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1、第四节 复合函数微分法,一、链式法则,二、全微分形式不变性,四、小结,三、方向导数,一、链式法则,证,上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.,如,以上公式中的导数 称为全导数.,定理 2,链式法则如图示,即,令,两者的区别,为了避免记号出错，引进另外一种表示方法。,设,，记,用,表示对第一个位置的变量求偏导。,用,表示对第二个位置的变量求偏导。,即,用,表示对第三个位置的变量求偏导。,即,依次类推,等等。,解,解,例3(000305),设 其中 均可微,则,解:,例4(020410),设,其中 具有连续二阶偏导数,求.,解:,二、全微分形式不变性,全微分形式不变形的实质：无论 是自变量
2、的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的.,例5 设,且,连续偏导数，求,根据全微分形式不变性知：,解 令,而,所以,具有,故,注:对函数关系简单的符合函数,使用全微,分形式不变性,并不能简化求导计算;,但对,于函数关系比较复杂的情况,利用微分不变,性比较方便.,例 6 设,具有连续偏导数，求,分析：,解 法1,法2 利用微分不变性,所以,例 7 设,其中,具有二阶连续,偏导数，求,解,三、方向导数与梯度,（一）方向导数的定义,定义,是单位向量,如果,的函数 在 处可导,即,存在,则称此极限值为函数 在点 的,沿方向 的方向导数.,记为 或,例1 求二元函数 在点 处的沿 的方向导数.
3、,将向量 单位化,解,所以,因此,偏导数是特殊的方向导数.,方向导数与偏导数的关系,点沿任意方向的方向导数,都存在，但推不出偏导数存在。,反之，偏导数存在也推不出沿任意方向的方向导数存在。,函数在某点连续推不出方向导数存在，反之亦然。,函数连续与方向导数存在的关系,例,在(0,0)点连续但方向导数不存在。,证明,可知在(0,0)点连续。,取,此极限不存在.所以方向导数不存在.,例,函数在（0，0）点沿任意方向的方向导数都存在，但不连续。,证明,可知,不连续。,方向导数什么时候存在？,其中 为 轴到方向L的转角,证明,由于函数可微，则函数值增量可表示为,两边同除以,得到,故有方向导数,此定理不仅告诉了我们一个函数在某点可微，则该函数在此点沿任意方向的方向导数都存在，而且还告诉了我们求方向导数的方法。,解,可微,方向导数（任意方向）,连续,偏导数,综上可得下图：,方向导数与可微、可导、连续之间的关系,(二)梯度的概念,解,由方向导数的计算公式知,故,结论,等高线的画法,等高线上任意一点,处法线的斜率为,梯度的概念可以推广到三元函数,解,由梯度计算公式得,故,1、链式法则（分三种情况）,2、全微分形式不变性,（特别要注意课中所讲的特殊情况）,（理解其实质）,三、小结,思考题,思考题解答,练 习 题,练习题答案,
