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1、万物皆数 毕达哥拉斯,方法就是把我们应注意的事物进行适当的整理和排列.R.Descartes,数学实验,个人住房抵押贷款及其它金融问题,上海交大数学科学学院,实验目的,介绍差分方程,复习：数列及其极限、线性代数方程组、矩阵及其运算、方程的求根,运用 Matlab 进行迭代运算、求根、矩阵等运算,学习相关问题建模,实际案例,1998年12月，中国人民银行公布了新的存、贷款利率水平,其中贷款利率如下表所列:,中国人民银行再次调整存、贷款利率,贷款期限半年 1年 3年 5年 5年以上利率/6.12 6.39 6.66 7.20 7.56,(当贷款期处于表中所列相邻年限之间时，利率为对应相邻两数中较大
2、者.),上海商业银行对个人住房商业性贷款利率作出相应调整，公布新的利率表和还款表,上海个人住房商业性贷款利率再次降低,个人住房商业抵押贷款年利率表 贷款期限 1年 2年 3年 4年 5年 利率（）6.120 6.255 6.390 6.525 6.660,个人住房商业抵押贷款(万元)还款表 贷款期 年 1 2 3 4 5 月 12 24 36 48 60月还款额 到期一次还清 444.356 305.9896 237.2649 196.4118本息总额 10612.0 10664.54 11015.63 11388.71 11784.71,提出问题,个人住房商业抵押贷款年利率表和个人住房商业抵
3、押贷款还款表是如何根据中央银行的贷款利率水平制定的？,分析一下年利率和月还款额表,贷款期限 1年 2年 3年 4年 5年利率（）6.120 6.255 6.390 6.525 6.660贷款期 年 1 2 3 4 5 月 12 24 36 48 60月还款额 到期一次还清 444.356 305.9896 237.2649 196.4118本息总额 10612.0 10664.54 11015.63 11388.71 11784.71,建立模型与求解,则由Ak 到Ak+1，应有 Ak+1-AkrAk-m,Ak+1(r1)Ak-m(k=0,1,),其中 r 为月利率 r 0.06255/120.
4、0052125,设贷款后第k 个月时欠款余数为Ak,月还款额m 元,尝试自己推导,表达式,AkA0(1+r)k(1+r)k1m/r,作业1,即得模型,A010000,k24,A24=0，r0.0052125,MA0(1+r)k r/(1+r)k1,考虑二年期情况：,利用Matlab,function m2_0(R,k)A0=10000;r=R/12;m=A0*(1+r)k*r/(1+r)k-1),可以验证还款表的各项数据,年利率如何得到,比较央行公布贷款利率与上海住房商业贷款，有数字相同：6.12、6.66，年限不同 优惠,中间年限的利率如何得出(线性插值),任务1：制定住房商业性贷款利率表和
5、还款表,还款周期越短越好吗,如果逐年还款，对二年期贷款用公式(r应为年利率)算得年还款额，5473.867元,本息总额10947.63元，比逐年还款本息总额10664.54元多,任务4：讨论还款周期问题,任务2,请自己到银行了解最新住房贷款利率,3年：6.65 5年：6.90,半年：6.1 1年：6.56,试制作一张为期120或30年的贷款利率,5年以上：7.10,表和还款表,参考数据：2011年的上海某银行住房贷款利率,其它金融或经济问题,养老保险,某保险公司的一份材料指出：在每月交费200元至60岁开始领取养老金的约定下，男子若25岁起投保，届时月养老金2282元；若35岁起投保，月养老金
6、1056元；若45岁起投保，月养老金420元.,问题,交保险费所得利率如何？(假定投保人所得完全由其交款及利息产生),(注意：显然结果依于投保人寿命),累计总额为Fk，那么易得到数学模型为分段表示的,Fk+1=Fk(1+r)p,k=0,1,NFk+1=Fk(1+r)q,k=N+1,M,其中p、q分别为60岁前所交月保险费和60岁起所领月养老金的数目(元)，r是所交保险金获得的利率，N,M分别是自投保起至停交保险费和至停领养老金的时间(月).显然 M 依赖于投保人的寿命,取 M=75(岁)（统计平均值）,以25岁起投保为例,则有 P=200,q=2282;N=420,M=600,设投保人在投保后
