复变函数电子版教案.docx

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1、教 案课程名称复变函数授课专业及层次20XX级电子信息科学与技术本科1班授课内容复数与复数运算学时数3教学目的掌握复数的定义、运算、性质；复数的乘幂与方根的计算重点复数的定义、运算、性质；复数的乘幂与方根的计算难点复数的乘幂与方根的计算；幅角主值的计算自学内容平面点集使用教具多媒体相关学科知识高等数学中复数的相关知识教 学 法启发式教学法讲授内容纲要、要求及时间分配一、本人介绍二、复变函数与积分变换课程的特点与学习方法授课内容：第一篇 复变函数第一章 复数与复变函数第一节 复数第二节 复数的乘幂与方根第三节 平面点集第一节 复数一、复数概念1、复数的定义：形式定义：z=x+iy三角表示： 指数

2、表达式: 2、共轭复数： 设 z=x+iy 则共轭复数 二、计算1、复数的形式运算 设:5分钟5分钟10分钟5分钟5分钟讲授内容纲要、要求及时间分配（附页）2、相关性质交换律、结合律、分配律3、应用例1 证明4、共轭复数的运算性质例2 证明 三、复数的几何表示1、复平面 z=x+iy (x,y) 2、复数的模及性质 3、复数的幅角定义有实轴的正向到向量z之间的夹角称为复数z的幅角，记作Argz4、幅角主值：argz 从而 例3 求和 三、复数四则运算的几何意义1、定理定理 1 两个复数乘积的模等于它们模的乘积；两个复数乘积的幅角等于它们幅角的和。即：定理2 两个复数商的模等于它们模的商；两个复

3、数商的幅角等于被除数与除数的幅角差。5分钟5分钟10分钟5分钟10分钟5分钟10分钟10分钟讲授内容纲要、要求及时间分配（附页）2、应用例 4 求 i ,-2 ,1- 的三角表达式例 5四、扩充复平面复数的球面表示、扩充复平面、复数，第二节 复数的乘幂与方根一、复数的乘幂二、复数的方根三、应用第三节 平面点集一、区域1、邻域：圆盘： 去心圆盘 2、相关概念：内点：、开集、边界点、边界、连通的、开区域（区域）、闭区域 、有界集、无界集二、曲线1、简单曲线、简单闭曲线2、光滑曲线、分段光滑曲线三、单连通区域和多连同区域四、小节： 本将主要讲述了，复数的概念及运算法则，要求会正确计算，并理解相关概念

4、五、作业 习题一 p251.1.3 1.1.6 1.1.18 1.1.19 1.2.3 1.3.3 1.410分钟5分钟10分钟10分钟5分钟10分钟5分钟5分钟教 案姓名刘照军 20102011学年第一学期 时间2010-9-13节次1-3课程名称复变函数授课专业及层次20XX级电子信息科学与技术本科1班授课内容复变函数与初等复变函数学时数3教学目的掌握复数的定义、运算、性质；复数的乘幂与方根的计算重点定义、性质、特别是与对应实函数的比较难点初等复变函数的形式定义与性质自学内容无使用教具多媒体相关学科知识初等函数、欧拉公式教 学 法启发式教学法讲授内容纲要、要求及时间分配一、复习提问1、复数

5、、复数的四则运算、复数的共轭2、复数的模与幅角的定义与性质3、复数的幂与方根4、复数的邻域二、作业讲评 CT一 1.2.3授课内容： 第四节 复变函数1定义：定义:设D是一个给定的复数集，如果有一个法则f， 总有确定的w和它对应，则称f是定义在D上的复变函数，记作w=f(z)，数集D叫做这个函数的定义域。，适合w=f(z)，称为单值函数。否则称其为多值函数。 2、复变函数的几何解释-映照设则复变函数w=f(z)代表的是平面上的点集D到W平面上的点集G之间的一种变换，亦即是一种映照例2-1 试想映照 5分钟5分钟5分钟10分钟讲授内容纲要、要求及时间分配（附页）二、反函数与复合函数1、反函数定义

