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1、圆与扇形公式与割补内容提要本讲主要讲解与圆和扇形有关的概念，及周长、面积公式等下面我们来说说这方面的基础知识圆是我们在生活中经常见到的图形，它也是最完美的平面图形：有无数条通过圆心的对称轴，绕圆心旋转任何角度还保持原状而且，所有的平面图形在周长相同的情况下，圆的面积是最大的我们知道，圆的周长和直径的比值是一个固定不变的数，这正是圆周率，用表示另外，一般把直径记作d，半径记作r，如图1所示dr图1所以，圆的周长，圆的面积如图3，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫扇形它是圆的一部分，所以关于扇形的各种计算可以应用圆里面的结论nr图3扇形的圆心角为n时，它的弧长和面积应该分别是圆周
2、长和圆面积的所以，扇形弧长=，面积=我们先来熟悉一下这些公式练习：1. 半径是2的圆的面积和周长分别是多少？2. 直径是5的圆的面积和周长分别是多少？3. 周长是10的圆的面积是多少？4. 面积是9的圆的周长是多少？例题一、 基本公式运用例题1. 已知扇形的圆心角为120，半径为2，则这个扇形的面积和周长各是多少？（圆周率按3.14计算）例题2. 已知扇形面积为18.84平方厘米，圆心角为60，则这个扇形的半径和周长各是多少？ （圆周率按3.14计算）60随堂练习：1. 已知一个扇形的弧长为0.785厘米，圆心角为，这个扇形的半径和周长各是多少？2. 扇形的面积是31.4平方厘米,它所在圆的面
3、积是157平方厘米,这个扇形的圆心角是多少？例题3. 如图，直角三角形ABC的面积是45，分别以B，C为圆心，3为半径画圆已知图中阴影部分的面积是35.58请问：角A是多少度？（取3.14）ABC二、 圆中方，方中圆例题4. 如图，左下图和右下图中的正方形边长都是2，那么大圆、小圆的面积分别为_、_随堂练习：1. 已知外面大圆的半径是4，里面小圆的面积是多少？（答案用表示）二、割补法例题5. 求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米，圆周率按3.14计算）：223（1） （2）随堂练习：求下图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米，圆周率按3.14计算）：（1） （2） 47 例题6. 求
4、下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米，圆周率按3.14计算）：22（1） （2）例题7. 已知图中正方形的边长为2，分别以其四个顶点为圆心的直角扇形恰好交于正方形中心，那么图中阴影部分的面积为_（答案用表示）例题8. 根据图中所给数值，求下面图形的外周长和总面积分别是多少？（取3.14） 4随堂练习：1. 根据下图中给出的数值，求这个图形的外周长和面积（取3.14）6例题9. 求图中阴影部分的面积（圆周率p取3.14）45o 45o20厘米思考题图中的4个圆的圆心是正方形的4个顶点，它们的公共点是该正方形的中心如果每个圆的半径都是1厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？ 作业：1.
