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1、高一上学期数学单元测试(基本初等函数和函数的应用) 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）.1函数f(x)的定义域是（ ）A，0 B0， C（，0）D（，）2若函数f(x) = + 2x + log2x的值域是 3，1, 5 +, 20，则其定义域是（ ）A0，1，2，4 B，1，2，4 C，1，2，4 D，1，2，43函数y=log (2x23x+1)的递减区间为（ ） A（1，+）B（，） C（，+） D（，）4若（ ） A关于直线y =x对称 B关于x轴对称 C关于y轴对称 D关于原点
2、对称5下列函数中，同时满足：是奇函数，定义域和值域相同的函数是（ ）Ay= By=lg Cy=-x Dy=6f(x)=x+2x5的零点一定位于以下的区间 （）A(1,2) B(2,3) C(3,4) D(4,5)7幂函数及直线，将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：，（如图所示），那么幂函数的图象经过的“卦限”是（ ） A，B，C，D，8下表是函数值随自变量变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型 （ ）x45678910y15171921232527A一次函数模型 B二次函数模型 210y/m2t/月23814C指数函数模型 D对数函数模型9如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积()与
3、 时间(月)的关系：，有以下叙述：这个指数函数的底数是2；第5个月时,浮萍的面积就会超过；浮萍从蔓延到需要经过1.5个月；浮萍每个月增加的面积都相等。其中正确的是（ ）A B C D2008090210若，则（ ）Aabc Bcba Ccab Dbac11设函数，有（ ）A在定义域内无零点B存在两个零点，且分别在、内C存在两个零点，且分别在、内D存在两个零点，都在内12在计算机的算法语言中有一种函数叫做取整函数（也称高斯函数），它表示的整数部分，即是不超过的最大整数例如：。设函数，则函数的值域为 （ ）ABC D 二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）。1
4、3函数是定义在上的奇函数，当时，则的值为 .14若函数唯一的一个零点同时在区间、内，下列结论： （1）函数在区间内有零点； （2）函数在区间或内有零点； （3）函数在区间内无零点； （4）函数在区间上单调递增或递减其中正确的有（写出所有正确结论的序号）.15若对任意的，则a .16给出下列四种说法：函数（且）与函数（且）的定义域相同；函数与的值域相同；函数与都是奇函数；函数与在区间0，上都是增函数.其中正确的序号是_ _（把你认为正确叙述的序号都填上）.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6个大题，共74分).17（12分）已知函数. （1）求证：不论为何实数总是为增函
5、数； （2）确定的值，使为奇函数； （3）当为奇函数时，求的值域.18（12分）对于， （1）函数的“定义域为R”和“值域为R”是否是一回事？分别求出实数a的取值范围； （2）结合“实数a的取何值时在上有意义”与“实数a的取何值时函数的定义域为”说明求“有意义”问题与求“定义域”问题的区别.19（12分）证明方程内有唯一一个实数解,并求出这个实数解（精确到0.1）.20（12分）某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了估计以后每月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量，与月份的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数（、为常数）已知四月份
6、该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作模拟函数较好？说明理由.21（12分）已知定义域为R的函数满足. （1）若 （2）设有且仅有一个实数，使得，求函数的解析表达式.22（14分）设f（x）是定义在0，1上的函数，若存在x*（0，1），使得f（x）在0， x*上单调递增，在x*，1上单调递减，则称f（x）为0，1上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为含峰区间对任意的0，l上的单峰函数f（x），下面研究缩短其含峰区间长度的方法. （1）证明：对任意的x1，x2（0，1），x1x2，若f（x1）f（x2），则（0，x2）为含峰区间；若f（x1）f（x2），则（x*，1）为含峰区间；