6、：设D是一个给定的复数集，如果有一个法则f， ,总有确定的w和它对应，则称f是定义在D上的复变函数，记作w=f(z)，反之， ，适合 w=f(z), 则称z是w的反函数，记为： ，G叫做这个函数的定义域。说明：反函数未必是一一映射 2、复合函数定义：第五节 初等函数一、指数函数1、定义：2、性质：3、应用例2-2例例 二对数函数1、定义:对数函数是指数函数的反函数 既，若 则 ，可以推出 多值函数 单值函数 2、性质3、应用例2-3 求 ln(-1)例2-4 计算 lni ; Lni例2-5 计算 ln(-3-4i); Ln(-3-4i) 三、幂函数1、定义： ,其中为复数常数，z为非零的复数

7、变数 2、性质：3、应用三、第五节：初等函数1、 指数函数2、 对数函数3、 幂函数4、 三角函数与反三角函数* 特别注意：性质中与实函数相异的地方5分钟5分钟15分钟10分钟10分钟10分钟10分钟10分钟讲授内容纲要、要求及时间分配（附页）例2- 6 求例2- 7 求 四、三角函数1、正弦函数、余弦函数*定义：性质：2、其他三角函数定义：3、反三角函数定义：五、双曲函数与反双曲函数六、本章总结本章主要介绍了 （一）复数的定义、性质、运算法则、几何意义 （二）复数函数的概念，反函数、复合函数、及初等复数 函数的定义、性质。本章重点掌握内容：定义、性质，会推导性质及各种反函数的形式表达式。特别

8、注意：在学习时，要善于与相应的实函数的定义、性质比较，特别注意不同的地方，能够真正理解，并会证明。七、作业 CT一1.4.41.5.7 1.5.16. 1.5.19 1.5.20. d)1.5.2915分钟10分钟10分钟5分钟5分钟5分钟教 案姓名刘照军 20102011学年第一学期 时间2010-9-20节次1-3课程名称复变函数授课专业及层次20XX级电子信息科学与技术本科1班授课内容复变函数的极限、连续性、导数学时数3教学目的掌握复变函数的极限、连续性、导数的判定方法，会计算导数重点复变函数的极限、连续性、导数，连续与可导的判定定理难点连续与可导的判定定理；不连续点与不可导点的判定自学

9、内容无使用教具多媒体相关学科知识与对应实函数的性质比较教 学 法启发式教学法讲授内容纲要、要求及时间分配一、复习提问1、复变函数的定义及几何意义2、复变函数的反函数与复合函数4、初等复变函数的定义、性质二、作业讲评 CT 一 1.5.29授课内容：第一篇 复变函数第二章 导数第一节 复变函数的极限一、 复变函数的极限概念1、 定义：设f(z)在的某去心邻域D内有定义，若当有，则称常数A为其极限，记为2、应用例3-1 例3-2 3、极限存在的充要条件*定理3-1： 4、 极限定义的扩充5分钟5分钟5分钟5分钟5分钟10分钟讲授内容纲要、要求及时间分配（附页）例3-3例3-4 证明函数。在时极限不

10、存在。二、极限运算法则定理3-2 复变函数的极限对于加、减、乘、除具有封闭性第二节复变函数的连续性一、复变函数的连续性1、定义：若 ，则称函数f(z)在处连续，若f(z)在区域D内处处连续，则称函数在区域D内连续。2、复变函数连续的性质1）定理3：复变函数的连续性对于加、减、乘、除具有封闭性2）定理4：复变函数的连续性对于复合函数具有封闭性3）定理5：复平面上有界闭区域R上的连续函数w=f(z)，它的模 在R上一定有界3、应用例3-5证明sinz,cosz， 在整个复平面上是连续函数 。例3-6 证明 三角函数在定义域内均连续 第三节 导数一、 定义1、定义：设f(z)在 的某邻域D内有定义，

