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1、第 九 章,虚功原理 和结构位移计算,9.1 位移计算概述,1。位移计算的目的 验算结构的刚度（刚度条件、施工控制）计算超静定结构（力法）2。结构位移的分类 位移与变形（外因作用下）刚体位移与形变位移 线位移：点沿直线移动；角位移：截面转动 广义力与广义位移,3。位移计算的原理与方法 积分法求挠曲线方程 实功原理求位移能量法（功能原理）虚功原理单位荷载法 线弹性体位移计算 应用条件（亦即叠加原理的应用条件）：材料满足虎克定律 结构变形微小，不影响力的作用。,（续）,9.2 虚功和虚功原理,虚功的概念（虚功不虚！）力P与经历的位移独立无关（无因果关系！）“虚功”区别于“实功”，并非不存在。虚功原
2、理（包含虚位移原理和虚力原理）定义：外力所做的虚功等于外力产生的内力在 微段上所做的虚功之和。虚功方程：外力虚功=内力虚功（）虚位移原理 位移状态：可能的位移；力状态：真实的平衡力系。,（续）,虚力原理 位移状态：真实的位移（拟求）；力状态：虚拟的平衡力系（加单位荷载）。微元分析（计算变形体内力虚功）广义力：N、Q、M；广义位移：d、d、d 广义虚力：、微元内力虚功：,9.3 单位荷载法及其位移计算公式,虚拟力单位荷载（最简）P=1 或 M=1 或 广义单位力（成对）总外力虚功：总内力虚功：位移计算的一般公式：,9.4 荷载作用下的位移计算,1。假设材料是线弹性的（满足虎克定律）轴向应变：平均
3、切应变：弯曲应变：,（续）,2。直杆在荷载作用下计算弹性位移一般公式：3。荷载作用下位移计算的步骤：沿拟求位移的位置和方向虚设相应的单位荷载；由静力平衡条件，求出结构虚内力 由静力平衡条件，计算实际荷载下结构内力NQM 代入如上公式，计算。,梁和刚架（仅取一项）桁架 组合结构 拱 微弯曲杆（同梁）,4。各类结构的位移计算公式,5。荷载作用下位移计算举例（积分法）,例1.求刚架（折杆）自由端A点的竖向位移（挠度）AY（E、I、A=常数）。,虚拟状态（力）,实际状态（位移、变形）,1.逐杆建立坐标系，并分别写出实际状态 的各杆内力方程。AB段：BC段：,解：,（续）,2.在A点加一竖向单位荷载作为
4、虚拟状态，并 写出该状态内力方程。AB段：BC段：3.代入位移计算公式：,（续）,其中，设 h/l=1/10，取G=0.4E，k=1.2结论：对于浅梁，轴力和剪力影响所占比重不大。轴力项和剪力项通常可略去，仅取弯矩项。,（续）,例2.计算图示桁架下弦中点C的挠度。已知各杆弹性模量，截面面积。,求桁架如下位移：D点水平位移 DB间距改变 CD高差改变 CE杆转角 CD杆与CE杆相对转角（夹角DCE改变量）,思考：虚拟状态（单位荷载）的选取,例3.图示为一等截面圆弧形曲杆AB，截面为矩形，圆弧AB的圆心角为，半径为R。设沿水平线作用均布荷载q，求B点的竖向位移。并比较剪切变形和轴向变形对位移的影响
5、。,实际状态,虚拟状态,忽略小曲率杆的曲率影响，仍用直杆位移公式。实际荷载 虚拟荷载 坐标变换：,（续）,*例4.试求图示简支梁在中点C的竖向位移，并比较 弯曲变形与剪切变形对位移的影响（梁的截面为矩形：bh）。,实际位移状态,虚拟力状态,答案：,9.5 图乘法（维利沙金,1925）,一、图乘法的应用条件：直杆 EI不变 至少有一个直线弯矩图（竖标 应取自直线图）二、图乘法的计算公式,公式推导示意图,三、图乘法公式的推导,（同侧为正、异侧为负）,四、图乘的分段和分块叠加,常见图形的面积和形心 凸抛物线：凹抛物线：,2.折线分段图乘与变截面分段图乘,3.复杂图形分块图乘,（面积和形心位置难确定）
6、,五、图乘法计算位移举例,求承受均布荷载的简支梁的跨中挠度。,（思考：能否整块图乘？）,求悬臂梁自由端挠度（多种荷载分块）,（错在哪?!）,求伸臂梁悬臂端转角（跨内外分段、分块）,求三类刚架的位移与广义位移（相对位移）,求在水压作用下刚架C、D两点相对水平位移，EI=常数。,求三铰刚架铰C左、右两截面的相对转角，EI=常数。,求组合结构位移（区分梁式杆与链杆公式）,9.6 温度变化时的位移计算,静定结构温度变化时不引起内力，但结构产生 变形和位移；应用单位荷载法的位移公式；内力虚功表达式（不产生剪切变形）：关键：求出由于温度变化引起的应变,温度变化时变形微元分析,上下缘温差：平均温变：或（后式
7、仅用于截面不对称于形心轴，即 时）,（续）,当材料线膨胀系数为，微段ds变形为：,计算温度变化引起的位移公式：,若 沿各杆全长为常数，则公式为：,正负号规定：轴力 以拉力为正，以温度升高为正；弯矩 和温差 引起同向弯曲为正，异向为负。,（续）,算 例,试求图示刚架C点的竖向位移。a=4m,=0.00001,各杆截面为矩形，截面高度 h=40cm.,解：,（续）,9.7 支座移动时的位移计算,静定结构当支座有移动时，将发生刚体位移，不引起应变，也不引起内力。刚体位移可用几何方法计算，也可用虚功原理 求解。单位荷载法的计算公式为：式中，c为实际的支座移动，是与 P=1平衡 的支座反力。,计算支座移
8、动引起位移的步骤:沿拟求位移方向虚设相应的单位荷载；据平衡条件求相应于支座移动c方向的虚反力；由公式 计算位移；,（续）,算例：求刚架由于支座下沉引起的位移,刚架A支座下沉,求B点水平位移,求截面B转角,9.8 线性变形体系的互等定理,功的互等定理,在任一线性变形体系中，第一状态的外力在第二状态位移上所作的虚功W12；等于第二状态的外力在第一状态位移上所作的虚功W21。,外力虚功互等：1872年E.Betti(意大利）,证明：,位移互等定理,由功的互等定理：,故,因,有,（续）,在任一线性变形体系中，由单位荷载P1=1引起的与荷载P2相应的位移在数值上等于由单位荷载P2=1引起的与荷载P1 相
9、应的位移。（1864年J.C.Maxwell 英国 最早 研究桁架位移时发现）,反力互等定理,（续）,由功的互等定理：,有,因,故,在任一线性变形体系中，由单位支座位移c1=1所引起的与支座位移c2相应的支座反力，在数值上等于由单位支座位移c2=l所引起的与支座位移c1相应的支座反力。（1874年瑞利 英国）,反力位移互等定理：（量纲不同）,四个互等定理的应用范围：线弹性结构（静定、超静定，满足虎克定律）；结构变形（位移）微小（叠加原理成立）。,结论：功的互等定理最基本，可据之推导其它三个定理。变形体的虚功原理和线弹性体的互等定理是力学 中的基本原理，是结构分析的重要工具。,（续）,实用例题：求未知位移或未知力,已知图(a)所示结构的弯矩图，试用功的互等定理求图(b)所示结构由于左端A转动 而使梁跨中产生的挠度。,解：由功的互等定理：,即,，得,