7、（2）对给定的r（0r0.5，证明：存在x1，x2（0，1），满足x2x12r，使得由 （I）所确定的含峰区间的长度不大于0.5r； （3）选取x1，x2（0，1），x1x2，由（I）可确定含峰区间为（0，x2）或（x1，1），在所得的含峰区间内选取x3，由x3与x1或x3与x2类似地可确定一个新的含峰区间在第一次确定的含峰区间为（0，x2）的情况下，试确定x1，x2，x3的值，满足两两之差的绝对值不小于0.02，且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34.（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）高一上学期数学单元测试(基本初等函数和函数的应用) 参考答案一、选择题200809021A；提示：成立
8、只需要保证；2B；提示：依次将选项答案代入验证即可；3D；提示：复合函数单调性，注意定义域；4C；提示：，所以；5C；提示：由幂函数时的性质可得；6B；提示：由零点存在性定理得来，；7D；提示：结合幂函数的五种形式，在代入和2验证即可；8A；提示：随着自变量每增加1函数值增加2，一定为一次函数；9D；提示：结合图像说明，理解指数爆炸的意义；10B；提示：构造函数，通过观察图像上的点（）、（）、（）与原点连线所构造的直角三角形的边长比值的变化求得；11D；提示：将二次函数按平移来处理观察根的变化情况；12B；提示：该题具有迷惑性，值域与函数无关；由于，分为0和不为0两种情况讨论；二、填空题132
9、；提示：；14（3）；提示：零点存在性定理能确定零点的区间，一般不可能求出具体的位置；15；提示：我们首先取代入关系式进行验证，必有成立，即。假设，则当时，关系式不成立。所以。由，且，有；16；提示：函数的值域为R，的值域（0，）；函数在 上单增；三、解答题17解：（1）的定义域为R, 设，则=，, ,即,所以不论为何实数总为增函数4分 （2）为奇函数, ,即,解得: 8分（3）由(2)知, ,所以的值域为12分18解：记，则； （1）不一样；1分定义域为R恒成立。得：，解得实数a的取值范围为。4分值域为R：值域为R至少取遍所有的正实数，则，解得实数a的取值范围为。6分（2）实数a的取何值时在
10、上有意义：命题等价于对于任意恒成立，则或，解得实数a得取值范围为。8分实数a的取何值时函数的定义域为：由已知得二次不等式的解集为可得，则a=2。故a的取值范围为2。11分区别：“有意义问题”正好转化成“恒成立问题”来处理，而“定义域问题”刚好转化成“取遍所有问题”来解决（这里转化成了解集问题，即取遍解集内所有的数值）12分19证明：设函数使.2分又是增函数,所以函数在区间1,2有唯一的零点,则方程在区间1,2有唯一一个实数解.设该解为4分取取取取则方程的实数解为12分20解：设二次函数为由已知得解之得 所以，当时，4分又对函数由已知得 解之得 当时，8分根据四月份的实际产量为1.37万元，而所
11、以函数作模拟函数较好12分21解：(1)对任意，函数满足，且 ，=f(a)=a4分 （2）对任意，函数满足,有且仅有一个实数,使得6分对任意，有上式中，令，则，故8分若，则，则，但方程有两个不相同的实根与题设茅盾，故10分若，则，则，此时方程有两个相等的实根，即有且仅有一个实数,使得.12分22（1）证明：设x*为f（x） 的峰点，则由单峰函数定义可知，f（x）在0， x*上单调递增，在x*，1上单调递减当f（x1）f（x2）时，假设x*（0，x2），则x1x2f（x1），这与f（x1）f（x2）矛盾，所以x*（0，x2），即（0，x2）是含峰区间.当f（x1）f（x2）时，假设x*（ x2，
12、1），则x*x1f（x2），这与f（x1）f（x2）矛盾，所以x*（x1，1），即（x1，1）是含峰区间.4分 （2）证明：由（I）的结论可知：当f（x1）f（x2）时，含峰区间的长度为l1x2；当f（x1）f（x2）时，含峰区间的长度为l2=1x1；对于上述两种情况，由题意, 得 6分由得1x2x11+2r，即x1x12r.又因为x2x12r，所以x2x1=2r， 将代入得x10.5r， x20.5r， 8分由和解得 x10.5r， x20.5r所以这时含峰区间的长度l1l10.5r，即存在x1，x2使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5r。10分 （3）解：对先选择的x1；x2，x1x3时，含峰区间的长度为x1。由条件x1x30.02，得x1（12x1）0.02，从而x10.34。因此，为了将含峰区间的长度缩短到0.34，只要取x10.34，x20.66，x3=0.3214分
