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1、,第七讲,海岸线的长度问题,欧几里得几何,大自然的几何学,?,放眼宇宙，,?,细看犬牙交错的海岸线，,?,美丽对称而边缘并不平滑的雪花，,?,以及天上的云朵，山中的枫叶,，,?,绝大多数的客观实物，并不像欧几里得几何中讨论,的点、线段、圆、立方体、球等乃至笛卡儿的解析,几何中的椭圆、椭球等那样单纯；复杂是宇宙的本,性。有不少东西大处和小处的结构有,相似性,，,?,例如太阳系，,?,地球绕着太阳转，,?,月亮又绕着地球转，,?,月亮上的氢原子核外又有绕其旋转的电子等,等，,?,这种无限嵌套的精细的层次结构实乃,大自然,的几何学！,?,多少世纪以来，人们总是用,欧几里得几,何,的对象和概念来描述我
2、们这个生存的世界。,但是自然界随机性似乎常常产生出无法用欧,几里得几何描述的对象。在这些场合，,分形,是最好的描述工具,分形几何学的基本思想,?,我们的主观世界认知范围是“有限”的，,?,但是客观世界是“无限”的，,?,我们需要开拓自己的认知领域。,思考,1.,闪电、冲积扇、泥裂、冻豆腐、水系、小,麦须根系、树冠、支气管、星系、材料断口、,大脑皮层等等复杂、不规则的图形还能用欧,几里得几何描述吗？,2.,一块稻田的面积可以用欧几里得几何，但假,如稻田干涸时的“泥裂”还能用欧几里得几,何吗？,3.,刘徽“割圆术”能得到圆周长，但类似的方,法能得到“海岸线”的长吗？,你会相信吗？,?,我们的主观世
3、界认知范围是“有限”的，但,是客观世界是“无限”的，我们需要开拓自,己的认知领域。,?,以下一些问题，在你所认知的领域里可能较,难判断。,1.,你相信有这样的曲线吗？,?,?,它所围的面积是有限的,但它的周长是无限的！,?,答：有这样的曲线：,?,雪花曲线（科克,1904,年创造的曲线）就有这,样两个出乎意料的迷人的矛盾特性。,直觉：,曲线周长趋势？所围面积趋势？,2.,你相信有这样的图形吗？,?,它的周长趋近于无穷大,?,而它的面积则趋近于零,?,答：有,直觉和想象：周长怎么变？面积怎么变？,清凉座垫,3.,你相信有这样的立体图形吗？,?,它的表面积趋于无穷大,?,而它的体积则趋于零,谢尔宾
4、斯基海绵,?,答：,有,谢尔宾斯基海绵。将一个正方体的每个面,9,等分，则正方体被分成,27,个小正方体，抽去体心,与面心处的,7,个小正方体；然后，对剩下的,20,个小,正方体中的每一个再实施以上的操作，如此下,去,谢尔宾斯基海绵,分形讨论图形的复杂性,?,以上三种“怪物”有什么共同特点？,?,几何分形或正规分形,?,自相似性,。局部形态与整体形态的相似性。,形象地说，就是我们用任何倍数的显微镜去,观察任一局部，都与整体有相似的形态。,（,欧几里得几何中的圆就没有这种特性，把,圆的一部分放大后便变得比较平直,）,一、分形起源,从海岸线长度谈起,1.B.B.Mandelbrot,的工作,196
5、7,年法国数学家,B.B.Mandelbrot,（蒙德尔布罗）在科学,杂志上发表文章,“英国的海岸线有多长？”,。,他发现这个差距源于海岸线形状的不规则性及用,来测量的尺子长短不一。,这看似极其简单，但,Mandelbrot,发现：,当测量单位变小时，,所得的长度是无限增大的。,但是，在欧几里得几何中，,当尺的长度趋于零的时候，,测量出的长度趋于圆周长！,但是，当尺的长度趋于零的时候，海岸线的长度却趋,于无穷大！,在理论数学中，瑞典数学家,Koch,早在,1904,年就构造了如今称之为“柯赫曲,线”,(Koch curve),的几何对象。,直觉：周长趋于无限，面积趋于有限,逻辑：如何证明？,或
6、,3*1=3 3+3*1/3=3*4/3 3*4/3+12*1/3*1/3=3*4/3*4/3,数学文化：一般到特殊，特殊到一般，,归纳总结找规律的猜想，,证明规律的猜想得结论,?,雪花曲线的特点,自相似性。任何一个局,部放大后都与整体非常相似。（,欧几里得中,的圆就没有这个性质,）,邮票上的雪花曲线（保加利亚）有什,么奥秘？,隆冬雪花,你细瞧海岸,线，就有类,似的形状,雪花边,界线的,长度？,面积？,春风杨柳（分形树）,?,春天到了，从一枝长,1,的柳条的,1/3,与,2/3,处各,长出长为,1/3,的新枝，分叉点把新枝分成,5,段，,每段又从其,1/3,与,2/3,处长出新枝，此刚长出,的
