利用空间向量证明平行课件.ppt

《利用空间向量证明平行课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《利用空间向量证明平行课件.ppt（61页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、3.2.2,利用空间向量证明平行、,垂直关系,自,学,导,引,(,学生用书,P,80,),会用空间向量证明线与线、线与面、面与面之间的平行,垂,直关系,掌握用向量解决立体几何问题的方法步骤,.,课,前,热,身,(,学生用书,P,80,),1.,空间中的平行关系主要有,_,、,_,、,_,空间中的垂直关系主要有,_,、,_,、,_.,2.,证明两条直线平行,只要证明这两条直线的方向向量是,_,即可,.,线线平行,线面平行,面面平行,线线垂直,线面垂直,面面垂直,共线向量,3.,证明线面平行的方法,(1),证明直线的方向向量与平面的法向量,_.,(2),证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向

2、向量,_.,(3),利用共面向量的定理,即证明直线的方向向量与平面内两,个不共线的向量是,_.,垂直,共线,共面向量,4.,证明面面平行的方法,(1),转化为,_,、,_,处理,;,(2),证明这两个平面的法向量是,_.,5.,证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量,_.,6.,证明线面垂直的方法,(1),证明直线的方向向量与平面的法向量是,_;,(2),证明直线与平面内的,_.,线线平行,线面平行,共线向量,互相垂直,共线向量,两条不共线向量互相垂直,7.,证明面面垂直的方法,(1),转化为,_,、,_;,(2),证明两个平面的法向量,_.,线线垂直,线面垂直,互相垂直,名,师,讲,解

3、,(,学生用书,P,80,),1.,利用空间向量证明线与面平行,:,只要在平面,内找到一条直,线的方向向量为,b,已知直线的方向向量为,a,问题转化为证,明,a=b,即可,.,2.,利用空间向量证明两条异面直线垂直,:,在两条异面直线上各,取一个向量,a,、,b,只要证明,a,b,即,a,b=0,即可,.,3.,证明线面垂直,:,直线,l,平面,要让,l,只要在,l,上取一个非零,向量,p,在,内取两个不共线的向量,a,、,b,问题转化为证明,p,a,且,p,b,也就是,a,p=0,且,b,p=0.,4.,证明面面平行、面面垂直,最终都要转化为证明线线平行、,线线垂直,.,典,例,剖,析,(,

4、学生用书,P80),题型一,证明线面平行,例,1:,在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,M,、,N,分别是,C,1,C,、,B,1,C,1,的,中点,求证,:MN,平面,A,1,BD.,分析,:,分析,1,如下图,易知,MN,DA,1,因此得方法,1.,:,证明,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,MN,A,1,1,2,2,1,1,(,),2,BD,MN,A,BD.,2,/,/,.,MN,C,N,C,M,C,B,C,C,D,A,D,D,DA,MN,DA,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,平面,平面,1,2,:,A,BD,.,MN,分析,建立直角坐标系,证明

5、,与平面,的法向量垂直,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,1,1,1,1,:,A,xyz.,1,A,0,0,1,B,1,0,0,D,0,1,0,1,1,(1,1,),(1,1).,2,2,A,BD,n,x,y,z,n?,n,1,1,(0,),2,2,0,0,0,x,1,y,1,z,1,n,1,1,1,0,.,M,N,MN,A,D,A,B,y,z,x,z,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,证明,如上图,建立空间直角坐标系,设棱长为,则可求得,设平面,的法向量为,则,且,得,取,则,1,1,1,1,0,0,2,n,MN,A,BD.,MN,A,BD,2

6、,.,MN,n,MN,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,又,平面,平面,变式训练,1:ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,是正四棱柱,侧棱长为,3,底面边,长为,2,E,是棱,BC,的中点,求证,:BD,1,平面,C,1,DE.,证明,:,以,D,为坐标原点,以,DA,DC,DD,1,为坐标轴建系如右图,则,B(2,2,0),D,1,(0,0,3),E(1,2,0),C,1,(0,2,3),?,?,?,?,?,?,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,3,1,2,0,1,0,3,(,2,2,1,1,.,BD,C,DE,BD,C,3),(1,2,0),(,1,0,3).,2

7、,2,2,3,3,DE.,BD,DE,EC,BD,DE,EC,BD,DE,EC,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,设,即,得,解得,与,共面,又,面,面,题型二,证明线面垂直,例,2:,如下图所示,在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,E,、,F,分别是,BB,1,、,D,1,B,1,的中点,.,求证,:EF,平面,B,1,AC.,分析,:,转化为线线垂直或利用直线的方向向量与平面的法向,量平行,.,证明,:,方法,1:,设,A,1,B,1,的中点

