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1、,数学想与数学化质此的次数学危机WALLCOO,COM,第六讲历史上的三次数学危机前言、第一次数学危机、危机的起因2、危机的实质3、危机的解决第二次数学危机危机的引发2、危机的实质3、危机的解决三、第三次数学危机1.“数学基础”的曙光集合论2.算术的集合论基础罗素的“集合论悖论”引发危机4.危机的消除四、三次数学危机与“无穷”的联系,前言历史上,数学的发展有顺利也有曲折。大的挫折也可以叫做危机。危机也意味着挑战,危机的解决就意味着进步。所以,危机往往是数学发展的先导。数学发展史上有三次数学危机。每次数学危机,都是数学的基本部分受到质疑。实际上,也怜恰是这三次危机,引发了数学上的次思想解放,大大
2、推动了数学科学的发展,第一次数学危机1危机的起因第一次数学危机是由2不能写成两个整数之比引发的。毕达哥拉斯(约公元前580前500)古希腊哲学家、数学家、天文学家,1.这一危机发生在公元前5世纪,危机来源于:当时认为所有的数都能表示为整数比,但突然发现2不能表为整数比。第一次数学危机是由毕达哥拉斯学派内部提出的2危机的实质:2是无理数,全体整数之比构成的是有理数系,有理数系需要扩充,需要添加无理数,当时古希腊的欧多克索斯部分地解决了这一危机。他采用了一个十分巧妙的关于“两个量之比”的新说法,回避了2是无理数的实质,而是用几何的方法去处理不可公度比。这样做的结果,使几何的基础牢靠了,几何从全部数
3、学中脱颖而出。欧几里得的几何原本中也采用了这一说法,以致在以后的近二千年中,几何变成了几乎是全部严密数学的基础。,3.危机的解决但是彻底解决这一危机是在19世纪,依赖于数系的扩张。直到人类认识了实数系,这次危机才算彻底解决,这已经是两千多年以后的事情了。,二.第二次数学危机第二次数学危机发生在牛顿创立微积分的十七世纪。第一次数学危机是由毕达哥拉斯学派内部提出的,第二次数学危机则是由牛顿学派的外部、贝克莱大主教提出的,是对牛顿“无穷小量”说法的质疑引起的。,1.危机的引发1)牛顿的“无穷小”牛顿的微积分是一项划时代的科学成就,蕴含着巨大的智慧和创新,但也有逻辑上的问题。我们来看一个例子。微积分的一个来源,是想求运动物体在某一时刻的瞬时速度。在牛顿之前,只能求一段时间内的速度,无法求某一时刻的瞬时速度。,例如,设自由落体在时间f下落的距离为S(1),有公式SO)=282其中8是固定的重力加速度。我们要求物体在t0的瞬时速度,先求AS=S(1)-S(t0)=t-gt6(o+)2-621=820+(t)2ASM-80+8(,
