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1、定积分：以直代曲，用“均匀”的研究“不均匀”的；用无限的方法研究有限的问题，从局部到整体 具体实例：曲边梯形的面积、变速直线运动的路程,1.5 定积分的概念,新课导入,中学学习过：三角形，圆形，矩形，平行四边形，梯形等规则图形面积的计算，而计算平面曲线围成的平面“曲边图形”的面积、变速直线运动物体位移、变力做功等问题.我们已学过了如何计算曲边图形面积.,如何计算变速直线物体位移呢？,利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题.反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程？,提出问题,1.5.2 汽车行驶的路程,教学目标,知识与能力,“以不变
2、代变”的方法，把变速直线运动的路程问题化归为匀速直线运动的路程问题，凭借求曲边梯形的经验解决问题.,过程与方法,(1)结合求曲线梯形面积化为四个步骤：分割、近似代替、求和、取极限分析汽车变速直线运动.(2)了解定积分概念中蕴涵的最本质的思想.,情感态度与价值观,本节通过实例加深同学对“以不变代变”“分割”“以局部代整体”等积分思想的理解.,教学重难点,重点,结合上节知识解决汽车变速直线运动的问题.,难点,以“不变代变”的思想方法，定积分的概念.,汽车以速度v作匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程为s=vt.,知识点！,例题,如果汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为(t的单位：h，v的单位：k
3、m/h)，那么它在 这段时间内行驶的路程s（单位：km）是多少？,思考？,与求曲边梯形面积相似，我们采取“以不变代变”的方法，把求变速直线运动的路程问题，化归为求匀速直线运动的路程问题.,将区间0,1等分成n个小区间，在每个小区间上.由于v(t)的变化很小.可以认为汽车近似做匀速直线运动，从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值，再求和得s的近似值，最后让n趋向于无穷大就得到s的精确值.,思路,分割：,在时间区间0,1上等间隔地插入n-1个分点，将它等分成n个小区间：,记第i个区间为，其长度为：,把汽车在时间段 上行驶的路程分别记作：,显然有,近似代替：,当n很大，即 很小时，在区间 上，函
4、数 的变化值很小，近似地等于一个常数.,从物理意义上看，就是汽车在时间段 上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻 处的速度作匀速行驶.,在区间 上，近似地认为 即在局部小范围内认为“以匀速代变速”.,由近似代替求得：,求和：,取极限：,当n趋向于无穷大，即 趋向于0时，趋向于s，从而有,结合求曲线梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程s和由直线t=0，t=1,v=0和曲线 所围成的曲边梯形的面积有什么关系？,由于 在数值上等于下图所有小矩形的面积之和.其极限就是由直线t=0，t=1,v=0和曲线 所围成的曲边梯形的面积，从而汽车行驶的路程在数值上等于由直线t=0，t=1,v=0和曲线 所围成的
5、曲边梯形的面积.,.,一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为，那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在 内的位移s.,我想到了,单位时间通过的路程,例题1,小王驱车到80km外的一个小镇，共用了2个小时，(km/h)为汽车行驶的平均速度，然而车速器显示的速度（瞬时速度）却在不停地变化，因为汽车作的是变速运动，如何计算汽车行驶的瞬时速度呢?,一般地：设S是某一物体从某一选定时刻到时刻t 所走过的路程，则S是t 的一个函数下面讨论物体在任一时刻t0 的瞬时速度.,瞬时速度,内的平均速度为,很小时，速度的变化不大，可以以匀速代替.,越小，平均速度 就越接近于时刻 的瞬时速度
6、令 取极限，得到瞬时速度,局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值.,一小球做自由落体运动，其运动方程为,例题2,考察小球在 s 时的瞬时速度.,其变化情况见下表：,从表上可以看出，不同时间段上的平均速度不相等，当时间段 很小时，平均速度 很接近某一确定的值19.6(m/s)，即小球在 s时的瞬时速度为：,你能用学过的知识计算出来吗？,相关实例,（1）分割,（3）求和,（4）取极限,（2）取近似,课堂小结,若做为整体来看，物体做变速直线运动，求路程.没有现成公式，与上例类似，把时间间隔分成若干小段，在每一小段时间间隔内，近似地认为速度
7、不变，用匀速直线运动代替，求出各小段的路程再相加，得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分求得路程的精确值,课堂练习,设汽缸内活塞一侧存有定量气体，气体做等温膨胀时推动活塞向右移动一段距离，若气体体积由 变至，求气体压力所做的功（如下图）.,气体膨胀为等温过程，所以气体压强为(气体体积，常数），而活塞上的总压力为：,课堂答案,（活塞的截面积，为活塞移动的距离，）以 与 表示活塞的初始与终止位置，于是得功为,教材习题答案,1、解：能用.,所以能用，求得的极限仍是.仍是由直线t=0，t=1,v=0和曲线 所围成的曲边梯形的面积.,（1）分割：将0，2等分，（2）（3）求和：(4)取极限：,2、解：,