8、为,G,连结,EG,FG,A,1,B.,则,FG,A,1,D,1,EG,A,1,B.,A,1,D,1,平面,A,1,B.,FG,平面,A,1,B.,AB,1,?,平面,A,1,B,FG,AB,1,A,1,B,AB,1,EG,AB,1,.,EF,AB,1,.,同理,EF,B,1,C.,又,AB,1,B,1,C=B,1,EF,平面,B,1,AC.,?,?,?,?,2,2,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,(,),2,2,:,b,a,c,a,c,b,b,a,0,0,1,1,(,),(,),2,2,.,1,0,(,),(,),2,1,2,1,2,.,AB,a,AD,c,AA,b,EF

9、,EB,B,F,BB,B,D,AA,BD,a,b,c,AB,AB,AA,a,b,EF,AB,a,b,c,a,b,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,方法,设,则,1,1,1,1,1,1,1,EF,AB,EF,B,C.,AB,B,C,B,/,EF,B,AC,.,/,EF,AB,?,?,?,?,?,?,即,同理,又,平面,方法,3:,设正方体的棱长为,2,建立如下图所示的空间直角坐标,系,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,1,1,1,(1,1,2),(2,2,1),

10、(,1,1,1).,(2,2,2),(2,0,0),(0,2,2).,(0,2,0),(2,0,0),(,2,2,0).,A,2,0,0,C,0,2,0,B,2,2,2,E,2,2,1,F,1,1,(,1,1,1),(0,2,2,2,.,1,0,2,),1,2,1,0.,EF,AB,AC,EF,AB,EF,AC,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,则,而,?,?,?,?,1,1,1,1,1,1,2,2,0,2,2,0,0,EF,AB,EF,AC.,AB,AC,A,EF,B,AC.,?,?,?,?,?,?,?,?,?

11、,?,?,?,?,?,?,又,平面,规律技巧,:(1),方法,1,是传统的几何法证明,利用线面垂直的性,质及判定,需添加辅助线,.,方法,2,选基底,将相关向量用基底表示出来,然后利用向量的计,算来证明,.,方法,3,建立空间直角坐标系,利用向量,且将向量的运算转化为,实数,(,坐标,),的运算,以达到证明的目的,.,(2),几何的综合推理有时技巧性较强,而向量代数运算属程序,化操作,规律性较强,但有时运算量大,两种处理方法各有优,点,不能偏废,.,2,:,P,ABCD,ABCD,CBA,BAD,9,1,2,0,BC,BA,AD,1,PA,ABCD,PA,1,.,:,CD,PAC.,?,?,?

12、,?,?,?,?,?,?,?,?,?,变式训练,如下图,四棱锥,中,底面,为直角梯形,平面,求证,平面,分析,:,由判定定理,只要证明,CD,垂直于面,PAC,中的两条相交直,线即可,或者用向量法证明,CD,的方向向量与平面,PAC,的法,向量平行,.,证明,:,方法,1:,如下图,分别以,AB,、,AD,、,AP,所在直线为,x,y,z,轴,建立空间直角坐标系,则,C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1),?,?,?,?,(1,1,0),(,1,1,0,0,1,1,1,1,1,0,CD,AC,CD,AP,CD,PAC.,0),0,AC,CD,AP,CD,AC,CD,AP,?,?,

13、?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,同理,平面,?,?,?,?,2,:,1,PAC,n,x,y,0,0,0,0,0,0,(,1,z,y,x,x,1,PAC,n,1,1,0,n,CD,PA,1,0,.,),.,C,n,AP,n,AC,x,y,z,x,y,CD,n,CD,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,方法,建系同方法,设平面,的法向量,令,平面,的一个法向量,平面,题型三,证明面与面垂直,例,3:,三棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,是各条棱长均为,

14、a,的正三棱柱,D,是侧,棱,CC,1,的中点,.,求证,:,平面,AB,1,D,平面,ABB,1,A,1,.,分析,:,转化为线线垂直、线面垂直或者利用法向量垂直,.,证明,:,方法,1:,取,AB,的中点,E.,三棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,为正三棱柱,CE,AB,且,AA,1,CE,得,CE,面,ABB,1,A,1,.,另取,AB,1,中点,M,得,MD,CE.,MD,面,ABB,1,A,1,.,又,MD,?,面,AB,1,D,面,AB,1,D,面,ABB,1,A,1,.,1,1,1,1,1,1,1,(,).,2,1,2,:,AB,M,AB,E,(,),2,1,1,(,),0,

