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1、经典题（一）1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CDAB，EFAB，EGCO求证：CDGF（初二）证明：过点G作GHAB于H，连接OEEGCO，EFABEGO=90，EFO=90EGO+EFO=180E、G、O、F四点共圆GEO=HFGEGO=FHG=90EGOFHG=GHAB，CDABGHCDEO=COCD=GF2、已知：如图，P是正方形ABCD内部的一点，PADPDA15。 求证：PBC是正三角形（初二）证明：作正三角形ADM，连接MPMAD=60，PAD=15MAP=MAD+PAD=75BAD=90，PAD=15BAP=BAD-PAD=90-15=75BAP=MAPMA=
2、BA，AP=APMAPBAPBPA=MPA，MP=BP同理CPD=MPD，MP=CPPADPDA15PA=PD，BAP=CDP=75BA=CDBAPCDPBPA=CPDBPA=MPA，CPD=MPDMPA=MPD=75BPC=360-754=60MP=BP，MP=CP BP=CP BPC是正三角形3、已知：如图，在四边形ABCD中，ADBC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F求证：DENF证明:连接AC，取AC的中点G,连接NG、MGCN=DN，CG=DGGNAD，GN=ADDEN=GNMAM=BM，AG=CGGMBC，GM=BCF=GMNAD=BCGN=GMGMN
3、=GNMDEN=F经典题（二）1、已知：ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OMBC于M（1）求证：AH2OM；（2）若BAC600，求证：AHAO（初二）证明：（1）延长AD交圆于F，连接BF，过点O作OGAD于GOGAFAG=FG=F=ACB又ADBC，BEACBHD+DBH=90 ACB+DBH=90ACB=BHDF=BHDBH=BF又ADBCDH=DFAH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2（GH+DH）=2GD又ADBC，OMBC，OGAD四边形OMDG是矩形OM=GD AH=2OM（2）连接OB、OCBAC=60BOC=120OB=OC
4、，OMBCBOM=BOC=60OBM=30BO=2OM由（1）知AH=2OMAH=BO=AO2、设MN是圆O外一条直线，过O作OAMN于A，自A引圆的两条割线交圆O于B、C及D、E，连接CD并延长交MN于Q，连接EB并延长交MN于P.求证：APAQ 证明：作点E关于AG的对称点F，连接AF、CF、QFAGPQ PAG=QAG=90又GAE=GAF PAG+GAE=QAG+GAF即PAE=QAFE、F、C、D四点共圆AEF+FCQ=180EFAG，PQAGEFPQPAF=AFEAF=AEAFE=AEF在AEP和AFQ中 AFQ=AEP AF=AE QAF=PAEAEPAFQAP=AQAEF=PA
5、FPAF+QAF=180FCQ=QAFF、C、A、Q四点共圆AFQ=ACQ又AEP=ACQAFQ=AEP3、设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q求证：APAQ（初二）证明：作OFCD于F，OGBE于G，连接OP、OQ、OA、AF、AGC、D、B、E四点共圆B=D，E=CABEADCABGADFAGB=AFDAGE=AFCAM=AN，OAMN又OGBE，OAQ+OGQ=180O、A、Q、E四点共圆AOQ=AGE同理AOP=AFCAOQ=AOP又OAQ=OAP=90，OA=OAOAQOAPAP=AQ4、如图,分别以ABC的AB和AC为一边,在ABC的外
6、侧作正方形ABFG和正方形ACDE，点O是DF的中点，OPBC求证：BC=2OP（初二）证明：分别过F、A、D作直线BC的垂线，垂足分别是L、M、NOF=OD，DNOPFLPN=PLOP是梯形DFLN的中位线DN+FL=2OPABFG是正方形ABM+FBL=90又BFL+FBL=90ABM=BFL又FLB=BMA=90，BF=ABBFLABMFL=BM同理AMCCNDCM=DNBM+CN=FL+DNBC=FL+DN=2OP经典题（三）1、如图，四边形ABCD为正方形，DEAC，AEAC，AE与CD相交于F求证：CECF（初二）证明：连接BD交AC于O。过点E作EGAC于GABCD是正方形BDA
