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1、,数学上机教学（三）,微分方程求解,上机目的,上机内容,、学会用 求微分方程的数值解.,上机软件,、学会用 求简单微分方程的解析解.,、求简单微分方程的解析解.,、上机作业.,、求微分方程的数值解.,、数学建模实例.,、微分方程的解析解,结果：(),例如求下例微分方程的特解。,在命令窗口中输入：(),()(),)输出结果为：()(),如想画出函数在自变量在区间的函数图像，可在命令窗口中输入：(,),解 输入命令:(*,()(),),结 果 为:*(*)*(*)作图命令：(,),、微分方程的数值解,（一）常微分方程数值解的定义,在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂且大多得不出一般解.而在实际
2、上对初值问题，一般是要求得到解在若干个点上满足规定精确度的近似值，或者得到一个满足精确度要求的便于计算的表达式.,因此，研究常微分方程的数值解法是十分必要的.,（二）建立数值解法的一些途径,、用差商代替导数,若步长h较小，则有,故有公式：,此即欧拉法.,、使用数值积分,对方程y=f(x,y),两边由xi到xi+1积分，并利用梯形公式，有：,实际应用时，与欧拉公式结合使用：,此即改进的欧拉法.,故有公式：,、使用泰勒公式,以此方法为基础，有龙格库塔法、线性多步法等方法.,、数值公式的精度,当一个数值公式的截断误差可表示为（）时（为正整数，为步长），称它是一个阶公式.,越大，则数值公式的精度越高.
3、,欧拉法是一阶公式，改进的欧拉法是二阶公式.龙格库塔法有二阶公式和四阶公式.线性多步法有四阶阿达姆斯外插公式和内插公式.,（三）用软件求常微分方程的数值解,，（）,、在解个未知函数的方程组时，和均为维向量，文件中的待解方程组应以 的分量形式写成.,、使用 软件求数值解时，高阶微分方程必须等价地变换成一阶微分方程组.,注意:,解:令 y1=x，y2=y1,、建立文件如下：()();()();()*()*()();,、取，在主命令窗口中输入命令：(,);(),),、结果如图：,解、建立文件如下：()();()()*();()()*();()*()*();,、取，输入命令：(,);(),(),*()
4、,),、结果如图：,图中，的图形为实线，的图形为“*”线，的图形为“”线.,由(1),(2)消去t整理得模型:,解法二：(数值解),.建立文件()();()();()*()();,.取;，建立主程序如下：;(,);(),.);(,*),结论:导弹大致在（，）处击中乙舰.,令，将方程（）化为一阶微分方程组.,、上 机 作 业（三）,.鱼雷追击问题 一敌舰在某海域内沿着正北方向航行时，我方战舰恰好位于敌舰的正西方向 公里处我舰向敌舰发射制导鱼雷，敌舰速度为 公里分，鱼雷速度为敌舰速度的倍。试问敌舰航行多远时将被击中？,.求微分方程，在初值条件 下的特解，并画出解函数的图形.,一个慢跑者在平面上沿椭圆以恒定的速率v=1跑步,设椭圆方程为:x=10+20cost,y=20+5sint.突然有一只狗攻击他.这只狗从原点出发,以恒定速率w跑向慢跑者,狗的运动方向始终指向慢跑者.分别求出w=20,w=5时狗的运动轨迹.(选作),（慢跑者与狗）,