15、(,2,2,AB,AC,AA,CE,DM,DM,CE,CA,CB,DM,AA,CA,CB,AA,CA,AA,CB,AA,DM,AB,C,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,方法,取,为空间基底,另取,中点,中点,则,由题意可得,1,1,1,1,1,1,1,1,1,AB,),1,(,),0,2,AA,A,DM,ABB,A,.,DM,AB,D,AB,D,ABB,A,.,A,CB,AB,CA,AB,CB,AB,DM,AB,DM,AA,DM,AB,DM,AA,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,即,且,平面,又,面,面

16、,面,方法,3:,建系如下图,正三棱柱底面边长为,a,高为,a,取,AB,1,的中,点,M,则相关点的坐标如下,:,1,1,1,1,1,1,1,1,1,3,(0,),(0,0,),(,0,0),2,2,2,2,(,0,0),(,0,),2,2,3,(0,0),(0,0,),2,(,0,0),0,DM,ABB,A,.,DM,AB,D,AB,D,ABB,A,0,.,a,a,a,D,a,M,A,a,a,B,A,a,DM,a,AA,a,AB,a,DM,AA,DM,AB,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,则,得,面,又,面,面,面,规律技巧,:,证明面面垂直有传统方法和向量法两

17、种途径,传统,方法考查逻辑思维能力较多,常需作辅助线解决,思维量大,向量法思维量小,但有时运算量较大,特别是建系时一定要,根据题目所给空间体建立合适的坐标系,建系不当,会人为,增加计算的难度,.,变式训练,3:,如图所示,在六面体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,四边形,ABCD,是边长为,2,的正方形,四边形,A,1,B,1,C,1,D,1,是边长为,1,的,正方形,DD,1,平面,A,1,B,1,C,1,D,1,DD,1,平面,ABCD,DD,1,=2.,(1),求证,:A,1,C,1,与,AC,共面,B,1,D,1,与,BD,共面,;,(2),求证,:,平面,A,1,ACC

18、,1,平面,B,1,BDD,1,.,证明,:,以,D,为原点,以,DA,DC,DD,1,所在直线分别为,x,轴、,y,轴、,z,轴建立空间直角坐标系,D-xyz,如图所示,则有,D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A,1,(1,0,2),B,1,(1,1,2),C,1,(0,1,2),D,1,(0,0,2).,?,?,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,(,1,1,0),(,2,2,0),(1,1,0),(2,2,0),1,A,C,.,A,C,AC,B,D,.,BD,.,.,2,2,A,C,AC,D,B,DB,AC,A,C,BD,

19、D,B,AC,DB,D,B,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,与,平行,与,平行,于是,与,共面,与,共面,?,?,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,(0,0,2),(,2,2,0),0,(2,2,0),(,2,2,0),0,2,DD,DB,B,BDD,AC,B,BDD,.,A,ACC,AC,A,ACC,B,BD,.,D,.,DD,AC,DB,AC,DD,AC,DB,AC,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,与,是平面,内的两条相交直线,平面,又平面,过,平面,平面,技,能,演,练,(,学生用书,P82),基础强化,1.,在空间直角坐标系

20、中,平面,xOz,的一个法向量是,(),A.(1,0,0)B.(0,1,0),C.(0,0,1)D.(0,1,1),答案,:B,2.,平面,的一个法向量为,(1,2,0),平面,的一个法向量为,(2,-,1,0),则平面,与平面,的关系是,(),A.,平行,B.,相交但不垂直,C.,相交且垂直,D.,无法判定,答案,:C,3.,在空间四边形,ABCD,中,E,、,F,分别是,AB,、,BC,的中点,则,AC,与平面,DEF,的位置关系是,(),A.,平行,B.,相交,C.,在平面内,D.,不能确定,答案,:A,解析,:,如图所示,易知,EF,AC,又,AC,?,平面,DEF,EF,?,平面,D

21、EF,AC,平面,DEF.,4.,在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,若,E,为,A,1,C,1,的中点,则直线,CE,垂直于,(),A.AC B.BD,C.A,1,D D.A,1,A,答案,:B,解析,:,如图,B,1,D,1,CC,1,B,1,D,1,A,1,C,1,又,CC,1,A,1,C,1,=C,1,B,1,D,1,平面,AA,1,C,1,C,而,CE,AA,1,C,1,C,B,1,D,1,CE,又,B,1,D,1,BD,CE,BD.,5.,平面,ABC,中,A(0,1,1),B(1,2,1),C(-1,0,-1),若,a=(-1,y,z),且,a,为平面,ABC