7、C又EGACBDEG又DEACODEG是平行四边形又COD=90ODEG是矩形EG=OD=BD=AC=AEEAG=30AC=AEACE=AEC=75又AFD=90-15=75CFE=AFD=75=AECCE=CF2、如图，四边形ABCD为正方形，DEAC，且CECA，直线EC交DA延长线于F求证：AEAF（初二）证明：连接BD，过点E作EGAC于GABCD是正方形BDAC，又EGACCAE=CEA=GCE=15在AFC中F =180-FAC-ACF =180-FAC-GCE=180-135-30=15F=CEAAE=AFBDEG又DEACODEG是平行四边形又COD=90ODEG是矩形EG =
8、 OD =BD=AC=CEGCE=30AC=EC3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PFAP，CF平分DCE求证：PAPF（初二）证明：过点F作FGCE于G，FHCD于HCDCG HCGF是矩形HCF=GCF FH=FGHCGF是正方形设AB=x，BP=y，CG=zz：y=（x-y+z）：x化简得（x-y）y=（x-y）zx-y0y=z即BP=FGABPPGFCG=GFAPFPAPB+FPG=90APB+BAP=90FPG=BAP又FGP=PBAFGPPBAFG：PB=PG：AB4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D求证：ABDC，
9、BCAD（初三） 证明：过点E作EKBD，分别交AC、AF于M、K，取EF的中点H，连接OH、MH、ECEH=FHEM=KMEKBDOB=OD又AO=CO四边形ABCD的对角线互相平分ABCD是平行四边形AB=DC，BC=ADOHEF，PHO=90又PCOC，POC=90P、C、H、O四点共圆HCO=HPO又EKBD，HPO=HEKHCM=HEMH、C、E、M四点共圆ECM=EHM又ECM=EFAEHM=EFAHMACEH=FH经典题(四)1、已知：ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA3，PB4，PC5求APB的度数（初二）解：将ABP绕点B顺时针方向旋转60得BCQ，连接PQ则BPQ是正
10、三角形BQP=60，PQ=PB=3在PQC中，PQ=4，CQ=AP=3，PC=5PQC是直角三角形PQC=90BQC=BQP+PQC=60+90=150APB=BQC=1502、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且PBAPDA求证：PABPCB（初二）证明：过点P作AD的平行线，过点A作PD的平行线，两平行线相交于点E，连接BEPEAD，AEPDADPE是平行四边形PE=AD，又ABCD是平行四边形AD=BCPE=BC又ADP=ABPAEP=ABPA、E、B、P四点共圆BEP=PABPAB=PCB又PEAD，ADBCPEBCBCPE是平行四边形BEP=PCBADPE是平行四边形ADP=AEP
11、3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证：ABCDADBCACBD（初三）证明：在BD上去一点E，使BCE=ACD=CAD=CBDBECADCADBC=BEACBCE=ACDBCE+ACE=ACD+ACE即BCA=ECD+得ABCD+ ADBC =DEAC+ BEAC =（DE+BE）AC =BDAC=,BAC=BDCBACEDCABCD=DEAC4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且PAECF求证：DPADPC（初二）证明：过点D作DGAE于G，作DHFC于H，连接DF、DESADE=AEDG，SFDC=FCDH又SADE= SFDC=SABCDAED
12、G=FCDH又AE=CFDG=DH点D在APC的角平分线上DPADPC经典题（五）1、设P是边长为1的正ABC内任一点，LPAPBPC， 求证：L2证明：（1）将BPC绕B点顺时针旋转60的BEF，连接PE，BP=BE，PBE=60PBE是正三角形。PE=PB 又EF=PCL=PA+PB+PC=PA+PE+EF当PA、PE、EF在一条直线上的时候，L=PA+PE+EF的值最小（如图）在ABF中，ABP=120AF=L=PA+PB+PC（2）过点P作BC的平行线分别交AB、AC于D、G则ADG是正三角形ADP=AGP，AG=DGAPDAGPAPDADPADPA又BD+PDPB CG+PGPC+得
