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1、1.2 概率定义及概率的性质,一、概率的描述性定义,定义1.2.1 随机事件A发生的可能性大小的度量（数值），称为发生的概率，记为,二、概率的统计定义,1.频率的概念,对于一个随机试验来说，它发生可能性大小的度量,是自身决定的，并且是客观存在的。概率是随机事件发,生可能性大小的度量是自身的属性。一个根本问题是，,例、历史上有人做过掷硬币的试验,从上表可以看，不管什么人去抛，当试验次数逐渐增多时，)总是在0.5附近摆动而逐渐稳定于0.5。从这个例子可以看出，一个随机试验的随机事件，在次试验中出现的频率，当试验的次数逐渐增多时，它在一个常数附近摆动，而逐渐稳定于这个常数。这个常数是客观存在的，“频
2、率稳定性”的性质，不断地为人类的实践活动所证实，它揭示了隐藏在随机现象中的规律性。,2概率的统计定义,返回,由于频率反映了事件发生的频繁程度，其大小也能用来度量一个事件发生的可能性的大小。基于频率的稳定性质，历史上曾在试验的基础上给出了概率的统计的定义。,定义1.2.2 若当重复试验次数足够大时，事件的频率在某一常数附近摆动，且随着试验次数的增大，摆动的幅度越来越小，则称常数为事件的概率。,注意频率的稳定性揭示了随机现象中隐藏的性，用,频率的稳定值来度量事件发生的可能性大小是合的。,“频率的极限就是概率”这句话是不正确，即极限,恒成立。,上述不等式就不成立。,因此，在概率论与数理统计中不能沿用
3、数学分析中的一般极限定义了。,在实际使用中，由于频率的稳定性，当试验次数足够大时，人们往往用频率值作概率的近似值。,3频率的性质,很快可以得到频率的性质:,1非负性：,由这三条基本性质，还可以推出频率的其它性质：,6对有限个两两互不相容的事件的频率具有可加性，,三、概率的性质,2.规范性：,由概率的非负性、规范性和可列可加性，可以,得出概率的其他一些性质：,4)不可能事件的概率为0，即,证明 由于可列个不可能事件的和事件仍为不可能事件,所以,因为不可能事件与任何事件是互不相容的，故由,注意 概率的规范性及性质1）反过来不一定成立。反例在后面给出。,5)概率具有有限可加性：即若,=,=,结论得证,8）对任意两个事件，有,性及性质4）得,推论1 对任意两个事件,有,解：由概率性质知,解：由概率性质知,证明:,又,故,即,求至少有一个发生的概率,解：由一般加法公式有,于是,例1.2.4 设,从而有,