11、若 存在，则称f(z)在 处可导，记为：2、可导复变函数的运算法则定理6：若f(z),g(z)在区域D内可导，则它们的可导性在定义域内对加、减、乘、除封闭定理7：可导性对复合函数封闭定理8：设 是两个互为反函数的单值函数，且 则 10分钟5分钟10分钟10分钟10分钟10分钟10分钟讲授内容纲要、要求及时间分配（附页）二、应用例3-7证明 讨论 结论：1）连续函数未必可导 2）可导函数必然连续 例3-8计算导数 三、函数可导的充要条件*1、定理9：函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在定义域内一点z=x+iy可导的充要条件是：此定理非常重要，必须熟练掌握定理9：函数f(z)=u(r,)+

12、i v(r,)在定义域内一点r=r()可导的充要条件是：四、高阶导数1、定义：对导函数继续求导数既为高阶导数 2、应用;例3-10 应用公式 求五、小结1、复变函数的极限、连续性、可导性的运算法则2、复变函数的连续性、可导性的判断法则六、作业2.1.3 2.15 2.2.1 2.3.5 2.3.1110分钟15分钟10分钟5分钟5分钟5分钟教 案姓名刘照军 20102011学年第一学期 时间2010-9-27节次1-3课程名称复变函数授课专业及层次20XX级电子信息科学与技术本科1班授课内容解析函数与调和函数、习题课学时数3教学目的掌握解析函数与调和函数的定义性质及应用重点解析函数与调和函数的

13、定义性质难点解析函数的充要条件，调和函数的求法自学内容使用教具多媒体相关学科知识实二元函数的定义、性质教 学 法启发式教学法讲授内容纲要、要求及时间分配一、复习提问1、复函数的极限、连续、导数的定义2、复函数的极限、连续、导数存在判定定理3、全微分4、连续、可导、可微的关系二、习题订正 2.3.5 授课内容：第一篇 复变函数第二章 导数第四节 解析函数第五节 调和函数第四节 解析函数1、定义：如果函数f(z)不仅在z处可导，而且在z的某个邻域内任意点可导，则称f(z)在z处解析，如果函数在区域D内任意点解析，则称f(z)在区域D内解析。若f(z)在不解析，则称该点为f(z)的奇点。说明：函数在

14、区域D内任意点解析与函数在该区域可导不等价2、应用例4-1讨论函数的解析性1）f(x)=的解析性2）f(x)=的解析性10分钟5分钟5分钟10分钟讲授内容纲要、要求及时间分配（附页）3、初等函数的解析性初等函数的定义立明4、函数解析的充要条件定理4-1函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其定义域D内解析的充要条件是：u,v在D内可导，且满足柯西黎曼方程。证明：有函数在D内任意一点可导的充要条件立明5、定理应用例4-2 讨论下列函数的解析性1）f(z)=2x(1-y)+i(x2+y2+2y)2) f(z)= *3) f(z)=zRe(z)=(x+iy)x例4-3证明若函数f(z)在某区域

15、内任意点均解析且导数为零，则该函数在此区域上为常数。第五节 调和函数一、调和函数1、 定义：设二元实变量函数h(x,y)在区域D内具有连续的二阶偏导数，并且满足拉普拉斯方程：，则称其为D内的调和函数。2、解析函数与调和函数的关系定理4-2若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是区域D内的解析函数，则u(x,y)、v(x,y)均为D内的调和函数。证明：见下一讲3、共轭调和函数1） 定义：设函数u(x,y)、v(x,y)均是D内的调和函数，而且它们的一阶偏导数满足柯西黎曼方程，则称v(x,y)为u(x,y)的共轭调和函数。2）共轭调和函数的性质定理4-3设f(z)=u(x,y)+iv(x,y),

16、则f(z)在D内解析的充要条件是：在D内v(x,y)是u(x,y)的共轭调和函数。定理4-4：若实变函数v(x,y)在区域D内是u(x,y)的共轭调和函数，则f(z)=u+iv在区域D内解析，f(z)=v(x,y)-iu(x,y)在区域D内亦解析。定理4-5设f(z)=u(x,y)+iv(x,y),若f(z)在D内解析，则在区域D内，v是u的共轭调和函数，u是-v的共轭调和函数。二、已知实部或虚部求解析函数表达式1、方法一、利用调和函数的定义2、方法二 定理4-6设u(ox)是单连通区域D内的调和函数，(x0,y0)为D内任意取定的点，则存在由确定的唯一形式的v(x,y),是f(z)=u+iv