13、AD+BD+CG+PD+PGPA+PB+PCAB+CG+DG=AB+CG+AG=AB+ACPA+PB+PC=LAB=AC=1L2由（1）（2）可知：L22、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PAPBPC的最小值解：将BCP绕点B顺时针旋转60得BEF，连接PE，则BPE是正三角形PE=PBPAPBPC=PA+PE+EF要使PAPBPC最小，则PA、PE、EF应该在一条直线上（如图）此时AF= PA+PE+EF过点F作FGAB的延长线于G则GBF=180-ABF=180-150=30GF=，BG=AF=PAPBPC的最小值是3、P为正方形ABCD内的一点，并且PAa，PB2a，PC3
14、a，求正方形的边长证明：将ABP绕点B顺时针旋转90得BCQ，连接PQ则BPQ是等腰直角三角形，PQ=PB=2a=2a又QC=AP=aQP2+QC2=(2a)2+a2=9a2=PC2PQC是直角三角形BQC=135BC2=BQ2+CQ2-2BQCQcosBQC=PB2+PA2-2PBPAcos135 =4a2+a2-22aa(-)解得BC=正方形的边长为4、如图，ABC中，ABCACB80，D、E分别是AB、AC上的点，DCA30，EBA20，求BED的度数解：在AB上取一点F，使BCF=60，CF交BE于G，连接EF、DGABC=80，ABE=20，EBC=60，又BCG=60BCG是正三角
15、形 BG=BCACB=80，BCG=60FCA=20EBA=FCA又A=A，AB=ACABEACF AE=AFAFE=AEF=（180-A）=80据介绍，经常光顾“碧芝”的都是些希望得到世界上“独一无二”饰品的年轻人，他们在琳琅满目的货架上挑选，然后亲手串连，他们就是偏爱这种的方式，完全自助。又ABC=80=AFEEFBCEFG=BCG=60EFG是等边三角形EF=EG，FEG=EGF=EFG=60ACB=80，DCA=30BCD=50BDC=180-BCD-ABC=180-50-80=503、你是否购买过DIY手工艺制品？BCD=BDCBC=BD前已证BG=BCBD=BG1、作者：蒋志华 市
16、场调查与预测，中国统计出版社 2002年8月 11-2市场调查分析书面报告BGD=BDG=（180-ABE）=80FGD=180-BGD-EGF=180-80-60=40又DFG=180-AFE-EFG=180-80-60=40就算你买手工艺品来送给朋友也是一份意义非凡的绝佳礼品哦。而这一份礼物于在工艺品店买的现成的礼品相比，就有价值意义，虽然它的成本比较低但它毕竟它是你花心血花时间去完成的。就像现在最流行的针织围巾，为何会如此深得人心，更有人称它为温暖牌绝大部分多是因为这个原因哦。而且还可以锻炼你的动手能力，不仅实用还有很大的装饰功用哦。FGD=DFGDF=DG又EF=EG，DE=DEEFD
17、EGDBED=FED=FEG=60=305、如图，ABC内接于O，且AB为O的直径，ACB的平分线交O于点D，过点D作O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AECD于点E，过点B作BFCD于点F，若AC=6，BC=8，求线段PD的长。解：ACD=BCD =AD=BD调研要解决的问题：AB为O的直径 ADB=90ABD是等腰直角三角形可见“体验化消费” 广受大学生的欢迎、喜欢，这是我们创业项目是否成功的关键，必须引起足够的注意。ACB=90，AC=6，BC=8 AB=10据调查统计在对大学生进行店铺经营风格所考虑的因素问题调查中，发现有50%人选择了价格便宜些，有28%人选择服务热情些，有3
18、0%人选择店面装潢有个性，只有14%人选择新颖多样。如图（1-5）所示AD=ABcosDAB=10=5随科技的迅速发展，人们的生活日益趋向便捷、快速，方便，对于我国传统的手工艺制作，也很少有人问津，因此，我组想借此创业机会，在校园内开个DIY创意小屋。它包括编织、刺绣、串珠等，让我们传统的手工制作也能走进大学，丰富我们的生活。又AECD，ACD=45据介绍，经常光顾“碧芝”的都是些希望得到世界上“独一无二”饰品的年轻人，他们在琳琅满目的货架上挑选，然后亲手串连，他们就是偏爱这种的方式，完全自助。ACE是等腰直角三角形 CE=AE=ACcosCAE=6=3据了解，百分之八十的饰品店都推出“DIY饰品”来吸引顾客，一方面顺应了年轻一代喜欢与众不同、标新立异的心理；另一方面，自制饰品价格相对较低，可以随时更新换代，也满足了年轻人“喜新厌旧”的需要，因而很受欢迎。在ADE中，DE2=AD2-AE2 DE2= DE=CD=CE+DE=3+=PDA=PCD，P=P PDAPCD PC=PD，PA=PD PC=PA+ACPD=PD+6 解得PD=