7、新枝之长是该段长的,1/3,，如此生长下去，,最后得到枝繁叶茂的一棵树。,?,请算一算枝条的总长度,。,B.B.Mandelbrot,：,“,1975,年，我由描述碎石的拉丁文,fractus,，创,造出分形（,fractal,）一词。分形是几何外形，它与,欧几里得外形相反，是没有规则的。”,“首先，它们处处无规则可言。其次,，它们,在各种尺度上都有同样程度的不规则性。不论从远,处观察，还是从近处观察，分形看起来一个模样,它是自相似的。,“整体中的小块，从远处看是不成形的,小点，近处看则发现它变得轮廓分明，其外,形大致和以前观察的整体形状相似。,”,“自然界提供了许多分形实例。例如，,羊齿植物
8、、菜花和硬花甘兰，以及许多其他,植物，它们的每一分支和嫩枝都与其整体非,常相似。其生成规则保证了小尺度上的特征,成长后就变成大尺度上的特征。”,-B.B.Mandelbrot,分形例子,蒙德尔布罗集,2.Mandelbrot,集,大图是左上角矩形部分的放大，大图中的矩形部分跟,整体又是“自相似”的,分形图形的“自相似性”,实际上一大类规则分形都可以这样生成出来，,这种过程具有一般性，并可以用几套语言类似,地表示出来：,分形,=,原形,+,生成元,+,迭代,分形,=,公理,+,产生式,+,解释,分形,=,初条件,+,输入,+,反馈,分形几何的应用,图像，数据压缩方面的研究。,如：对某一个静态场景
9、的分形压缩。,自然景物的模拟,如：雪花，海岸线，分形山，分形树,叶，分形生长模型,分形植物,真实的植物,用迭代函数算法画的树,分形艺术图片,分形艺术图片,分形几何的意义,二、混沌,自然界中的万物都遵循一定的规律。,传统观点认为，只要掌握了这些规律就,可以准确的预测事物的未来。例如，天文学,家根据天体运行的牛顿定律就能预见未来时,间里发生日月蚀的具体时刻。然而，自然界,中也存在着许多事物，人们根本不能预见它,们未来的运动变化。,例如，空气中飘动的气球，气球本身和作用于气,球的空气流同样也都受到牛顿动力学的支配，但,无人能够准确地预测它在不久将来的位置。这种,现象根据确定论代表人物法国数学家拉普拉
10、斯的,观点，其原因是我们不能准确知晓气球所在的初,始位置和速度及作用于气球的空气流的方向和速,度。但若从此观点看这种现象，人们不觉会认为,自然界的一切随机不确定现象都源于不可知因素,作用的结果，可能就要产生错误。,蝴蝶效应,1963,年，美国气象学家洛伦茨发现的,“蝴蝶效应,”便是其中,典型一例。洛伦茨在一个由三维一阶微分方程组描述的气象,预报模型中，发现该确定的数学模型产生的结果不是趋于稳,定平衡的，也不是趋于某种周期性变化，而是貌似随机的。,近似的初始条件并不能获得近似的结果，更甚者，两者的差,异随时间增大而越大。但这种现象并不是由于计算机的精度,或可靠性等原因造成的。之后，这种类似现象被
11、大量发现，,引起众多学者的关注。,1975,年，美国数学家约克和华人学者,李天岩将“蝴蝶效应”之类的现象称之为“混沌”。对混沌,现象的研究加深了人们对非线性现象的理解，深化了对混沌,现象本质的认识。,混沌讨论过程的复杂性,?,失之毫厘，谬以千里,?,1.,精确度要求很高时要考虑。,?,2.,混沌系统中就是“失之毫厘，谬以千里。”,?,如“洛伦兹的天气预报”。,?,3.,线性系统中，小的扰动只产生结果的小偏,差。,混沌是比有序更为普遍的现象,?,“蝴蝶效应”：,?,巴西的蝴蝶扇一下翅膀，可能会引起几周之,后在美国德克萨斯州有一场风暴。,?,洛伦兹,?,“对初值的极端敏感”在天气预报中的发现。,E
12、.N.Lorenz,的工作,美国气象学家,E.N.Lorenz,在天气预报中的发现,是混沌认识过程中的一个里程碑。,1963,年，他在麻省理工学院操作着一台当时比,较的先进工具,计算机进行天气模拟，试图进行,长期天气预报。,Lorenz,发现混沌运动的两个重要特点：,（,1,）对初值极端敏感；,(2),解并不是完全随机的。,Lorenz,之后，混沌学的研究开始蓬勃发展。,三、,关于混沌的思考,1.,混沌的特点,1),混沌是决定论系统的内在随机性，这种,随机性与我们过去所了解的随机性现象，比,如抛硬币等有很大的区别。,2),混沌对初值的敏感依赖性。在线性系统,中，小扰动只产生结果的小偏差，但对混
