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1、自动控制原理及应用,清华大学出版社,董红生主编,第2章 自动控制系统的数学模型,本章小结,2.4 应 用 实 例,2.3 控制系统的动态结构图,2.2 控制系统的传递函数,2.1控制系统的微分方程,了解控制系统数学模型的概念；熟悉控制系统的微分方程的建立方法；掌握传递函数的定义、求法及典型环节的传递函数特性；掌握控制系统动态结构图的化简及利用动态结构图求解控 制系统各种传递函数的方法。,教学目标：,2.1 控制系统的微分方程,微分方程是控制系统最基本的数学模型，可用于在时域中描述系统的动态性能。若已知系统的输入信号和初始条件，通过求解微分方程就可以得到系统的输出响应。,列写控制系统微分方程的一
2、般步骤归纳为：（1）明确控制系统的输入和输出变量。输入变量是系统的外部作用变量；输出变量是要研究的系统变量；,（2）按照信号传递顺序，依次列出系统各环节的微分方程，并建立微分方程组；（3）消去中间变量，获得仅包含输入变量和输出变量的微分方程；（4）将微分方程标准化，即将与输入变量有关的各项移到方程的右边，将与输出变量有关的各项移到方程的左边，且按变量导数的降幂排列。,2.1.1微分方程建立的实例,【例2-1】RC电路如图2-1所示，试列出电路的微分方程。,图2-1 RC电路,解：（1）确定输入变量和输出变量。输入变量为ui(t)，输出变量为uo(t)。,（2）列微分方程。,（3）消去中间变量，
3、并将微分方程标准化。,（2-1）,（2-2）,可见，RC电路的数学模型为一阶线性常系数微分方程。,（2-3）,【例2-2】弹簧、质量、阻尼器构成的机械位移系统如图2-2所示，其中，k为弹簧系数，m为物体的质量，f为阻尼系数。试建立在作用力F(t)作用下物体的位移y(t)微分方程。,解：（1）确定输入变量和输出变量。外作用力F(t)输入变量，物体位移y(t)为输出变量。（2）列微分方程。,作用在质量物体m上的合力满足牛顿第二定律，即,可得其中，为弹性阻力，为物体粘性阻力，为物体的加速度。（3）移项整理，将微分方程标准化。可见，机械位移系统的数学模型为二阶线性常系数微分方程。,（2-4）,图2-2
4、 机械位移系统,【例2-3】他励直流电动机的物理模型如图2-3所示，假设励磁电流if 保持恒定，试建立电枢电压ua(t)作用下电动机转轴速度n(t)的微分方程。,解：（1）确定输入变量和输出变量输入变量为电枢电压ua(t)，输出变量为转轴速度n(t)。（2）列微分方程直流电动机电枢回路的电压平衡方程式为,（2-5）,式中，ea(t)为电枢反电势，La、Ra分别为电枢回路的总电感和总电阻。,由电机学原理可知，电枢反电势的大小与转轴角速度成正比，即 式中，Ce为反电势系数，单位为V/rads-1。在恒定励磁磁场中，电枢电流产生的电磁转矩为 式中，Cm为电动机的转矩系数，单位为Nm/A。,（2-6）
5、,（2-7）,图2-3 他励电动机的原理图,考虑带恒转矩负载的情况，由电动机转轴的转矩平衡得式中，ML(t)为负载转矩；Mf(t)为摩擦转矩；GD2为飞轮惯量。（3）消去中间变量，为简化方程，令ML(t)=Mf(t)=0，可得电枢电压ua(t)与转轴角速度n(t)之间的关系为式中，分别为电动机的电磁时间和机电时间常数，单位为s。,（2-8）,（2-9）,可见，电枢电压控制的直流电动机的数学模型为二阶线性常系数微分方程。,可用线性微分方程描述的系统，称为线性系统。线性系统的一个重要性质就是可以应用叠加原理进行系统分析，对于线性控制系统的分析与设计非常有用。,2.1.2 线性常微分方程的求解,工程
6、上，常采用拉氏变换法求解线性常微分方法，其基本思路：通过拉氏变换将时域的线性微分方程转换为复数域的代数方程，在复数域求解代数方程后，再由拉氏反变换得到时域的微分方程的解。,【例2-4】在例2-1的RC电路的微分方程可表示为 假设T=1s为系统时间常数，输入电压为ui(t)=1(t)V，在零初始条件下，求系统的输出响应。解：将RC电路的微分方程两边取拉氏变换，可得 将 代入上式，整理可得 对 取拉氏反变换并代入已知数据，可得,显然，输出响应为一条从零开始按指数规律上升的曲线。,2.2 控制系统的传递函数,系统的传递函数模型是在拉氏变换的基础上定义的，它是以系统本身的参数描述线性定常系统输入量与输
