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1、 圆锥曲线的综合问题专题考情考向分析1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查范围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题.2.试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法，对计算能力也有较高要求，难度较大热点一范围、最值问题圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解例1已知N为圆C1：(x2)2y224上一动点，圆心C1关于y轴的对称点为C2，点M，P分别是线段C1N，C2N上的点，且0，2.(1)求点M的轨迹方程；(2)直线l：ykxm与点M的轨迹只有一个公共点P，
2、且点P在第二象限，过坐标原点O且与l垂直的直线l与圆x2y28相交于A，B两点，求PAB面积的取值范围 思维升华解决范围问题的常用方法(1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后，利用数形结合法求解(2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解(3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域跟踪演练1 已知椭圆C：1(ab0)的一条切线方程为y2x2，且离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：ykxm与椭圆C交于A，B两个不同的点，与y轴交于点M，且3，求实数m的取值范围热点二定点、定值问题1由直线方程确定定点，若得到了直线
3、方程的点斜式：yy0k(xx0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：ykxm，则直线必过定点(0，m)2解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等与题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值例2 已知抛物线C：y22px经过点P(1,2)，过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.(1)求直线l的斜率的取值范围；(2)设O为原点，求证：为定值思维升华(1)动直线过定点问题的两大类型及解法动直线l过定点问题，解法：设动直线方程(斜
4、率存在)为ykxt，由题设条件将t用k表示为tmk，得yk(xm)，故动直线过定点(m,0)动曲线C过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点(2)求解定值问题的两大途径先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值跟踪演练2 已知倾斜角为的直线经过抛物线：y22px(p0)的焦点F，与抛物线相交于A，B两点，且|AB|8.(1)求抛物线的方程；(2)过点P(12,8)的两条直线l1，l2分别交抛物线于点C，D和E，F，线段CD和EF的中点分别为M，N.如果直线l1与l2的倾斜角互
5、余，求证：直线MN经过一定点热点三探索性问题1解析几何中的探索性问题，从类型上看，主要是存在类型的相关题型，解决这类问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明确化其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在2反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法例3 已知椭圆C：1(ab0)的上、下焦点分别为F1，F2，上焦点F1到直线4x3y120的距离为3，椭圆C的离心率e.(1)求椭圆C的方程；(2)椭圆E：1，设过点M(0,1)，斜率存在且不为0
6、的直线交椭圆E于A，B两点，试问y轴上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由思维升华解决探索性问题的注意事项存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径跟踪演练3 已知长轴长为4的椭圆1(ab0)过点P，点F是椭圆的右焦点(1)求椭圆方程；(2)在x轴上是否存在定点D，使得过D的直线l交椭圆于A，B两点设点E为点B关于x轴的对称点，且A，F，E三点共线？若存在，
