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1、等腰三角形与直角三角形课前热身1.如图，等边ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP1，D为AC上一点，若APD60，则CD的长为（ ）ADCPB第1题图60 A B C D2.如图，已知ABC中，AB17，AC10，BC边上的高AD8， 则边BC的长为（ ）ACDB第2题图A21 B15 C6 D以上答案都不对3.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30，腰长为4 cm，则其腰上的高为 cm4.如图，在边长为1的等边ABC中，中线AD与中线BE相交于点O，则OA长度为 【参考答案】1. B2. A3.4.考点聚焦等腰三角线1等腰三角形的判定与性质2等边三角形的判定与性质 3运用等腰三角形、等
2、边三角形的判定与性质解决有关计算与证明问题直角三角形1运用勾股定理计算线段的长，证明线段的数量关系，解决与面积有关的问题以及简单的实际问题2运用勾股定理及其逆定理从数的角度来研究直角三角形3折叠问题4将直角三角形，平面直角坐标系，函数，开放性问题，探索性问题结合在一起综合运用备考兵法等腰三角线 1运用三角形不等关系，结合等腰三角形的判定与性质解决等腰三角形中高、边、角的计算问题，并要注意分类讨论 2要正确辨析等腰三角形的判定与性质 3能熟练运用等腰三角形、方程（组）、函数等知识综合解决实际问题直角三角形 1正确区分勾股定理与其逆定理，掌握常用的勾股数 2在解决直角三角形的有关问题时，应注意以勾
3、股定理为桥梁建立方程（组）来解决问题，实现几何问题代数化 3在解决直角三角形的相关问题时，要注意题中是否含有特殊角（30，45，60）若有，则应运用一些相关的特殊性质解题 4在解决许多非直角三角形的计算与证明问题时，常常通过作高转化为直角三角形来解决 5折叠问题是新中考热点之一，在处理折叠问题时，动手操作，认真观察，充分发挥空间想象力，注意折叠过程中，线段，角发生的变化，寻找破题思路考点链接一等腰三角形的性质与判定：1. 等腰三角形的两底角_；2. 等腰三角形底边上的_，底边上的_，顶角的_，三线合一；3. 有两个角相等的三角形是_二等边三角形的性质与判定：1. 等边三角形每个角都等于_，同样
4、具有“三线合一”的性质；2. 三个角相等的三角形是_，三边相等的三角形是_，一个角等于60的_三角形是等边三角形三直角三角形的性质与判定：1. 直角三角形两锐角_2. 直角三角形中30所对的直角边等于斜边的_ 3. 直角三角形中，斜边的中线等于斜边的_；4. 勾股定理：_5. 勾股定理的逆定理：_典例精析例1（湖北襄樊）在中，为的中点，动点从点出发，以每秒1的速度沿的方向运动设运动时间为，那么当 秒时，过、两点的直线将的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍【答案】7或17【解析】本题考查等腰三角形中的动点问题，两种情况，当点P在BA上时，BPt，AP12-t，2（t+3）12-t+1
5、2+3，解得t7；当点P在AC上时， PC24-t，t+32（24-t+3），解得t17，故填7或17.例2（山东滨州）某楼梯的侧面视图如图所示，其中米，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为 BCA30【答案】（2+2）米【解析】掌握30所对的直角边等于斜边的一半，即可求解.例3（四川乐山）如图，ADCD，AB=13，BC=12，CD=3，AD=4，则sinB等于（ ）A B C D【答案】 A【解析】由ADDC，知ADC为直角三角形 由勾股定理得：AC2=AD2+DC2=32+42=5，AC=5， 在ACB中，AB2=169，BC2+AC2=52+122=169， A
6、B2=BC2+AC2 由勾股定理的逆定理知：ABC是直角三角形 sinB= 例4（安徽）已知点O到ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB=OC （1）如图1，若点O在BC上，求证：AB=AC； （2）如图2，若点O在ABC的内部，求证：AB=AC；（3）若点O在ABC的外部，AB=AC成立吗？请画图表示 图1 图2 解析 （1）过点O作OEAB，OFAC，E，F分别是垂尺，由题意知，OE=OF，又OB=OC RtOEBRtOFC B=C AC=AB （2）过点O作OEAB，OFAC，E，F分别是垂足由题意知，OE=OF 在RtOEB和RtOFC中，OE=OF，OB=OC RtOEBR
7、tOFE OBE=OCF 又OB=OC OBC=OCB ABC=ACB AC=AB （3）不一定成立当A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时，有AB=AC，否则ABAC，如示例图 成立 不成立【点拨】本例从O点的特殊位置（BC边的中点）探究图形的性质，再运用变化的观点探究一般位置（点O在ABC内，点O在三角形外）下图形的性质有何变化，培养同学们从不同的角度分析，解决问题的能力，拓展思维，提高综合解题能力迎考精练一、选择题1.(四川达州)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（
