧的阻尼自由振动.,