7、求D点坐标；若不存在，说明理由真题体验1 已知F为抛物线C：y24x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|DE|的最小值为_2.在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：1(ab0)的离心率为，焦距为2.(1)求椭圆E的方程；(2)如图，动直线l：yk1x交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上一点，直线OC的斜率为k2，且k1k2.M是线段OC延长线上一点，且|MC|AB|23，M的半径为|MC|，OS，OT是M的两条切线，切点分别为S，T.求SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率押题预测已知椭圆C1：1(a0)与抛物线C2：y
8、22ax相交于A，B两点，且两曲线的焦点F重合(1)求C1，C2的方程；(2)若过焦点F的直线l与椭圆分别交于M，Q两点，与抛物线分别交于P，N两点，是否存在斜率为k(k0)的直线l，使得2？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由押题依据本题将椭圆和抛物线联合起来设置命题，体现了对直线和圆锥曲线位置关系的综合考查关注知识交汇，突出综合应用是高考的特色A组专题通关1已知椭圆1(ab0)的离心率e，左、右焦点分别为F1，F2，且F2与抛物线y24x的焦点重合(1)求椭圆的标准方程；(2)若过F1的直线交椭圆于B，D两点，过F2的直线交椭圆于A，C两点，且ACBD，求|AC|BD|的最小值2已知椭
9、圆 C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点P在椭圆C上，且PF1F2的面积的最大值为2.(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线l：ykx2(k0)与椭圆C交于不同的两点M，N，若在x轴上存在点G，使得|GM|GN|，求点G的横坐标的取值范围3.已知斜率为k的直线l与椭圆C：1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m0)(1)证明：kb0)上的一点，F1，F2是该椭圆的左、右焦点，且|F1F2|2.(1)求椭圆C的方程；(2)设点A，B是椭圆C上与坐标原点O不共线的两点，直线OA，OB，AB的斜率分别为k1，k2，k，且k1k2k2.试探究|OA|2|OB|2是否为定值
10、？若是，求出定值；若不是，说明理由B组能力提高5.已知椭圆C：1(ab0)的上顶点为点D，右焦点为F2(1,0)，延长DF2交椭圆C于点E，且满足|DF2|3|F2E|.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点F2作与x轴不重合的直线l和椭圆C交于A，B两点，设椭圆C的左顶点为点H，且直线HA，HB分别与直线x3交于M，N两点，记直线F2M，F2N的斜率分别为k1，k2，则k1与k2之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由6已知平面上动点P到点F的距离与到直线x的距离之比为，记动点P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)设M(m，n)是曲线E上的动点，直线l的方程为mxny1.设
11、直线l与圆x2y21交于不同两点C，D，求|CD|的取值范围；求与动直线l恒相切的定椭圆E的方程，并探究：若M(m，n)是曲线：Ax2By21(AB0)上的动点，是否存在与直线l：mxny1恒相切的定曲线？若存在，直接写出曲线的方程；若不存在，说明理由 圆锥曲线的综合问题专题答案考情考向分析1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查范围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题.2.试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法，对计算能力也有较高要求，难度较大热点一范围、最值问题圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所
12、求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解例1已知N为圆C1：(x2)2y224上一动点，圆心C1关于y轴的对称点为C2，点M，P分别是线段C1N，C2N上的点，且0，2.(1)求点M的轨迹方程；(2)直线l：ykxm与点M的轨迹只有一个公共点P，且点P在第二象限，过坐标原点O且与l垂直的直线l与圆x2y28相交于A，B两点，求PAB面积的取值范围解(1)连接MC2，因为2，所以P为C2N的中点，因为0，所以，所以点M在C2N的垂直平分线上，所以|MN|MC2|，因为|MN|MC1|MC2|MC1|24，所以点M在以C1，C2为焦点的椭圆上，因为a，c2，所以b22，所以点M的轨迹方程