17、是D内的解析函数。10分钟10分钟10分钟5分钟5分钟10分钟5分钟5分钟5分钟5分钟10分钟10分钟讲授内容纲要、要求及时间分配（附页）3、应用例4-4已知下面的调和函数，求解析函数f(z)=u+iv1) u=shxsiny 2)v=x2-y2+2y例4-5 1）已知调和函数u(x,y)=y3-3x2y,求其共轭调和函数v(x,y)使f(z)=u+iv在相应区域解析。 2）已知解析函数的虚部v=x2+y2,求其实部三、本章总结本章重点学习了复变函数的连续、可导、解析函数、调和函数的概念，给出了各自的充要条件。要求：会判断函数的连续性、可导性、解析函数或调和函数。它们之间的关系：四、作业2.4

18、.7 a . d 2.4.9 b 2.4.13. c f 2.5.5 2.5.9 d 2.5.10 d i 10分钟10分钟5分钟5分钟教 案姓名刘照军 20102011学年第一学期 时间2010-10-11节次1-3课程名称复变函数授课专业及层次20XX级电子信息科学与技术本科1班授课内容复变函数的积分学时数3学时教学目的掌握积分的定义、性质、柯西定理与柯西积分公式，会求积分重点积分的定义、性质、柯西定理与柯西积分公式难点柯西定理与柯西积分公式的证明与应用自学内容使用教具无相关学科知识实函数的定积分计算、曲线积分的计算教 学 法启发式教学法讲授内容纲要、要求及时间分配一、复习提问1、解析函数

19、、调和函数、共轭函数的定义2、解析函数的充要条件；3、调和函数的充要条件；4、共轭函数的充要条件5、已知实部或虚部求解析函数的虚部或实部的两种方法二、习题订正 2.4.9 b 第三章 积分第一节 积分的概念、性质、计算第二节 柯西定理及其推广第三节 柯西积分公式第四节 解析函数的导数三、第一节 积分的概念、性质、计算1、不定积分原函数的定义：如果在区域D内，可导函数F(z)的导数为f(z)，则称F(z)在区域D内是f(z)的原函数。不定积分的定义：区域D内f(z)的原函数F(z)+C称为f(z)在D内的不定积分记为：2、定积分定义：其中，f(z)为以z0为起点，z为终点的简单曲线C上的连续函数

20、。10分钟10分钟5分钟5分钟讲授内容纲要、要求及时间分配（附页）3、性质：与实函数的定积分性质形式相同例5-1设C是一条可求长的曲线，求例5-2证明 例5-3 计算例5-4 例5-5计算和 ，积分路径为z=-1到z=1的正向或逆向单位圆周。例5-6*，其中C为以为圆心，r为半径的正向圆周，n为整数。结论：在有时积分与路径选择无关？后续内容将解决该问题四、第二节 柯西定理及其推广柯西定理：定理5-1 设C是一条简单正向闭曲线，f(z)在以C为边界的有界闭区域D上解析，则定理5-2 设D为外边界C0及内边界C1、C2Cn围成的有界多连通区域，f(z)在D内及边界线上解析，则； 也可表示为：五、柯

21、西积分公式定理5-3*定理5-4 设f(z)在简单正向闭曲线C及其所为区域D内处处解析，z0为D内任意点，那么例5-710分钟10分钟10分钟10分钟10分钟10分钟10分钟10分钟讲授内容纲要、要求及时间分配（附页）第四节 解析函数的导数一、 定理定理5-5设f(z)在简单正向闭曲线C及其所围区域D内处处解析，z0为D内任意点，那么推论：如果一个函数在某点解析，那么它的各阶导数在该点亦解析，进而有二、本章总结本章重点学习了复变函数的积分，柯西积分定理及其推广，解析函数的积分，积分与函数值的关系。本章内容是后续课程的基础，必须熟练掌握三、作业 第三章习题 p693.2.5 b d e3.3.1