5、 半径为4厘米的圆的周长是_厘米，面积是_平方厘米；（25.12，50.24）O7厘米2. 半径为4厘米，圆心角为的扇形周长是_厘米，面积是_平方厘米（取3.14）（14.28，12.56）3. 家里来客人了，淘气到超市买了4瓶啤酒，售货员阿姨将4瓶啤酒捆扎在一起（如下图所示），捆4圈至少要用绳子_厘米（取3.14，接头处忽略不计）1114. 求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米，圆周率按3.14计算）：（1） （2）1010 5. 下列图形中的正方形的边长为2，则下图中各个阴影部分面积的大小分别为_、_（取3.14）（0.86；2）O6. 用一块面积为36平方厘米的圆形铝板下料，从
6、中裁出了7个同样大小的圆铝板问：所余下的边角料的总面积是多少平方厘米？ 圆与扇形旋转与重叠知识总结：学习如何利用割补法和包含排除的思想计算图形中特定部分的面积；学会分析几何图形的运动过程，并由此得出点的轨迹和图形扫过的区域例题：一、 重叠问题例题1. 下图中甲区域比乙区域的面积大57平方厘米，且半圆的半径是10厘米，那么其中直角三角形的另一条直角边的长度是多少？（圆周率p取3.14） 甲乙例题2. 下图中有一个等腰直角三角形ABC，一个以AB为直径的半圆，和一个以BC为半径的扇形已知厘米图中阴影部分的面积为多少平方厘米？（取3.14）ACBDE随堂练习ABC1. 如图17-13，以AB为直径做
7、半圆，三角形ABC是直角三角形，阴影部分比阴影部分的面积小28平方厘米，AB长40厘米求BC的长度（p取3.14）例题3. 如图，直角三角形的两条直角边分别为3和5，分别以三条边做了3个半圆（直角顶点在以斜边为直径的半圆上），那么阴影部分的面积为_（6）543例题4. 图1是一个直径是3厘米的半圆，AB是直径如图2所示，让A点不动，把整个半圆逆时针转60，此时B点移动到C点请问：图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（取3.14）图1ABAB60图2C二、 动态扫面积问题ABCDEGHF例题5. 如图，正方形ABCD边长为1厘米，依次以A、B、C、D为圆心，以AD、BE、CF、DG为半径画出四个直
8、角扇形，那么阴影部分的面积为_平方厘米（取3.14）例题6. 如图所示，以等边三角形的B、C、A三点分别为圆心，分别以AB、CD、AE为半径画弧，这样形成的曲线ADEF被称为正三角形ABC的渐开线，如果正三角形ABC的边长为3厘米，那么此渐开线的长度为多少厘米，图中、三部分的面积之和是多少平方厘米？ABCDEIIIIII三、 运动圆扫面积例题7. 图中正方形的边长是4厘米，而圆环的半径是1厘米当圆环绕正方形无滑动地滚动一周又回到原来位置时，其扫过的面积有多大？（取3.14） 随堂练习1. 图中长方形的长是10厘米，宽是4厘米，而圆环的半径是1厘米当圆环绕正方形无滑动地滚动一周又回到原来位置时，
9、其扫过的面积有多大？（取3.14） 例题8. 图中等边三角形的边长是3厘米，而圆环的半径是1厘米当圆环绕等边三角形无滑动地滚动一周又回到原来位置时，其扫过的面积有多大？（取3.14） 思考题如图所示，一只小狗被拴在一个边长为4米的正五边形的建筑物的一个顶点处，四周都是空地绳长刚好够小狗走到建筑物外墙边的任一位置小狗的活动范围是多少平方米？（建筑外墙不可逾越，小狗身长忽略不计，取3）狗作业：1. 图17-14由一个长方形与两个90角的扇形构成，其中阴影部分的面积是_平方厘米（p取3.14）52图17-142. 图中有一个矩形和两个半径分别为5和2的直角扇形，那么两个阴影部分的面积相差为_（取3.