13、为1.(2)由得(3k21)x26kmx3m260，因为直线l：ykxm与椭圆相切于点P，所以(6km)24(3k21) (3m26)12(6k22m2)0，即m26k22，解得x，y，即点P的坐标为，因为点P在第二象限，所以k0，m0，所以m，所以点P的坐标为，设直线l与l垂直交于点Q，则|PQ|是点P到直线l的距离，且直线l的方程为yx，所以|PQ|，当且仅当3k2，即k2时，|PQ|有最大值，所以SPAB4|PQ|44，即PAB面积的取值范围为.思维升华解决范围问题的常用方法(1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后，利用数形结合法求解(2)构建不等式法：利用已知或隐含的不
14、等关系，构建以待求量为元的不等式求解(3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域跟踪演练1 已知椭圆C：1(ab0)的一条切线方程为y2x2，且离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：ykxm与椭圆C交于A，B两个不同的点，与y轴交于点M，且3，求实数m的取值范围解(1)由题意知，离心率e，ca，ba，1，将y2x2代入，得8x28x8a20，由12832(8a2)0，得a24，故椭圆C的标准方程为x21.(2)根据已知，得M(0，m)，设A(x1，kx1m)，B(x2，kx2m)，由得(k24)x22mkxm240，且4m2k24(k24)(m24)0，即k
15、2m240，且x1x2，x1x2，由3，得x13x2，即x13x2，3(x1x2)24x1x20，0，即m2k2m2k240，当m21时，m2k2m2k240不成立，k2，k2m240，m240，即0，1m24，解得2m1或1m0，解得k0或0k0)的焦点F，与抛物线相交于A，B两点，且|AB|8.(1)求抛物线的方程；(2)过点P(12,8)的两条直线l1，l2分别交抛物线于点C，D和E，F，线段CD和EF的中点分别为M，N.如果直线l1与l2的倾斜角互余，求证：直线MN经过一定点(1)解由题意可设直线AB的方程为yx，由消去y整理得x23px0，9p248p20，令A(x1，y1)，B(x
16、2，y2)，则x1x23p，由抛物线的定义得|AB|x1x2p4p8，p2.抛物线的方程为y24x.(2)证明设直线l1，l2的倾斜角分别为，由题意知，.直线l1的斜率为k，则ktan .直线l1与l2的倾斜角互余，tan tan，直线l2的斜率为.直线CD的方程为y8k(x12)，即yk(x12)8.由消去x整理得ky24y3248k0，设C(xC，yC)，D(xD，yD)，yCyD，xCxD24，点M的坐标为.以代替点M坐标中的k，可得点N的坐标为(122k28k,2k)，kMN.直线MN的方程为y2kx(122k28k)，即yx10，显然当x10时，y0，故直线MN经过定点(10，0).
17、热点三探索性问题1解析几何中的探索性问题，从类型上看，主要是存在类型的相关题型，解决这类问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明确化其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在2反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法例3 已知椭圆C：1(ab0)的上、下焦点分别为F1，F2，上焦点F1到直线4x3y120的距离为3，椭圆C的离心率e.(1)求椭圆C的方程；(2)椭圆E：1，设过点M(0,1)，斜率存在且不为0的直线交椭圆E于A，B两点，
18、试问y轴上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由解(1)由已知椭圆C的方程为1(ab0)，设椭圆的焦点F1(0，c)，由F1到直线4x3y120的距离为3，得3，又椭圆C的离心率e，所以，又a2b2c2，求得a24，b23.椭圆C的方程为1.(2)存在理由如下：由(1)得椭圆E：1，设直线AB的方程为ykx1(k0)，联立消去y并整理得(4k21)x28kx120，(8k)24(4k21)12256k2480.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.假设存在点P(0，t)满足条件，由于，所以PM平分APB.所以直线PA与直线PB的倾斜角互补，所以kP
19、AkPB0.即0，即x2(y1t)x1(y2t)0.(*)将y1kx11，y2kx21代入(*)式，整理得2kx1x2(1t)(x1x2)0，所以2k0，整理得3kk(1t)0，即k(4t)0，因为k0，所以t4.所以存在点P(0,4)，使得.思维升华解决探索性问题的注意事项存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径跟踪演练3 已知长轴长为4的椭圆1(ab0)过点P，点F是椭圆的右焦