22、 c d g3.3.33.4.1 g h j3.4.715分钟10分钟10分钟5分钟教 案姓名刘照军 20092010学年第一学期 时间2009-10-18节次1-3课程名称复变函数授课专业及层次20XX级电子信息科学与技术本科1班授课内容幂级数与泰勒级数学时数3学时教学目的掌握收敛级数、幂级数与泰勒级数的定义、性质及判断方法重点收敛级数、幂级数与泰勒级数的性质及判断方法难点函数的幂级数与泰勒级数的展开自学内容无使用教具多媒体相关学科知识高等数学中关于级数的收敛、函数的泰勒级数与幂级数的展开教 学 法启发式教学法讲授内容纲要、要求及时间分配一、复习提问1、柯西积分公式2、解析函数的导数二、习题

23、订正1、3.3.1 c d g 3.3.2* 3.4.1 j 授课内容：第一篇 复变函数第四章 级数第一节 收敛序列和收敛级数第五节 幂级数第六节 泰勒级数一、收敛序列1、定义：定义6-1：对于复数序列zn,若充要条件：例6-1下列各数列是否收敛，若收敛求其极限5分钟15分钟10分钟10分钟讲授内容纲要、要求及时间分配（附页）2 、收敛数项级数定义：充要条件 定理6-3例6-2判断下列级数是否绝对收敛，是否收敛？2、 函数项级数 定义：二、幂级数1、定义：2、 收敛半径5分钟5分钟10分钟5分钟5分钟5分钟10分钟10分钟讲授内容纲要、要求及时间分配（附页）3、 幂级数和函数的性质三、泰勒级数

24、1、泰勒级数 2、应用 5分钟5分钟10分钟15分钟讲授内容纲要、要求及时间分配（附页） 四、小结本讲主要研究了级数、幂级数的定义、性质、收敛判定定理、收敛半径、函数的泰勒展式与麦克劳林级数五、作业 4.1.4 4.1.8 4.2.2 4.2.4 b) 4.3.2 c) d) 4.3.5 4.3.12* 10分钟5分钟5分钟教 案姓名刘照军 20102011学年第一学期 时间2010-10-25 节次1-3课程名称复变函数授课专业及层次20XX级电子信息科学与技术专业本科1班授课内容罗朗级数、习题课学时数3教学目的掌握罗朗级数的定义，会将特殊的函数展为级数重点罗朗级数的定义及函数展为级数难点化

25、一般函数为特殊函数，进而求出级数自学内容无使用教具多媒体相关学科知识特殊函数的级数展式教 学 法启发式、习题课讲授内容纲要、要求及时间分配一、复习提问 1、收敛级数的定义及判定方法2、幂级数的定义及判定方法、收敛半径的确定3、函数展为泰勒级数的方法、常见函数展为泰勒级数 收敛半径的确定二、习题订正 CT 4.1.4 4.1.8 4.2.2 4.2.4 4.3.2授课内容 第四章 级数第四节 罗朗级数一、罗朗级数1、定义：形如的级数称为罗朗级数，其中是复常数，称为罗朗级数的系数。2、罗朗级数的收敛若在z处收敛，在z亦处收敛，则称罗朗级数在z处收敛。15分钟15分钟5分钟15分钟 讲授内容纲要、要

26、求及时间分配（附页）3、收敛区间二、解析函数的罗朗展开式1、定理7-12、应用例 7-1例 7-2*例 7-3例 7-4例 7-5例 7-6结论：罗朗级数的求法主要是将一般函数化为特殊函数，确定系数及收敛半径。三、本章总结1、收敛序列2、收敛级数3、幂级数4、幂级数的收敛判定5、收敛半径与收敛圆盘6、幂级数的和函数的性质7、泰勒级数8、特殊函数的泰勒级数9、罗朗级数10、化一般函数为罗朗级数四、作业4.3.12 4.4.1 b 4.4.2 4.4.4 a c 4.4.5 a c 4.4.710分钟20分钟10分钟10分钟10分钟10分钟10分钟15分钟5分钟教 案姓名刘照军 20102011学