10、14）3. 如图，直角三角形的两条直角边长分别是10cm和6cm，分别以直角边为直径作出两个半圆，这两个半圆的交点恰好落在斜边上，那么阴影部分的面积是_cm2（p取3.14）（17p-30）10cm6cm4. 图1是一个直径是3厘米的半圆，AB是直径如图2所示，让A点不动，把整个半圆逆时针转60，此时B点移动到C点请问：图中阴影部分的面积是_平方厘米（取3.14）图1ABABC40图2C5. 图中正方形的边长是6厘米，而圆环的半径是1厘米当圆环绕正方形无滑动地滚动一周又回到原来位置时，其扫过的面积有_（取3.14） 6. 图中等边三角形的边长是5厘米，圆形的半径是1厘米当圆形绕等边三角形滚动一
11、周又回到原来位置时，扫过的面积有_（取3.14）几何计数知识总结：例题：一、 枚举或分类解题利用枚举法以及分类的方法进行几何计数，特别是对于正方形和三角形的计数问题通常按照面积的大小或者包含基本图形的多少来对图形进行分类例题1. 小杰瑞把巧克力棒摆成了如图所示的形状，其中每一条小短边代表一个巧克力棒请问：（1）一共有多少个巧克力棒？（2）这些巧克力棒共构成了多少个三角形？（3）嘴馋的小杰瑞吃掉一个巧克力棒后（图中两端带有箭头的小边），剩下的图形中还有多少个三角形？随堂练习1. 图中共有_个三角形；例题2. 如图，它是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形，其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大
12、的正三角形图中包含“*”的各种大小的正三角形一共有_*例题3. 如图，AB，CD，EF，MN互相平行，则图中三角形个数是_OBMAEFCDN例题4. 图中有多少个正方形？ 二、 与排列组合有关的计数利用排列组合的方法进行几何计数，特别是对于矩形和四边形的计数问题例题5. 如图，线段AB，BC，CD，DE的长度都是3厘米请问：（1）图中一共有多少条线段？（2）这些线段的长度之和是多少厘米？3厘米3厘米3厘米3厘米ABCDE随堂练习1. 求图中一共有多少条线段例题6. 求图中一共有多少条线段求图中一共有多少个矩形（15）随堂练习1. 如图，四条边长度都相等的四边形称为菱形用16个同样大小的菱形组成
13、如图的一个大菱形数一数，图中共有多少个菱形？例题7. 右图是一个长为9，宽为4的长方形网格，每一个小格都是一个正方形，那么：1）从中可以数出_个矩形2）从中可以数出_个正方形3）从中可以数出包含_个，正方形有_个（450）（80）（144、15）随堂练习（1）图中包含的长方形有_个包含J的正方形又有_个（2）图中同时包含J和的长方形有_个 J三、 与容斥原理有关的几何计数例题8. 图中一共包含多少个矩形？多少个正方形？（135，35）随堂练习1. 图中有_个矩形思考题用16个边长为1的等边三角形拼成一个边长为4的大等边三角形，那么组成的图形中可以找出多少个平行四边形？作业1. 数一数图中一共有
14、多少条线段？2. 图中共有_个三角形【分析与解】按边长分类数，图中共有个三角形；平行四边形共有个3. 在图中，包含的长方形共有_个4. 图中有_个矩形，_个正方形【分析与解】图中共有个正方形，19个长方形这道题适合按大小分类数5. 图中有三角形_个，梯形_个ABC【分析与解】三角形有个，梯形有个6. 图中有_个正方形，_个长方形【分析与解】答案是38，144长方形有 个，正方形有个（这里给出正方形的求法比较巧妙，如果不合适，请按正方形的边长分类枚举）行程本讲建议不分专题由于，我没有看咱们秋季的题目，所以选题会有问题，我大致按照，火车问题，行船流水，多次相遇与追及，多人相遇与追及，比例来出的题知
15、识总结：本讲重点学习在小升初中和各个杯赛中的较复杂的行程问题，行程问题主要有三组共9个基本公式：（1） ；（2） ；（3） ；要会灵活运用公式，通过已知的条件求出未知的路程、速度或时间此时，我们还经常需要用到以下这三个基本倍数关系：当运动的速度相同时，时间的倍数关系等于路程的倍数关系；当运动的时间相同时，速度的倍数关系等于路程的倍数关系；当运动的路程相同时，时间的倍数关系等于速度的倍数关系，但注意时间长的速度慢，时间短的速度快例题1. （ ）甲、乙两地间的路程是600千米，上午8点客车以平均每小时60千米的速度从甲地开往乙地，货车以平均每小时50千米的速度从乙地开往甲地要使两车在全程的中点相遇