7、出量的关系式，反映了系统内在的固有特性。利用传递函数不仅可以研究系统的动态特性，而且可以分析系统结构或参数改变对系统性能的影响。控制工程中广泛使用时域法、频域法等系统分析设计方法都是以传递函数为基础的，可以说传递函数是经典控制理论中最基本、最重要的概念。,1.传递函数的定义 在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比称为系统的传递函数，用G(s)表示，即,（2-10）,（2-11）,2.2.1 传递函数的概念,一般地，线性定常系统可用n阶微分方程描述，即,在零初始条件下，对（2-11）式两边取拉氏变换得,（2-12）,式中，c(t)为输出量，r(t)为输入量，微分方程两
8、边的系数均为实数，且由系统结构和参数决定。,则系统的传递函数为,（2-13）,(2-13)式可改写为 式中，k为常数。传递函数的分母多项式称为系统的特征多项式，令特征多项式等于零，即称为系统的特征方程。,（2-14）,特征方程的根p1,p2,pn称为特征根或传递函数的极点。传递函数分子多项式方程的根z1,z2,zm称为传递函数的零点。零点和极点取决于传递函数中的各项系数，即取决于系统的结构和参数。,传递函数G(s)常有两种表示形式，即,（2-15）,或,（2-16）,称（2-15）式为传递函数的时间常数表示法，K为系统增益，多用于系统频域法分析；称（2-16）式为传递函数的零极点表示法，Kg称
9、为根轨迹增益，多用于系统根轨迹法分析。由（2-15）式和（2-16）式不难推出 传递函数是线性定常系统分析与设计的有力的数学工具。,（2-17）,2.传递函数的性质,1）传递函数只适用于线性定常系统。2）一个确定系统的传递函数是唯一的。3）传递函数是复数域的系统数学模型，它代表了系统的固有 特性，仅取决于系统的结构和参数，而与系统的输入信号 的形式和大小无关。4）传递函数是对系统的一种外部描述，不能反映系统内部的 任何信息。,5）传递函数是在零初始条件下定义的，不能反映非零初始条 件下系统的运动规律。6）传递函数是复数变量s的有理真分式函数，其系数均为实常 数。传递函数的分子多项式的阶次m总是
10、小于或等于分母 多项式的阶次n，即有mn。,3.传递函数的求取,（1）根据系统的微分方程求取传递函数。（2）根据电路复阻抗的概念求取传递函数。,图2-4【例2-5】RLC电路系统,【例2-5】RLC电路如图2-4所示，试求系统的传递函数。,解：由电路理论，可以列出,在零初始条件下，对上两式进行拉氏变换，可得,消去中间变量，可得,则RLC电路系统传递函数为,利用复阻抗概念可直接求解，由RLC串联电路的分压公式可知，输出信号为电容复阻抗1/Cs上的串联分压值，即,由传递函数定义，求取系统传递函数为,【例2-6】PI（比例-积分）控制器如图2-5所示，试用复阻抗求其传递函数。,解：根据图中a点“虚地
11、”，可得，即,则PI控制器的传递函数为,图2-5【例2-5】PI控制器,令 称为PI控制器的比例系数；称为PI控制器的积分时间常数。,代入上式可得,2.2.2 典型环节的传递函数,1.比例环节,描述比例环节的微分方程为,式中，K常数，称为放大系数或增益。,图2-7 比例环节输入及其响应曲线,图2-6 比例环节的方框图,比例环节的传递函数为,（2-18）,比例环节的特点：输出信号成比例地复现输入信号，二者没有时间上延迟，输出无失真。,2.积分环节,积分环节的输出量等于输入量的积分，即,积分环节的传递函数为,式中，T为积分时间常数，由积分环节的参数决定。,图2-8 积分环节的方框图,若输入信号R(
12、s)=1/s时，则有,积分环节的单位阶跃响应为,（2-19）,积分环节的特点：输出量与输入量对时间的积分成正比。输入突变时，输出值需经T时间后才等于输入值，即表现出滞后特性。输出积累一定时间后，即使输出为零，输出将保持不变，即表现出记忆特性。积分环节常被用来改善控制系统的稳态性能。,图2-9 积分环节输入及其响应曲线,（2-20）,3.微分环节 理想微分环节的输出量是输入量的微分，即,微分环节的传递函数为,式中，T为微分时间常数。,（2-21）,理想微分环节的方框图如图2-10所示。其单位阶跃响应为,（2-22）,图2-10 理想微分环节的方框图,图2-11 理想微分环节输入及其响应曲线,则其