8、）A13 B26 C47 D942.（甘肃白银）如图，O的弦AB6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则O的半径为（） A5 B4 C3 D2 3.（山东济宁）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形如图，是一“赵爽弦图”飞镖板，其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上）, 则投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率是（ ）A B C D ADCEB第4题图4.（浙江嘉兴）如图，等腰ABC中，底边，A36，ABC的平分线交AC于D，BCD的平分线交BD于E，设，则DE（）A B C D5
9、201510CAB5.（湖北恩施）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是（）A B25 C D6.（浙江宁波）等腰直角三角形的一个底角的度数是（ ）A30 B45 C60 D907.（山东威海）如图，ABAC,BDBC，若A40，则ABD的度数是（）A B C DBADC8.（湖北襄樊）如图，已知直线且则等于（ ）A B C DAFBCDE二、填空题1.（四川泸州）如图，已知RtABC中，AC3，BC 4，过直角顶点C作CA1AB，垂足为A1，再过A1作A1C1BC，垂足为C1，过C1作C1A2AB，垂足为A
10、2，再过A2作A2C2BC，垂足为C2，这样一直做下去，得到了一组线段CA1，A1C1，则CA1 ， 2.(四川内江)已知RtABC的周长是，斜边上的中线长是2，则SABC_.3.（四川宜宾）已知：如图，以RtABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形若斜边AB3,则图中阴影部分的面积为 4.（湖南长沙）如图，等腰中，是底边上的高，若，则 cmACDB三、解答题1.（河南）如图所示，BACABD,ACBD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点试判断OE和AB的位置关系,并给出证明2.（浙江绍兴）如图，在中，分别以为边作两个等腰直角三角形和，使 （1）求的度数；（2）求证： 3.（湖北恩施）
11、恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世著名的恩施大峡谷和世界级自然保护区星斗山位于笔直的沪渝高速公路同侧，、到直线的距离分别为和，要在沪渝高速公路旁修建一服务区，向、两景区运送游客小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（与直线垂直，垂足为），到、的距离之和，图（2）是方案二的示意图（点关于直线的对称点是，连接交直线于点），到、的距离之和（1）求、，并比较它们的大小；（2）请你说明的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，到直线的距离为，请你在旁和旁各修建一服务区、，使、组成的四边形的周长最小并求出这个最小值BAPX
12、图（1）YXBAQPO图（3）BAPX图（2）4.（广东中山）如图所示，是等边三角形， 点是的中点，延长到，使，（1）用尺规作图的方法，过点作，垂足是（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：【参考答案】选择题1. C2. A3. C4. A5. B6. B 7. B8. B 【解析】本题考查平行线的性质、等腰三角形的性质等知识，所以，故选B填空题1. ，2. 83. 4. 4解答题1. OEAB证明：在BAC和ABD中， BACABDOBA=OAB, OA=OB又AE=BE, OEAB2. 解：（1）ABD是等腰直角三角形，ABD45,ABAC, ABC70, CBD70+45115证明：(2
13、)ABAC,ADAE, BADCAE, BDCE3. 解:图（1）中过B作BCAP,垂足为C,则PC40,又AP10,AC30 在RtABC 中，AB50 AC30 BC40 BPS1 图10（2）中，过B作BCAA垂足为C，则AC50， 又BC40BA由轴对称知：PAPAS2BA (2)如 图10（2），在公路上任找一点M,连接MA,MB,MA，由轴对称知MAMAMB+MAMB+MAABS2BA为最小（3）过A作关于X轴的对称点A, 过B作关于Y轴的对称点B，连接AB,交X轴于点P, 交Y轴于点Q,则P,Q即为所求过A、 B分别作X轴、Y轴的平行线交于点G,AB所求四边形的周长为 4. 解：（1）作图见下图， ACBDEM（2）是等边三角形，是的中点，平分（三线合一），又，又，又，