16、，货车必须在上午几点出发？建议：加入杯赛或学校例题2. （ ）某学校组织学生去春游，以2米/秒的速度前进，一名学生以4米/秒的速度从队尾跑到队头，再回到队尾，共用6分钟，那么队伍的总长为多少米？例题3. A城在一条河的上游，B城在这条河的下游A、B两城的水路距离为396千米一艘在静水中速度为每小时12千米的渔船从B城往A城开，一艘在静水中速度为每小时30千米的治安巡逻艇从A城往B城开已知河水的速度为每小时6千米，从A流向B两船在距离A城180千米的地方相遇巡逻艇在到达B城后得到消息说他们刚才遇到的那艘渔船上有一名逃犯，于是巡逻艇立刻返回去追渔船请问巡逻艇能不能在渔船到达A城之前追上渔船？如果能
17、的话，请问巡逻艇在距A城多远的地方追上渔船；如果不能的话，请算出巡逻艇比渔船慢多少小时到A城例题4. 蜗牛沿着公路前进，对面来了一只兔子，他问兔子：“后面有乌龟吗？”，兔子回答说：“10分钟前我超过了一只乌龟”，接着蜗牛继续爬了10分钟，遇到了乌龟已知乌龟的速度是蜗牛速度的10倍，那么兔子速度是乌龟速度的_倍例题5. 甲、乙二人相距100米的直路上来回跑步,甲每秒钟跑2.8米,乙每秒钟跑2.2米.他们同时分别在直路两端出发,当他们跑了30分钟时,这段时间内相遇了几次？例题6. 甲乙两车同时从A、B两地出发相向而行，两车在距离B地64千米的地方第一次相遇，相遇后两车继续原速前进，并且在到达对方出
18、发点之后，立即沿原路返回，途中在距离A点48千米处第二次相遇，问：两次相遇点距离是多少千米？例题7. 甲、乙两车分别从A、B两地出发，在A、B之间不断往返行驶，已知甲车的速度是每小时15千米，乙车的速度是每小时35千米，并且甲、乙两车第三次相遇（这里特指面对面的相遇）的地点与第四次相遇的地点恰好相距120千米，那么，A、B两地之间的距离等于_ 千米例题8. 快、中、慢3辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人这3辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人现在知道快车每小时走24千米，中车每小时走20千米，那么，慢车每小时走多少千米？例题9. 有甲乙丙三车各以一定的速度从A到B
19、，乙比丙晚出发10分钟，出发后40分钟追上丙，甲比乙又晚出发10分钟，出发后60分钟追上丙，问，甲出发后多少分钟可以追上乙？思考题这个版本用的事华文彩云一次越野赛跑中，当小明跑了1600米时，小刚跑了1450米，此后两人分别以每秒a米和每秒b米匀速跑，又过100秒时小刚追上小明，200秒时小刚到达终点，300秒时小明到达终点，这次越野赛跑的全程为多少本题是比例解题，看起来较难？作业1. 现有两列火车同时同方向齐头行进，快车每秒行18米，慢车每秒行10米，行12秒后快车超过慢车如果这两辆火车车尾相齐同时同方向行进，则9秒后快车超过慢车那么快慢两车的车长分别是几米？2. 一辆中巴车6点（24小时制
20、）从A城出发，以每小时40千米的速度向B城驶去，3小时后一辆小轿车以每小时75千米的速度也从A出发到B当小轿车到达B后，中巴车离B还有90千米那么中巴车是几点几分到达B的？3. 甲、乙两人从相距为46千米的A、B两地出发相向而行，甲比乙先出发一个小时他们两人在乙出发后4小时相遇，又已知甲比乙每小时快2千米，那么乙的速度为每小时多少千米？4. 甲、乙两人分别从南北两地相对而行已知甲每分钟走50米，乙走完全程要30分钟相对而行10分钟后，甲、乙仍相距100米那么还要过多少秒钟，甲、乙第一次相遇？5. （第三届“走进美妙的数学花园”团体对抗赛第22题）一个和尚每天早晨都到河边去提一桶水，他提空桶时每秒走3米，提满桶时每秒2米，来回一趟需10分钟。寺庙距河边有多少米？6. (首师大附中考题)甲，乙两人在一条长100米的直路上来回跑步，甲的速度3米/秒，乙的速度2米/秒。如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了10分钟以后，共相遇了多少次？