13、响应曲线如图2-11所示。,可见，在t=0时，其输出为一宽度为零，幅度为无穷大的理想脉冲。显然，实际物理装置是不可能实现理想的微分环节。,实际中，常用近似微分环节代替，近似微分环节的传递函数为,若系统惯性很小，即T 1时，则有,微分环节的特点：输出量与输入量对时间的微分成正比，即输出量反映了输入信号的变化率。因此，微分环节的输出量可表征输入信号的变化趋势，能够加快系统控制作用的调节。微分环节常被用来改善控制系统的动态性能。,4.惯性环节描述惯性环节的微分方程为,式中，T称为环节的时间常数。,惯性环节的传递函数为,惯性环节的方框图如图2-12所示。其单位阶跃响应为,图2-12 惯性环节的方框图,
14、（2-24）,惯性环节的单位阶跃输入及其响应曲线如图2-13所示。,（2-23）,图2-13 惯性环节输入及其响应曲线,可见，c(t)曲线为一按指数规律上升的曲线，其变化的快慢决定于惯性时间常数T。,惯性环节的特点：输出量不能立即产生与输入量完全一致的变化。,5.振荡环节描述振荡环节的微分方程为,式中，T为环节时间常数，为阻尼比。,振荡环节的传递函数为,（2-25）,或写为,振荡环节的方框图如图2-14所示。当 时，振荡环节的阶跃响应曲线具有衰减振荡特性，其单位阶跃输入及其响应曲线如图2-15所示。,图2-14 振荡环节的方框图,图2-15振荡环节的输入及其响应曲线,（2-26）,振荡环节的特
15、点：在阶跃信号作用下，振荡环节的动态响应具体衰减振荡特性。,9.延迟环节延迟环节也称为时滞环节，其输出量与输入量之间的关系式为,式中，为延时时间。,延迟环节的传递函数为,（2-27）,延迟环节的框图如图2-16所示。延迟环节的单位阶跃输入及其响应曲线如图2-17所示。,图2-16 延迟环节的方框图,图2-17 延迟环节的输入信号及其响应曲线,将延迟环节的传递函数展开为泰勒级数，则有,当很小时，可将延时环节近似为惯性环节，即有,（2-29）,延时环节的特点：输出信号波形和输入信号波形完全相同，只是输出量相对于输入量滞后一段时间。延迟环节对系统稳定性不利。,传递函数只是对系统的一种外部描述，不能直
16、观地表明系统中其他变量之间的关系及信号在系统中的传递过程。动态结构图（也称为系统方框图）是系统数学模型的另一种表示形式，它是系统中各个环节功能和信号流向的图解表示。利用动态结构图表示控制系统，可以清楚地表明系统各环节之间信号的传递关系，便于对系统进行分析和研究。,2.3 控制系统的动态结构图,系统动态结构图包括四个部分：信号线：表示信号传递路径与方向。传递函数方块：表示对信号的变换，方块中为元件或环节的传递函数。相加点：表示求两个或两个以上信号代数和的位置点，“+”代表相加，“-”代表相减。分支点：表示信号引出和测量的位置点，在同一位置引出的信号，大小和性质是完全相同的。,图2-18 系统动态
17、结构图构成,2.3.1 动态结构图的基本概念,1）前向通道传递函数 前向通道传递函数为前向通道中各环节传递函数的乘积，也即断开系统反馈回路，系统输出信号C(s)和输入信号R(s)之比。,图2-19 典型反馈控制系统动态结构图,（2-30）,2）反馈通道传递函数 反馈通道传递函数即为反馈通道各环节传递函数的乘积，也就是系统反馈信号B(s)和输出信号C(s)之比。,（2-31）,3）开环传递函数 开环传递函数是指系统反馈信号B(s)与误差信号之比。,（2-33）,4）闭环传递函数 闭环传递函数是指系统输出信号C(s)与输入信号R(s)之比。,（2-32）,闭环传递函数可表示为,5）给定误差传递函数
18、 给定信号作用下，系统给定误差信号Er(s)与输入信号R(s)之比。,（2-34）,（2-35）,6）扰动误差传递函数 扰动信号作用下，系统扰动误差信号Ed(s)与动态信号D(s)之比。,系统的动态结构图建立的一般步骤为：（1）根据系统中信号的传递过程，将系统分为若干环节。（2）求取各环节的传递函数，绘制各环节的结构图。（3）按照系统中信息的传递顺序，依次将各环节的结构图 连接起来，得到整个系统的动态结构图。,2.3.2 动态结构图的建立,【例2-7】求如图2-20所示电路的动态结构图。解：设中间变量为u1，i1，i2。利用复阻抗的概念可以列写下列方程式：,图2-20 RC串并联电路,图2-2
19、1 RC串并联电路的动态结构图,【例2-8】建立他励直流电动机的动态结构图。解：对他励直流电动机所列微分方程取拉氏变换，可得,（2-36）,（2-37）,（2-38）,（2-39）,（2-40）,由（2-36）式，可得,（2-41）,（2-42）,式中，,将（2-39）式、（2-40）式代入（2-38）式，可得,图2-22 他励直流电动机的动态结构图,1.动态结构图的等效变换规则（1）串联连接,图2-23 串联连接的等效变换,（2-43）,2.3.3 动态结构图的化简,等效是指在被变换部分变换前后输入量、输出量之间的关系应保持不变。,（2）并联连接,图2-24 并联连接的等效变换,（2-44）