20、点(1)求椭圆方程；(2)在x轴上是否存在定点D，使得过D的直线l交椭圆于A，B两点设点E为点B关于x轴的对称点，且A，F，E三点共线？若存在，求D点坐标；若不存在，说明理由解(1) 2a4， a2，将点P代入1，得b23.椭圆方程为1.(2)存在定点D满足条件设D(t,0)，直线l方程为xmyt(m0)，联立消去x，得(3m24)y26mty3t2120，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则E(x2，y2)，且0.由A，F，E三点共线，可得(x21)y1(x11)y20，即2my1y2(t1)(y1y2)0， 2m(t1)0，解得t4，此时由0得m24.存在定点D(4,0)满足条件，且m
21、满足m24.真题体验2 已知F为抛物线C：y24x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|DE|的最小值为_答案16解析因为F为y24x的焦点，所以F(1,0)由题意知，直线l1，l2的斜率均存在且不为0，设l1的斜率为k，则l2的斜率为，故直线l1，l2的方程分别为yk(x1)，y(x1)由得k2x2(2k24)xk20，16k2160.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x21，所以|AB|x1x2|.同理可得|DE|4(1k2)所以|AB|DE|4(1k2)48484216，当且仅当k2，即k1时，取
22、得等号3 在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：1(ab0)的离心率为，焦距为2.(1)求椭圆E的方程；(2)如图，动直线l：yk1x交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上一点，直线OC的斜率为k2，且k1k2.M是线段OC延长线上一点，且|MC|AB|23，M的半径为|MC|，OS，OT是M的两条切线，切点分别为S，T.求SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率解(1)由题意知，e，2c2，所以c1，所以a，b1，所以椭圆E的方程为y21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程消去y，得(4k2)x24k1x10.由题意知，0，且x1x2，x1x2，所以|AB|x1x2|.由题意可
23、知，圆M的半径r为r|AB|.由题设知k1k2，所以k2，因此直线OC的方程为yx.联立方程得x2，y2，因此|OC|.由题意可知，sin.而，令t12k，则t1，(0,1)，因此1，当且仅当，即t2时等号成立，此时k1，所以sin ，因此，所以SOT的最大值为.综上所述，SOT的最大值为，取得最大值时直线l的斜率为k1.押题预测已知椭圆C1：1(a0)与抛物线C2：y22ax相交于A，B两点，且两曲线的焦点F重合(1)求C1，C2的方程；(2)若过焦点F的直线l与椭圆分别交于M，Q两点，与抛物线分别交于P，N两点，是否存在斜率为k(k0)的直线l，使得2？若存在，求出k的值；若不存在，请说明
24、理由押题依据本题将椭圆和抛物线联合起来设置命题，体现了对直线和圆锥曲线位置关系的综合考查关注知识交汇，突出综合应用是高考的特色解(1)因为C1，C2的焦点重合，所以，所以a24.又a0，所以a2.于是椭圆C1的方程为1，抛物线C2的方程为y24x.(2)假设存在直线l使得2，当lx轴时，|MQ|3，|PN|4，不符合题意，直线l的斜率存在，可设直线l的方程为yk(x1)(k0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x3，y3)，N(x4，y4)由可得k2x2(2k24)xk20，则x1x4，x1x41，且16k2160，所以|PN|.由可得(34k2)x28k2x4k2120，则x2x3，
25、x2x3，且144k21440，所以|MQ|.若2，则2，解得k.故存在斜率为k的直线l，使得2.A组专题通关1已知椭圆1(ab0)的离心率e，左、右焦点分别为F1，F2，且F2与抛物线y24x的焦点重合(1)求椭圆的标准方程；(2)若过F1的直线交椭圆于B，D两点，过F2的直线交椭圆于A，C两点，且ACBD，求|AC|BD|的最小值解(1)抛物线y24x的焦点坐标为(1,0)，所以c1，又因为e，所以a，所以b22，所以椭圆的标准方程为1.(2)当直线BD的斜率k存在且k0时，直线BD的方程为yk(x1)，代入椭圆方程1，并化简得(3k22)x26k2x3k260.36k44(3k22)(3
26、k26)48(k21)0恒成立设B(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1x2，x1x2，|BD|x1x2|.由题意知AC的斜率为，所以|AC|.|AC|BD|4.当且仅当3k222k23，即k1时，上式取等号，故|AC|BD|的最小值为.当直线BD的斜率不存在或等于零时，可得|AC|BD|.综上，|AC|BD|的最小值为.2已知椭圆 C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点P在椭圆C上，且PF1F2的面积的最大值为2.(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线l：ykx2(k0)与椭圆C交于不同的两点M，N，若在x轴上存在点G，使得|GM|GN|，求点G的横坐标的取值范围解(1)
