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1、9 三角函数的简单应用,我们已经知道周期现象是自然界中最常见的现象之一，三角函数是研究周期现象最重要的数学模型.在本节中，我们将通过实例，让同学们初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题.,1.体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型（重点）2.体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学建模思想，从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.（难点）,例1.水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，如图是一个水车工作的示意图，它的直径为3m,其中心（即圆心）O距水面1.2m,如果水车逆时针匀速旋转，旋转一圈的时间是 min.在水车轮边缘上
2、取一点P，点P距水面的高度为h(m).(1)求h与时间t的函数解析式，并作出这个函数的简图.(2)讨论如果雨季河水上涨或旱季河流水量减少时，所求得的函数解析式中的参数将会发生哪些变化.若水车转速加快或减慢，函数解析式中的参数又会受到怎样的影响？,水车问题,解:不妨设水面的高度为0,当点P旋转到水面以下时，P点距水面的高度为负值.显然，h与t的函数关系是周期函数的关系.,故可列表、描点，画出函数在区间11.8,91.8上的简图：,面对实际问题建立数学模型，是一项重要的基本技能.这个过程并不神秘，就像这个例题，把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程是很自然的.,解答应用题关键是
3、将实际问题转化为数学模型.,例2.海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般地，早潮叫潮,晚潮叫汐,在通常情况下,船在涨潮时候驶进航道,靠近船坞;卸货后，落潮时返回海洋,下面给出了某港在某季节每天几个时刻的水深.,潮汐问题,(1)选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出在整点时的水深的近似值;,(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4m，安全条例规定至少要有1.5m的安全间隙(船底与海底的距离)，该船何时能进入港口？,(3)若船的吃水深度为4m，安全间隙为1.5m,该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3m的速度减少，那么该船在什么时间必须停
4、止卸货，将船驶向较深的水域？,分析(1)考察数据，可选用正弦函数，再利用待定系数法求解；(2)在涉及三角不等式时，可利用图像求解.,解：(1)可设所求函数为f(x)=Asinx+k，由已知数据求得A=2.5，k=5，T=12，故 f(x)=2.5sin x+5.,24,12,6,18,3,9,15,21,5,2.5,7.5,在整点时的水深近似为:1:00；5:00；13:00；17:00为 6.3m；2:00；4:00；14：00；16:00为 7.2m；7:00；11:00；19:00；23:00为 3.7m；8:00；10:00；20:00；22:00为 2.8m；,(2)由2.5sin
5、x+55.5，得,画出y=sin x的图像(如图所示)，由图像可得,y=sin x,y=0.2,0.4 x5.6，或 12.4x17.6.,故该船在0：24至5：36和12：24至17：36期间可以进港.,(3)若2x24,x时刻吃水深度为h(x)=5.50.3(x2)，由f(x)h(x)+1.5，得,y=sin x,y=-0.12x+0.44,画出y=sin 和y=0.440.12x的图像(如图)，,由图像可知当x=6.7时，即6：42时，该船必须停止卸货，将船驶向较深的水域.,一半径为3m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟转动4圈，如果当水轮上一点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间.(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数.(2)点P第一次达到最高点大约要多长时间？,解:(1)不妨设水轮沿逆时针方向旋转,如图所示,建立平面直角坐标系.设角(0)是以Ox为始边，OP0为终边的角.,由OP在ts内所转过的角为，可知以Ox为始边，OP为终边的角为,则,当t=0时，z=0，可得,因为，所以-0.73，,故所求函数关系式为,故P点纵坐标为3sin()，,(2)令 得,解得t5.5.,答:点P第一次达到最高点大约需要5.5s.,1.通过学习三角函数的简单应用,体会数学建模的过程.2.会求三角函数的解析式，能利用数学知识解决一些简单的实际问题.,