7、第k个月所交保险费及利息的,差分方程,可推出差分方程的解(自己推导一下),Fk=F0(1+r)k(1+r)k1 p/r,k=0,1,N Fk=FN(1+r)k N(1+r)k1 q/r,k=N+1,M,注意 F0=FM=0，消去FN，,(1+r)M(1+q/p)(1+r)MN+q/p 0,记 x 1+r，代入数据 x60012.41x18011.410,(Newton 法,方程求根),作业2,使用Matlab,交保险费所得月利率为 0.00485 年利率为 0.0582,function y=m2_1(x)M=600;N=420;p=200;q=2282;y=x.M-(1+q/p)*x.(M-
8、N)+q/p;,制作m文件,format long g fsolve(m2_1,1.01),键入,任务 3 一个购房贷款的比较,房产商介绍的一家金融机构提出：贷款100万元，每半月还款4403.3元,22年还清,不过由于中介费手续费等原因，贷款时要预付40000元.,小李夫妇曾经准备申请商业贷款100万元用于购置住房，每月还款8806.6元，25年还清.,小李考虑，虽然预付费用不少，可是减少三年还款期意味着减少还款近3 2万元，而每月多跑一趟，那不算什么.这机构的条件似乎还是蛮优惠的.,试分析情况是否这样？,某保险公司的推出结合养老的寿险计划，例子为：若40岁的男性投保人每年交保险费1540元
9、，交费期20年至60岁,任务5：一个人寿保险计划的利率分析,试分析：若该投保人的寿命为76岁，其交保险费所获得的实际年利率是多少？若该投保人的寿命为74岁，其交保险费所获得的实际年利率又是多少？,则在他生存时期，45岁时(投保满5年)可获返还补贴4000元，50岁时可获返还补贴5000元，其后每隔5年可获增幅为1000元的返还补贴；而在投保人去世或残废时，其受益人可获保险金20000元,每过一周 A 城公司基金10 B 城公司 A 城公司 B 城公司基金12,金融公司的支付基金的流动,(形式推广的新问题),总额$540万基金,放置A公司和B公司要求：周末结算时总额仍为$540万,A公司基金额A
10、0$260万 B公司基金额B0$280万,问题 资金流动趋势？会否少于警戒数220(万),数学模型,设第k周末结算时,A城公司和B城公司支付基金数分别为ak和bk(单位:万美元),则有,差分方程组,ak+1=0.9ak+0.12 bkbk+1=0.1ak+0.88 bk,观察数据 通过对数据的观测估计结论,(12周数据),利用Matlab,function m2_2(n)a0=260;b0=280;a(1)=0.9*a0+0.12*b0;b(1)=0.1*a0+0.88*b0;for k=1:n-1 a(k+1)=0.9*a(k)+0.12*b(k);b(k+1)=0.1*a(k)+0.88*
11、b(k);endab,可看到变化趋势，能不能求出方程解？,(分别求出an,bn 与n 的关系式),12周的变化数据,任务 6,ak是否有上界、bk是否有下界?bk是否会小 于220？,完成这个问题的分析：,利用矩阵形式,由此式讨论 k 的情况,可导出表达式,作业3,能不能求出方程解？,(分别求出an,bn 与n 的关系式),关于任务6,任务7,根据两地公司的业务情况，该金融机构决定在每周末结算时，将A城公司的基金增加$6万，相应地B城公司的支付基金减少$6万.,此时，机构中一位的职员(他曾就读于某大学数学系)向机构负责人建议将增减数额改为$5.5万.,试问机构负责人是否应该采纳这个建议，为什么
12、？,在完成任务时所附的作业,1.贷款A0，月利率r，月还款额m，推导第k 个月后时欠款余数Ak 的表达式,2.投保人每月交保险费p，交了m个月后每月领养老费可领n个月，若所领款全由交费及其利息产生(月利率r)，求投保人每月领养老费额,3.若,2002年10月24日发行的面值100元年利率2.65%的5年期记帐式国债，期内每年10月24日派发利息2.65元.,任务 8,设在2005年3月31日，该国债的收盘价格F99元，投资者购买该国债需要支付上次派息日到购买日的利息(依天数计息)，还需上两项总数的0.1%为手续费.,如果投资者到期再取出本息，其间获得的利息也按年利率2.65%计息，那么他购入的国债平均年收益率是多少？,谢谢各位!,积极思考,怎样完成实验任务,合作讨论,有所选择,自己动手,
