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1、韦达定理及其综合应用,韦达定理的应用：,1.,已知方程的一个根，求另一个根和未知系数,2.,求与已知方程的两个根有关的代数式的值,3.,已知方程两根满足某种关系，确定方程中,字母系数的值,4.,已知两数的和与积，求这两个数,5.,已知方程的两根,x,1,，,x,2,，求作一个新的一元二次,方程,x,2,(x,1,+x,2,)x+x,1,x,2,=0,6.,利用求根公式在实数范围内分解因式,ax,2,+bx+c,=,a(x-x,1,)(x-x,2,),题,1,：,（,1,）若关于,x,的一元二次方程,2x,2,+5x+k=0,的一根是另一根的,4,倍，则,k=_,（,2,）已知：,a,b,是一元
2、二次方程,x,2,+2000 x+1=0,的两个根，求：（,1+2006a+a,2,),（,1+2005b+b,2,),=_,解法一,：（,1+2006a+a,2,),（,1+2005b+b,2,),=,（,1+2000a+a,2,+6a),（,1+2000b+b,2,+5b),=6a,?,5b=30ab,解,法二,：由题意知,a,2,+2000a+1=0,；,b,2,+2000b+1=0,a,2,+1=-2000a;b,2,+1=-2000b,（,1+2006a+a,2,),（,1+2005b+b,2,),=,（,2006a-2000a),（,2005b-2000b),=6a,?,5b=30
3、ab,ab=1,，,a+b=-200,（,1+2006a+a,2,),（,1+2005b+b,2,),=,（,ab+2006a+a,2,),（,ab+2005b+b,2,),=a(b+2006+a),?,b(a+2005+b),=a(2006-2000),?,b(2005-2000)=30ab,解法三,：由题意知,a,2,+2000a+1=0,；,b,2,+2000b+1=0,a,2,+1=-2000a;b,2,+1=-2000b,（,1+2006a+a,2,),（,1+2005b+b,2,),=,（,2006a-2000a),（,2005b-2000b),=6a,?,5b=30ab,题,2,
4、：,已知,:,等腰三角形的两条边,a,b,是方程,x,2,-,（,k+2,）,x+2 k=0,的两个实数根,另,一条边,c=1,，,求,:k,的值。,题,3,：,已知关于,x,的一元二次方程,x,2,+3x+1-m=0,（,1,）请为,m,选取一个你喜爱的数值，使方程,有两个不相等的实数根。,（,2,）设,x,1,x,2,是（,1,）中方程的两个根，不解方程,求：（,x,1,-2,）（,x,2,2,）,（,x,1,-x,2,),2,（,3,）请用（,1,）中所选取的,m,值，因式分解：,x,2,+3x+1-m,（,4,）若已知,x,1,2,+x,2,2,=10,，求此时,m,的值。,（,5,）
5、问：是否存在符合条件的,m,，使得,x,1,2,+x,2,2,=4,？,若存在，求出,m,，若不存在，请说明理由。,题,4,：,已知,是方程,x2,2x,7,0,的两个实数根。求,2,32,4,的值。,解法,1,、,是方程,x2,2x,7,0,的两实数根,2,2,7,0 2,2,7,0,且,2,2,7,2,2,7,2,2,32,4,7,2,3,（,7,2,）,4,28,2,（,）,28,2,（,2,）,32,解法,2,由求根公式得,1,2,1,2,2,3,2,4,（,1,2,）,2,3(,1,2),2,4(,1,2),9,4,3(9,4,4,8),32,2,2,2,2,2,解法,3,由已知得：
6、,2,7,2,2,（,）,2,2,18,令,2,3,2,4,A,2,3,2,4,B,A,B,4,（,2,2,）,4,（,）,4,18,4,（,2,）,64,A,B,2(,2,2,),4(,),2(,)(,),4(,),0,得：,2A,64,A,32,题,5,：,已知,x,1,、,x,2,是方程,x,2,x,9,0,的两个实数根，求代数式。,x,1,3,7x,2,2,3x,2,66,的值。,解：,x,1,、,x,2,是方程,x,2,x,9,0,的两根,x,1,x,2,1,且,x,1,2,x,1,9,0 x,2,2,x,2,9,0,即,x,1,2,x,1,9 x,2,2,x,2,9,x,1,3,7
7、x,2,2,3x,2,66,x,1,(x,1,9),7(x,2,9),3x,2,66,x,1,2,9x,1,10 x,2,3,x,1,9,9x,1,10 x,2,3,10(x,1,x,2,),6,16,题,6,：,已知,a,a,2,1,0,，,b,b,2,1,0,，,ab,，求,ab,a,b,的值,分析,：显然已知二式具有共同的形式：,x,2,x,1,0,于是,a,和,b,可视为该一元二次方程的两个根再观察,待求式的结构，容易想到直接应用韦达定理求解,解,：由已知可构造一个一元二次方程,x,2,x,1=0,，,其二根为,a,、,b,由韦达定理，得,a,b,1,，,a,b,1,故,ab,a,b,
8、2,题,7,：,若实数,x,、,y,、,z,满足,x,6,y,，,z,2,xy,9,求证,x,y,证明,：将已知二式变形为,x,y,6,，,xy,z,2,9,由韦达定理知,x,、,y,是方程,u,2,6u,(z,2,9),0,的两个根,x,、,y,是实数，,36,4z,2,36,0,则,z,2,0,，又,z,为实数，,z,2,0,，即,0,于是，方程,u,2,6u,(z,2,9),0,有等根，故,x,y,由已知二式，易知,x,、,y,是,t,2,3t,8,0,的两个根，,由韦达定理,可得。,题,9,：,已知方程,x,2,px,q,0,的二根之比为,1,2,，方程,的判别式的值为,1,求,p,与,q,之值，解此方程,解,：设,x,2,px,q,0,的两根为,a,、,2a,，则由韦达定理，有,a,2a,P,，,a,2a,q,，,P,2,4q,1,把、代入，得,(,3a),2,4,2a,2,1,，即,9a,2,8a,2,1,，于是,a=,1,方程为,x,2,3x,2,0,或,x,2,3x,2,0,解得,x1,1,，,x,2,2,，或,x1,1,，,x,2,2,