27、年第一学期 时间2010-11-01 节次1-3课程名称复变函数授课专业及层次20XX级电子信息科学与技术专业本科1班授课内容解析函数的孤立奇点、留数学时数3教学目的掌握奇点定义、分类、性质、会计算留数重点奇点定义、分类、判别方法、性质、留数的定义与计算难点奇点的类型判定，留数的计算与应用自学内容无使用教具多媒体相关学科知识方程的零点阶的判定教 学 法启发式讲授内容纲要、要求及时间分配一、复习提问1、罗朗级数的定义2、特殊函数的罗朗级数3、化一般函数为罗朗级数二、习题订正 4.3.12 4.4.1 b 4.4.2 4.4.4 a c4.4.5 a c 4.4.7授课内容第五章 留数第一节 解析

28、函数的孤立奇点第二节 留数的一般理论一、留数的定义与计算二、留数定理第一节 解析函数的孤立奇点一、孤立奇点的定义及分类1定义：设函数f(z)在z0的去心邻域D: 内解析，但在z0处不解析，则称z0为f(z)的孤立奇点2、孤立奇点的分类：设函数f(z)在z0的去心邻域D内解析，但在z0处不解析：f(z)在z0的罗朗展式中有（1）当n=-1,-2,时，cn=0,则称z0是f(z)的可去奇点（2）若仅有有限个负整数n,使 则称z0 是f(z)的极点。若对于正整数m，有，n-m时， cn=0， 则称z0 是f(z)的m阶极点。（3）若有无限多个n1)极点时，Res(f, z0)=3、应用：例8-4求下

29、列函数的留数二、留数定理*定理8-5设D是复平面上的有界闭区域，若函数f(z)在D内除有限个孤立奇点z1 ,z2, z3 zn 外处处解析，且在D的边界上亦解析，则有三、小结本讲主要讲述了奇点的判定，留数的计算，及留数的应用，特别是计算实函数的定积分及广义积分问题应深刻理解。四、作业：5.1.1 b k l 5.2.4 e f g10分钟10分钟10分钟10分钟10分钟5分钟5分钟教 案姓名刘照军 20102011学年第一学期 时间2010-11-08 节次1-3课程名称复变函数授课专业及层次20XX级电子信息科学与技术专业本科1班授课内容留数对定积分的应用、习题课学时数3教学目的掌握留数与积

30、分的关系，会计算复几分及实广义积分重点留数的计算与应用难点留数与奇点关系、积分的计算自学内容无使用教具多媒体相关学科知识定积分、广义积分教 学 法讲授法讲授内容纲要、要求及时间分配一、复习提问1、孤立奇点在定点处的定义与分类2、孤立奇点在定点处的类型判定3、极点的阶的确定？4、极点与零点的关系？5、极点与零点的阶的关系？6、孤立奇点在无穷远处的定义与分类*7、留数的定义与计算*8、留数定理二、习题订正 求下列各函数在其孤立奇点的留数？授课内容第五章 留数第二节 留数的一般理论第三节 留数对定积分计算的应用一、留数在复积分中的应用例 9- 1 15分钟15分钟20分钟 讲授内容纲要、要求及时间分配（附页）结论：计算包含有孤立奇点的定积分时：在积分区域内1）确定孤立奇点，并判断类型2）分别求出孤立奇点的留数3）利用留数定理计算定积分二、无穷远点的留数1、定义：定理9-1设函数f(z)在扩充的复平面上除有限个孤立奇点z1 ,z2, z3 zn ， 外处处解析，则有2、应用例 9- 2三、留数对定积分计算的应用例 9-3例9-4计算积分例9-5计算积分例9-6 计算积分四、本章小结本章主要讲述了奇点的判定，留数的计算，及留数的应用，特别是计算实函数的定积分及广义积分问题应深刻理解。五、作业：5.2.7 c d e5.3.1 d f h10分钟15