27、由已知得解得a29，b28，c21，椭圆C的方程为1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为E(x0，y0)，点G(m，0)，使得|GM|GN|，则GEMN.由得x236kx360，由0，得kR且k0.x1x2，x0，y0kx02.GEMN，kGE，即，m.当k0时，9k212，m0；当k0时，9k12，00)(1)证明：k；(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且0.证明：|，|，|成等差数列，并求该数列的公差(1)证明设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1.两式相减，并由k，得k0.由题设知1，m，于是k.由题设得0m，故k.(2)解由题意得F(1,0)设P(x3
28、，y3)，则(x31，y3)(x11，y1)(x21，y2)(0,0)由(1)及题设得x33(x1x2)1，y3(y1y2)2mb0)上的一点，F1，F2是该椭圆的左、右焦点，且|F1F2|2.(1)求椭圆C的方程；(2)设点A，B是椭圆C上与坐标原点O不共线的两点，直线OA，OB，AB的斜率分别为k1，k2，k，且k1k2k2.试探究|OA|2|OB|2是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由解(1)由题意知，F1(，0)，F2(，0)，根据椭圆定义可知|MF1|MF2|2a，所以2a 4，所以a24，b2a2c21，所以椭圆C：y21.(2)设直线AB：ykxm(km0)，A(x1，y
29、1)，B(x2，y2)，由消去y，得(14k2)x28kmx4m240，(8km)216(m21)(4k21)0，x1x2，x1x2，因为k1k2k2，所以k2，即km(x1x2)m20(m0)，解得k2.|OA|2|OB|2xxyy(x1x2)22x1x25，所以|OA|2|OB|25.B组能力提高5.已知椭圆C：1(ab0)的上顶点为点D，右焦点为F2(1,0)，延长DF2交椭圆C于点E，且满足|DF2|3|F2E|.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点F2作与x轴不重合的直线l和椭圆C交于A，B两点，设椭圆C的左顶点为点H，且直线HA，HB分别与直线x3交于M，N两点，记直线F2M，F2
30、N的斜率分别为k1，k2，则k1与k2之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由解(1)椭圆C的上顶点为D(0，b)，右焦点F2(1,0)，点E的坐标为(x，y)|DF2|3|F2E|，可得3，又(1，b)，(x1，y)，代入1，可得1，又a2b21，解得a22，b21，即椭圆C的标准方程为y21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，H，M，N.由题意可设直线AB的方程为xmy1，联立消去x，得(m22)y22my10，4m24(m22)0恒成立根据H，A，M三点共线，可得，yM.同理可得yN，M，N的坐标分别为，k1k2yMyN.k1与k2之积为定值，且该定值是.6已知平面
31、上动点P到点F的距离与到直线x的距离之比为，记动点P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)设M(m，n)是曲线E上的动点，直线l的方程为mxny1.设直线l与圆x2y21交于不同两点C，D，求|CD|的取值范围；求与动直线l恒相切的定椭圆E的方程，并探究：若M(m，n)是曲线：Ax2By21(AB0)上的动点，是否存在与直线l：mxny1恒相切的定曲线？若存在，直接写出曲线的方程；若不存在，说明理由解(1)设P(x，y)，由题意，得.整理，得y21，曲线E的方程为y21.(2)圆心到直线l的距离d，直线与圆有两个不同交点C，D，|CD|24.又n21(m0)，|CD|24.|m|2，0m24，01.|CD|2(0，3，|CD|，即|CD|的取值范围为.当m0，n1时，直线l的方程为y1；当m2，n0时，直线l的方程为x.根据椭圆对称性，猜想E的方程为4x2y21.下面证明：直线mxny1(n0)与4x2y21相切，其中n21，即m24n24.由消去y得(m24n2)x22mx1n20，即4x22mx1n20，4m21640恒成立，从而直线mxny1与椭圆E：4x2y21恒相切若点M是曲线：Ax2By21上的动点，则直线l：mxny1与定曲线：1恒相切
