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1、第二章 行列式(determinant),2.1 行列式的定义2.2 行列式的性质2.3 行列式的应用 一、克拉默(Cramer)二、矩阵求逆公式 三、矩阵的秩,2.3 行列式的应用,一、克拉默(Cramer)法则,设n个方程n个未知数的非齐次线性方程组为,如果线性方程组(1)的系数行列式,定理2.2 克拉默法则,且解可以表示为,那么线性方程组(1)有唯一解，,其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即,定理2.3 如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.,对于齐次线性方程组,定理2.4 如果齐次线性方程组(2)的系数行列式,
2、则齐次线性方程组(2)只有零解.,方程组(2)是方程组（1）的特例，将定理2.2应用到方程组(2)得到,有非零解.,今后可证:系数行列式,例1 用克拉默法则解线性方程组,解,解,齐次方程组有非零解，则,所以 或 时齐次方程组有非零解.,二、矩阵求逆公式,定义2.2 伴随矩阵,称为矩阵A 的伴随矩阵,例3,定理2.6,证明,则,定理2.7 矩阵 可逆的充要条件是,奇异矩阵与非奇异矩阵的定义,且,推论,例4 求下列矩阵的逆矩阵,解,故,逆矩阵的运算性质小结,例6,三、矩阵的秩,矩阵的秩,定义2.3 k阶子式,例如,解：A的每一个元素为A的一阶子式,同理，还可取第一、第三行；第二、第三行计算出的所有
3、二阶子式,A的二阶子式可先选A的第一、第二行，A中含有这两行元素,的所有二阶子式为,若A中取三行，可得三阶子式为,由于A为 矩阵，所以A中最高阶子式为三阶子式.,则称A为满秩矩阵,例1,解,计算A的3阶子式，,如果,显然，非零行的行数为2，R(B)=2,此方法简单！,此时B与A的秩相同,如果对B再施行初等行变换,或,也不会改变B的秩,从而也不改变A的秩,上例说明:经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变,初等变换求矩阵秩的方法：,把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.,例2,解,由阶梯形矩阵有三个非零行可知,例3,解,分析：,下面讨论矩阵秩的一些性质和公式,性质1,小结：,E,性质2,例6,关于矩阵秩的几个常见公式:,