20、,（3）反馈连接,图2-25 反馈连接的等效变换,（2-46）,（2-45）,（4）分支点的移动,图2-26 分支点前移的等效变换,图2-27 分支点后移的等效变换,（5）相加点的移动,图2-28 相加点前移的等效变换,图2-29 相加点后移的等效变换,（6）相邻分支点的位置交换,图2-30 相邻分支点位置交换,图2-31 相邻相加点位置交换,（7）相邻相加点的位置交换,需要注意，相加点和分支点前后不能交换位置。,2.利用等效变换法化简动态结构图【例2-9】试化简例2.7所示RC电路的动态结构图，并求出系统传递函数。解：结构图是交错反馈的多回路系统，化简时，必须先进行比较点和分支点的移动，将其
21、变换为典型连接形式，再求出系统传递函数。,【例2-10】试化简如图2-33所示的系统动态结构图，并求出系统传递函数。,图2-33 系统动态结构图,解：先将G1(s)后的引出点前移，再将G1(s)和G2(s)的并联结构图合并，然后将G3(s)前的引出点前移。,图2-34【例2-10】系统动态结构图等效变换,3.利用梅森公式化简动态结构图,（2-48）,（2-47）,式中，为特征式，且有,为各回路传递函数之和。,为两两互不接触的回路，其回路传递函数乘积之和。,为所有三个互不接触回路，其回路传递函数乘积之和。,n 为输入端到输出端之间前向通道的条数。Pk为输入端到输出端之间第k条前向通道的传递函数。
22、为第k条前向通路的余子式，即把与该通路相接触的回路所在项置为零之后，特征式 所余下的部分。,【例2-11】试利用梅森公式求如图2-35所示系统的传递函数。,图2-35【例2-11】系统动态结构图,解：图中系统有二条前向通道，其回路传递函数分别为,系统反馈回路有三个，其回路传递函数分别为,系统的特征式为,各回路与前向通道P1相接触，其余子式。只有回路L3与前向通道P2不接触，故其余子式。,由梅森公式可得，系统传递函数为,以单闭环调速系统为例，说明控制系统数学模型的建立方法。,图2-35 单闭环调速系统,2.4 应用实例,单闭环调速系统包括给定环节、速度控制器（PI控制器）、测速反馈环节、晶闸管整
23、流装置及直流电动机组成。,1.比较环节和速度控制器,（2-48）,（2-47）,（2-49）,（2-50）,2.4.1 系统各环节的结构图,PI控制器的输入量为给定信号和经低通滤波后的速度反馈信号。由运算放大器的特性，可得,其中，,式中，,将（2-48）（2-50）式代入（2-47），可得,式中，,称为速度控制器的比例系数,称为速度控制器的积分时间常数,（2-51）,2.晶闸管整流装置部分,（2-52）,（2-53）,3.测速反馈环节,式中，为整流装置的电压放大倍数；为整流装置的延迟时间常数。,式中，为速度反馈系数。,(a)比较环节和速度控制器,(b)晶闸管整流,(c)测速反馈,图2-36 系
24、统各环节的动态结构图,4.直流电动机环节 例2-8中已建立他励直流电动机的动态结构图。,图2-37 单闭环调速系统的动态结构图,2.4.2 系统动态结构图,将各环节的动态结构图连接后，则可得系统的动态结构图。,系统结构图等效变换后，则,图2-38 等效变换后的系统动态结构图,前向通道的传递函数为,与典型动态结构图比较后有,1.系统开环传递函数 系统开环传递函数为 2.系统的闭环传递函数 在给定信号Ur(s)作用下，系统的闭环传递函数为,（2-54）,（2-55）,3.系统的误差传递函数 在给定信号Ur(s)单独作用下的误差传递函数为 在扰动信号IL(s)单独作用下的误差传递函数为,（2-56）,（2-57）,本章小结,（1）控制系统的数学模型是描述系统动态特性的数学表达式，它是系统分析与设计的前提。（2）在经典控制理论中，常用的控制系统数学模型包括线性微分方程、传递函数、动态结构图及系统频率特性等。不同形式的控制系统数学模型可以相互转换。（3）系统的动态结构图是线性系统图形化的数学模型，它形象直观地表示了系统内部信号的传递关系及系统各环节变量之间的数学关系。（4）实际控制系统一般都是由若干典型环节组成，研究典型环节的特性对于整个系统性能分析非常重要。（5）在典型的反馈控制系统的结构中，可定义开环传递函数、闭环传递函数、误差传递函数等基本概念。,
