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1、数学建模概论,随着电子计算机的出现和科学技术的迅猛发展，数学的应用已不再局限于传统的物理领域，而正以空前的广度和深度逐步渗透到人类活动的各个领域。生物、医学、军事、社会、经济、管理，各学科、各行业都涌现出大量的实际课题，亟待人们去研究、去解决。,利用数学知识研究和解决实际问题，遇到的第一项工作就是建立恰当的数学模型，数学建模正在越来越受到人们的重视。从这一意义上讲，可以说数学建模是一切科学研究的基础。没有一个较好的数学模型就不可能得到较好的研究结果，所以，建立一个较好的数学模型乃是解决实际问题的关键之一。,数学模型（Mathematical Model）是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实
2、际课题 本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或 能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。数学建模（Mathematical Modeling）应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程。,1.1 数学模型与数学建模,例（万有引力定律的发现）,十五世纪中期，哥白尼 提出了震惊世界的 日心说。丹麦著名的实验天文学 家第谷花了二十多年时间 观察纪录下了当 时已发现的五大 行星的运动情况。第谷的学生和助手 开普勒对这些资料进行了九年时间的分 析计算后 得出著名的Kepler三定律。牛顿根据开普勒三定律和牛顿第二定律，利用微积分方法推导出牛
3、顿第三定律即 万有引力定律。,如图，有椭圆方程:,矢径所扫过的面 积A的微分为:,由开普勒第二定 律:,常数,立即得出:,即:,另外，椭圆面积,由此得出,常数,作一次牛顿！呵！,我们还需算出行星的加速度，为此需要建立 两种 不同的坐标架。第一个是固定的，以太阳为坐标原点，沿长轴方向的单位向量记 为i,沿短轴方向的单位向量记 为j，于是：,进而有 加速度,以行星为坐标原点建立活动架标，其两个正交的单位向量分别是,因此得出,也就是说行星的加速度为,那么就导出著名的 万有引力定律：,1.了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握必要的数据资料。2.在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过对资料的分
4、析计 算，找出起主要作用的因素，经必要的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设。3.在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻划各变量之间的关系，建立相应的数学结构 即建立数学模型。4.模型求解。5.模型的分析与检验。,1.2 数学建模的一般步骤,1.3 数学模型的分 类,数学建模实践的 每一步中都 蕴含着能力上的 锻炼，在调查研究阶段，需 要用到观察能力、分析能力和数据处理能力等。在提出假设 时，又需要用到 想象力和归纳 简化能力。在真正开始自己的研究之前，还应当尽可能先了解一下前人或别人的工作，使自己的工 作成为别人研究工作 的继续而不是别人工作的重复，你可以把某些已知的研究结果用作你的假
5、设，去探索新的奥秘。因此我们还应当学会在尽可能短的时间 内查到并学会我想应用的知识的本领。还需要你多少要有点 创新的能力。这种能力不是生来就有的，建模实践就为你提供了一个培养创新能力的机会。,1.4 数学建模与能力的培养,开设数学建模课的主要目的并非简单地传播数学知识而是为了提高综合素质，增强应用数学知识解决实际问题的本领。因此，在学习数学建模时学生应当特别注意自身能力的培养与锻炼。要想知道李子的滋味是酸的还是甜的，你必须亲口去尝一下；要想知道如何建模，除了学习基本技能与基本技巧之外，更重要的是应当参与进来，在建模实践中获得真知。,例1 某人平时下班总是按预定时间到达某处，然然后他妻子开车接他
6、回家。有一天，他比平时提早了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时间？,1.5 一些简单实例,似乎条件不够哦。,请思考一下，本题解答中隐含了哪些假设？,分析 本题多少 有点象 数学中 解的存在 性条件 及证明，当 然，这里的情况要简单得多。,例4 证明三角形的外角和为360度。,例8 取一张普通的64开纸，现要求在纸的中间剪个洞，使得你的整个身体能够从此洞中钻过去。,设砖块是均质的，长度与重量均 为1，其 重心在中点1/2砖长处，现用归纳法推导。,由第 n块砖受到的两个力的力矩相等，有：1/2-Zn=(
7、n1)Zn故Zn=1/(2n)，从而上面 n块砖向右推出的总距离为，,故砖块向右可叠至 任意远，这一结果多少有点出人意料。,AB发出车次显然是一样多的，否则一处的车辆将会越积越多。,黑匣子所在 方向很容易确定，关键在于确定 距离。设在同一方向不同位置检测了两次，测得的照度分别为I1和I2，两测量点间的距离为 a，则有,在方法一中，两检测点与黑匣子 位于一直线上，这一点比较容易 做到，主要缺点是结果对照度测 量的精度要求较高，很少的误差会造成结果的很大变化，即敏感性很强，现提出另一方法，在 A点测得黑匣子方向后，到B点再测方向，AB 距离为a，BAC=，ABC=，利用正弦定理得出 d=asin/sin(+)。需要指出的是，当黑匣子位于较远处而 又较小时，+可能非常接近（ACB接近于0），而sin（+）又恰好位于分母上，因而对结果的精确性影响也会很大，为了使结果较好，应使a也相对较大。,