13、沌,系统，则是“失之毫厘，谬以千里”。,3),混沌不是有序，也不是简单的无序，更,不是通常意义下的有序。,2.,混沌的意义,1),混沌的发现与数学史上的数学危机是不同的。,数学危机是人们对于数学根基的质疑，而混沌则,是人们在看似简单的问题中发现了复杂的现象。,2),混沌绝不单单是有趣的数学现象，混沌是比一,般的有序更为普遍的现象，它使我们对物质世界,有了更深一层的认识，为我们研究自然的复杂性,开辟了一条道路，同时也引出了关于物质世界认,识论上的一些哲学思考。,四、,混沌学的应用,1.,通过对生命现象进行的考察，发现各,种各样的生物节律既非完全周期，又不可能,属于纯粹随机，它们既有与自然界周期（
14、季,节，昼夜等）协调的一面，又有着内在的复,杂性质。,20,世纪,20,年代后期已经有人用非线性电,路模拟过心脏搏动。近几年更发现了心律不,齐等病症与混,沌运动的联系。,如果考察人类脑电波，对比就更为尖锐。,癫痫患者发病时的脑电波呈明显的周期性，,而正常人的脑电波近乎随机讯号。,进,一步测量表明它们不是随机的，而是接近于,混沌系统。,虽然距离最终认清它们还很远，但现在,已有人进行利用混沌过程预测和控制癫痫，,心律不齐等等病症。,精神病监测和治疗的最新研究成果,?,正常人的脑电波不是周期的而是混沌的，精神病人犯病时的,脑电波却是周期的。因此可以在精神病人体内植入芯片监测,其脑电波，一旦发现脑电波
15、接近周期的，就很可能要犯病了，,应该及时采取措施。这已经应用于临床。,?,进一步的研究是在其脑电波接近周期时，给他一个刺激，使,其脑电波重新回到混沌状态。但是由于混沌现象的一个特点,是“对初值极端敏感”，刺激不当可能导致病人死亡，所以,现在尚未应用于临床。,2.,对于气象学研究方面，似乎,混沌动力学的发展排除了长期预报,的可能性。,但是另一方面我们现在对于预,报问题有了更符合实际的态度。其,实对短期预报和长期预报的要求从,来不同。,只有对于短期预报，我们才关,心变化的细节。对于长期预报，人,们更注意各种平均量的发展趋势，,例如今后,20,年内华北年降水量的多,少。,混沌动力学的进步，恰恰在这,
16、方面提高了人类的预报本领。,3.,基于混沌理论的保密通信、信,息加密和信息隐藏技术的研究已成为国,际热门前沿课题之一，也是高科技研究,的一个新领域。,尽管已有许多混沌加密方案被提出，,但混沌密码学的理论还未完全成熟，混,沌密码学的研究仍然是一个新的具有挑,战性的前沿课题。,4.,目前将将混沌理论应用到经济,理论上的研究也十分活跃，但混沌理论,最现实应用的应属于美国一交通工程师,小组，他们在,1988,年把混沌与错综复杂,的交通图形联系了起来，若有人被停停,走走堵塞在公路上，那他就可以把责任,推给混沌。,分形几何进入中学数学课程,?,1.,分形几何进入中学数学课程的必要性,?,1,）分形几何的创
17、立是数学发展历史上的又一次进,步,?,2,）分形理论是描述现实世界的有力工具,?,3,）分形几何是培养创新思维的极好材料,?,4,）有利于学生掌握数学思想方法，发展辩证思维，,提高审美情趣的思想方法。,?,5,）课程现代化的需要,?,在数学上说，分形是一种形式，它从一个对,象,例如线段、点、三角形,开始，重,复应用一个规则连续不断地改变直至无穷。,这个规则可以用一个数学公式或者文字来描,述。如雪花曲线、分形树等。,?,2.,分形几何进入中小学数学课堂具体做法的探讨,?,1,）画分形树：画树干；画两个树枝，注意树干的,角度是,120,度，长度是树干的,1/2;,继续在树枝上画小,树枝，要求同上。
18、,?,并讨论：,1,）新的树枝的数量；,2,）全部树枝的数量；,3,）新的树枝的长度；,4,）全部树枝的长度，,5,）设,计你自己的分形树。,?,2,）雪花曲线,?,3,）谢尔宾斯基地毯,?,本讲思考题：,?,1.,举一些客观世界的分形图形和数学家构造的分形,图形，并画分形树：画树干；画两个树枝，注意树,干的角度是,120,度，长度是树干的,1/2;,继续在树枝上,画小树枝，要求同上。,?,并讨论：,1,）新的树枝的数量；,2,）全部树枝的数量；,3,）新的树枝的长度；,4,）全部树枝的长度，,5,）设,计你自己的分形树。,?,2.,了解混沌的意义和应用。,中文,2,班郑华斐的解答,新树枝的数,量,0,2,2,2,2,2,2,全部树枝的,数量,0,2,2+4,2+4+8,新树枝长度,1/2,1/2,1/2,1/2,1/2,1/2,全部树枝的,长度,1/2,2,1/2,2+1/2,1/2,2,2,1,2,?,n,清凉座垫,用三条中位线把一个正三角形划分成四个正三角形，去,掉中间的那个小正三角形；对于剩下的小正三角形重复,以上操作，不停地“去心”，最后得到的平面点集就成,了一个满身大孔小孔的清凉座垫！,