22、,的法向量,则,y,2,等于,(),A.2 B.0,C.1 D.,无意义,答案,:C,?,?,2,a,1,y,z,ABC,:,(1,2,1),(0,1,1),(1,1,0),(,1,0,1),(0,1,1),(,1,1,2),0,0,1,0,a,a,y,1,2,y,1,.,1,0,AB,AC,AB,a,AC,AB,a,AC,y,y,z,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,解析,又,为平面,的法向量,6.,若直线,l,的方向向量,a=(-2,3,1),平面,的一个法向量,n=(4,0,8),则直线

23、,l,与平面,的位置关系是,_.,解析,:,a5n=(-2),4+3,0+8,1=0,a,n,l,?,或,l,.,答案,:l,?,或,l,能力提升,7.,在正方体,AC,1,中,O,、,M,分别是,DB,1,、,D,1,C,1,的中点,.,证明,:OM,BC,1,.,证明,:,如图,以,D,为原点,分别以,DA,、,DC,、,DD,1,为,x,、,y,、,z,轴建,立空间直角坐标系,D-xyz.,?,?,?,?,?,?,?,?,1,1,1,1,1,1,1,(,1,0,1),(,2,0,2),2,O,1,1,1,M,0,1,2,B,2,2,0,C,0,2,2,O,B,BCC,O,1,M,BC,.

24、,.,2,OM,BC,OM,BC,OM,BC,?,?,?,?,?,?,?,?,?,设正方体的棱长为,则,、,、,、,又,平面,8.,在棱长为,a,的正方体,OABC-O,1,A,1,B,1,C,1,中,E,、,F,分别是,AB,、,BC,上的动点,且,AE=BF,求证,:A,1,F,C,1,E.,证明,:,以,O,为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则,A,1,(a,0,a),C,1,(0,a,a).,设,AE=BF=x,E(a,x,0),F(a-x,a,0).,?,?,?,?,1,1,1,1,1,1,2,2,1,1,x,a,a,a,x,a,a,ax,ax,a,a,0.,(,),(,).,

25、A,F,C,E.,A,F,x,a,a,C,E,a,x,a,a,A,F,C,E,A,F,C,E,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,即,9.,如右图所示,在平行六面体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,E,、,F,、,G,分,别是,A,1,D,1,、,D,1,D,、,D,1,C,1,的中点,.,求证,:,平面,EFG,平面,AB,1,C.,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,/,/,.,1,1,:,EG,AC,2,2,.,AB,a,AD,b,AA,c,EG,ED,D,G,A,D,D

26、,C,b,a,AC,AB,AD,a,b,AC,EG,AC,EG,EF,ED,D,F,A,D,D,D,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,证明,设,则,而,故,即,又,1,1,1,1,1,1,1,1,EF,B,C.,EG,EF,E,AC,B,C,C,EFG,A,1,1,2,2,2,B,C.,b,c,B,C,B,C,C,C,b,c,EF,EF,B,C,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,而,即,又,平面,平面,品味高考,10.(,北京卷,),如图在直三棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,中,AC=3,BC=4,AB=5,AA,1,=4,点,

27、D,是,AB,的中点,求,证,:AC,1,平面,CDB,1,.,证明,:,因直三棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,底面三边长,AC=3,BC=4,AB=5,所以,AC,2,+BC,2,=AB,2,.,所以,AC,BC,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,1,1,1,1,1,1,1,1,1,3,(,2,0),AC,BC,C,C,C,CA,CB,CC,x,y,z,C,0,0,0,A,3,0,0,C,0,0,4,B,0,4,0,B,0,4,4,.,2,3,(,0,2),(,3,0,4).,2,1,2,CB,C,B,E,DE,E,0,2,2,D,DE,AC,DE,AC,DE,AC,?,?,?,?,?,所以,、,、,两两垂直,以,为坐标原点,直线,、,、,分别为,、,、,轴,建立空间,直角坐标系,则,设,与,的交点为,连结,则,因,所以,所以,1,1,1,1,1,1,1,DE,AC,DE,AC,DE,CDB,AC,CDB,.,AC,CDB,.,?,?,又,与,不共线,所以,因,平面,平面,所以,平面,